Chapitre 2 1 2.4. Produits matriciels
il n'y a pas de diviseur de O: si un produit de deux nombres est nul sont deux matrices carrées de taille 2 (avec deux lignes et deux colonnes) on.
Généralités sur les matrices
2. Opérations sur les matrices. Multiplication par un scalaire : ?. ?. ?. ?. ?. ?. ?. Addition de deux matrices de même dimension (. ).
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
Page 2 sur 9 confusion entre deux matrices contenant le même nombre d'entrées. Par exemple une matrice de dimension 3 4 possède 3 rangées et 4 colonnes.
CH 5 : Manipulation de matrices dans Scilab
deux matrices différentes car elles sont de tailles différentes deux à deux. Comme V est de taille 2 × 3 et U est de taille 3 × 3 la matrice produit
L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 7 février 2006 Matrices
spécifiques aux matrices : le produit de deux matrices et la transposition
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Algèbre matricielle
les deux matrices d'identité sont d'ordres différents. Une matrice nulle de taille compatible produit le résultat : A0 = 0. La multiplication matricielle
Méthodes Matricielles Introduction `a la Complexité Algébrique
Apr 4 2016 nécessaires pour calculer le produit de deux matrices carrées d'ordre n ... différentes méthodes utilisées pour le calcul du polynôme ...
les matrices sur Exo7
Deux matrices sont égales lorsqu'elles ont la même taille et que les coefficients Le produit d'une matrice A = ai j de Mnp() par un scalaire ? ?.
12. Matrices symétriques et matrices définies positives - Sections 6.4
et ses deux valeurs propres ?1 et ?2 on a les deux vecteurs propres Les valeurs propres d'une matrice sont tr`es différentes des.
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Dans ce cas le produit BA est une matrice de taille n × m Cette définition ne semble pas donner de moyens concrets pour calculer numériquement le produit de
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nous a guidé pour définir cette opération : le produit de deux matrices est une nouvelle matrice dont chaque élément est calculé comme le produit scalaire
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8 nov 2011 · Soient A et B deux matrices inversibles de Mn Le produit AB est inversible et son inverse est B?1A?1 Démonstration : Nous utilisons le
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On peut effectuer le produit d'une matrice à m lignes et p colonnes par une matrice à p lignes et n colonnes On appelle produit A × B la matrice de dimension m
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Deux matrices sont égales lorsqu'elles ont la même taille et que les coefficients correspondants sont égaux • L'ensemble des matrices à n lignes et p
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Définition : Soit A et B deux matrices de même taille La produit de A et B est la matrice notée A x B dont les colonnes correspondent au
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Addition de deux matrices de même dimension ( ) et 2 Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives et : 3
Multiplication de deux matrices [Calcul matriciel]
Le produit de ces deux matrices est une matrice C = ( c i j ) de type ( n q ) où l'élément c i j de C est obtenu en sommant les produits des éléments de la
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Proposition Si le produit de deux matrices carrées A et B de même taille vaut I alors elles commutent : BA = AB = I Définition On dit qu'une matrice carrée A
Comment multiplier des matrices de taille différente ?
1. On multiplie dans l'ordre, élément par élément, chaque élément d'une ligne de la première matrice A par chaque élément d'une colonne de la deuxième matrice B et ce, pour l'ensemble des éléments des deux matrices. 2. On effectue la somme de ces produits pour obtenir une nouvelle matrice.Comment Ecrire un matrice ?
Définition : Une matrice de taille m x n est un tableau de nombres formé de m lignes et n colonnes. Une telle matrice s'écrit sous la forme : Les nombres sont appelés les coefficients de la matrice. Exemple : est une matrice de taille 2 x 3.Comment savoir si une matrice est carrée ?
Une matrice qui a le même nombre de lignes et de colonnes est appelée matrice carrée.- Définition On dit qu'une matrice carrée A est inversible s'il existe une matrice carrée de même taille B vérifiant AB = I et BA = I (une seule des deux égalités suffit). On dit alors que B est un inverse de A.
Matrices
Unematriceest un tableau rectangulaire de nombres. Ces nombres, appel´es lescoefficients de la matrice, sont arrang´es dans une grille deligneshorizontales et decolonnes, avec chaque nombre `a l"intersection d"une ligne et d"une colonne. Une matrice avecmlignes etncolonnes est dite detaillem×n. La matrice suivante est de taille 3×4 : C=( (1 3 0-45 11-2 6
7 2 0 10)
Pour parler d"une matrice g´en´erale, on utilise deux ou trois notations : A=( (((a11a12···a1n
a21a22···a2n............
a m1am2···amn) Le coefficient d"une matrice qui se trouve `a l"intersection de lai-`eme ligne et de laj-`emecolonne s"appelle lecoefficient d"indices(i,j), ou le coefficient (i,j), ou le (i,j)-`eme coefficient,
etc. La premi`ere indiceiest le num´ero de ligne, et la deuxi`eme indicejest le num´ero de colonne.
Par exemple, le coefficient (1,1) de la matriceCci-dessus est 1, son coefficient (2,1) est 5, son coefficient (3,4) est 10. Le coefficient (i,j) de la matriceAci-dessus estaij. Unvecteur colonneest une matrice avec une seule colonne, donc de taillem×1. Unvecteurligneest une matrice avec une seule ligne, donc de taille 1×n. Unematrice carr´eeest une matrice
avec autant de lignes que de colonnes, donc de taillen×n. Un exemple de chaque type : (3 1 -2) ,?2 3-1 4?,( (1-0,4-0,3 -0,2 0,88-0,14 -0,5-0,2 0,95)Alg`ebre des matrices
Pour les matrices, on a op´erations d"addition,soustraction,oppos´ees, etmultiplicationpar un scalairequ"on a d´ej`a vu aux lyc´ee pour les vecteurs. On a en plus des nouvelles op´erations
sp´ecifiques aux matrices : leproduitde deux matrices, et latransposition, plus lesop´erations´el´ementairessur les lignes qu"on a vues dans le chapitre pr´ec´edent, et les op´erations ´el´ementaires
sur les colonnes, qui sont similaires.Addition
On peut additionner deux matrices de la mˆeme taille, c"est-`a-dire avec le mˆeme nombre de lignes et le mˆeme nombre de colonnes. La somme se fait d"une fa¸con qu"on appellecoefficient-par-coefficient. Cela veut dire, le coefficient d"indices (i,j) - `a l"intersection de lai-`eme ligne
et de laj-`eme colonne - deA+Best la somme des coefficients d"indices (i,j) deAet deB: A+B=( (a11···a1n.........
a m1···amn) (b11···b1n.........
b m1···bmn) (a11+b11···a1n+b1n.........
a m1+bm1···amn+bmn)Par exemple :
?1 3 05 11-2?
+?2 5 76 3 2?
=?1 + 2 3 + 5 0 + 75 + 6 11 + 3-2 + 2?
=?3 8 711 14 0?
On ne peut pas additionner deux matrices de tailles diff´erentes.Multiplication par un scalaire
Une autre op´eration est quand on multiplie tous les coefficients d"une matrice par un mˆeme nombre. On appelle celamultiplication par un scalaire. (Le motscalaireveut dire un nombre, en opposition `a une matrice ou un vecteur.) Cela s"´ecrit : r ?a11a12a13 a21a22a23?
=?ra11ra12ra13 ra21ra22ra23?
Par exemple,
2·?4 5
-2 3? =?8 10 -4 6?Soustraction, oppos´ees, matrices nulles
L"oppos´eed"une matriceAest-A=-1·A. Ladiff´erenceentre deux matrices de la mˆeme taille estA-B=A+ (-B). Ainsi les oppos´ees et les diff´erences se calculent coefficient par coefficient, comme les sommes.Par exemple :
-?4 5 0 -2 3 6? =?-4-5 02-3-6?
?2 3 53-1 0?
-?4 6 2 -2 3 4? =?2-4 3-6 5-23-(-2)-1-3 0-4?
=?-2-3 35-4-4?
Unematrice nulle 0est une matrice dont tous les coefficients sont 0, par exemple (0 0 0 0 0 0)Une matrice nulle est un ´el´ement neutre de l"addition, c"est-`a-dire quand on additionne une matrice
Aavec la matrice nulle0de la mˆeme taille cela donneA. Autrement dit,A+0=A. Par exemple (4 7 -3 2 0 5) (0 0 0 0 0 0) (4 7 -3 2 0 5)Egalit´e et ´equations de matrices
Deux matrices sont´egalessi elles sont de la mˆeme taille, et leurs coefficients sont ´egaux.
Par cons´equence, deux matrices nulles de tailles diff´erentes ne sont pas ´egales : elles ne sont
pas la mˆeme matrice, `a cause de la diff´erence en taille (0 0 0 0 0 0) ?=?0 0 0 0?Une´equationentre deux matrices de taillem×nest ´equivalent `a un syst`eme demn´equations
entre leurs coefficients. Par exemple, l"´equation de matrices ?a b a+c b+d? =?2 3 0-5? est ´equivalent au syst`eme d"´equations ???a= 2, b= 3, a+c= 0, b+d=-5. 2Multiplication de matrices
Au lyc´ee vous avez vu leproduit scalairede deux vecteurs dans le planR2, et de deux vecteurs dans l"espaceR3. Dans le plan c"´etait donn´e par la formule?(x,y),(x?,y?)?=xx?+yy?. Dans l"espace par?(x,y,z),(x?,y?,z?)?=xx?+yy?+zz?. Par exemple : ?(1,2),(3,-4)?= 1·3 + 2·(-4) =-5, ?(2,4,3),(4,1,-4)?= 2·4 + 4·1 + 3·(-4) = 0. On peut faire des produits scalaires analogues dans d"autresRn. DansR5par exemple, on a : ?(1,2,3,4,5),(1,2,3,4,5)?= 1·1 + 2·2 + 3·3 + 4·4 + 5·5 = 55.On d´efinit le produit de deux matricesAetBquand on anombre de colonnes deA= nombre de lignes deB.Ceci est ´equivalent `a
longueur des lignes deA= longueur des colonnes deB.La matrice produitABa alors autant de lignes queAet autant de colonnes queB, et ses coefficients
sont donn´es par :coefficient (i,j) deAB= produit scalaire?i-`eme ligne deA,j-`eme colonne deB?.Donc quandAest de taillem×n, etBest de taillen×p, le produitABest d´efini et est de
taillem×p. Le coefficient (i,j) deABest donn´e par : ?ai1ai2···ain?·( (((b 1j b 2j... b nj) )))=ai1b1j+ai2b2j+···+ainbnj=n? k=1a ikbkj.Par exemple
?2 3 1 0?? 4 5 6 7? =?2·4 + 3·6 2·5 + 3·71·4 + 0·6 1·5 + 0·7?
=?26 31 4 5? Dans ce cas le produit en ordre inverse est d´efini ?4 5 6 7?? 2 3 1 0? =?4·2 + 5·1 4·3 + 5·06·2 + 7·1 6·3 + 7·0?
=?13 1219 18?
mais cela donne une matrice diff´erente. Un autre exemple : (a b c d e f) )?S T U V? (aS+bU aT+bV cS+dU cT+dV eS+fU eT+fV)Dans cet exemple, le produit en ordre inverse,
S T U V? (a b c d e f) n"est pas d´efini. 3Propri´et´es de l"alg`ebre des matrices
L"addition des matrices et les deux produits satisfont `a plusieurs r`egles. On les ´enonce sans d´emonstration. L"addition des matrices est associative et commutative : (A+B) +C=A+ (B+C), A+B=B+A. La multiplication par un scalaire est distributive sur l"addition : r(A+B) =rA+rB,(r+s)A=rA+sA. La multiplication des matrices est associative, et est distributive sur l"addition : (AB)C=A(BC), A(B+C) =AB+AC,(A+B)C=AC+BC. Il y a d"autres "associativit´es" pour les produits : r(sA) = (rs)A,(rA)B=r(AB) =A(rB). Avertissement :La multiplication des matrices n"est pas commutative.Quand on a deux matrices, on a presque toujoursAB?=BA, mˆeme quand les deux produits sont d´efinis.Parmi les exemples de la page pr´ec´edente, on en avait un avecAB?=BA, et un autre o`uAB´etait
d´efini mais nonBA.Transposition
Latranspos´eed"une matriceAde taillem×nest la matrice de taillen×mobtenue en intervertissant les lignes et les colonnes deA. Elle est not´eeATou parfoistA. La premi`ere ligne deAdevient la premi`ere colonne deAT, la deuxi`eme ligne deAdevient la deuxi`eme colonne de A T, et ainsi de suite. Donc le coefficient (i,j) deAdevient le coefficient (j,i) deAT.Par exemple :(
(2 3 1 40-1 2 1
5 0 6 0)
)T ((2 0 5 3-1 0 1 2 64 1 0)
Pour une matrice g´en´erale de taille 2×3 on a : a b c d e f? T (a d b e c f) Les propri´et´es suivantes de la transposition sont faciles `a v´er (A+B)T=AT+BT,?AT?T=A,(rA)T=rAT.Th´eor`eme 1.SoitAune matricem×netBune matricen×p. Alors on a(AB)T=BTAT.La preuve se r´eduit `a montrer que le coefficient (i,j) de (AB)Tcomme deBTATest le produit
scalaire de laj-`eme ligne deAet de lai-`eme colonne deB. 4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] multiplication de nombres relatifs 4ème exercices
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