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BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires continues2008-2010

Variables aléatoires continues

Table des matières

I Variable aléatoire continue2

I.1 Notion de variable aléatoire continue . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.2 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2

I.3 Densité et loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 3

I.4 Espérance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

II La loi Normale5

II.1 Définition et cadre naturel d"apparition . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II.2 Loi normale centrée réduiteN(0;1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II.3 Utilisation de la table de la loi normale . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

II.4 Lien avec la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 8

II.5 Opérations de variables suivant une loi normale . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

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I Variable aléatoire continue

I.1 Notion de variable aléatoire continue

Définition 1

Unevariable aléatoire continueest une variable qui prend ses valeurs dans un intervalle deR.

Exemple 1

Exemple de variables aléatoires qui ne sont pas discrètes : ÔVariableTcorrespondant à la taille d"un élève, ÔVariableLcorrespondant à longueur d"un train, ÔVariableAcorrespondant au temps d"attente à une caisse ...

I.2 Fonction de répartition

Définition 2

SoitXune variable aléatoire, on appellefonction de répartitiondeXla fonction définie surRpar

Propriété 1

La définition nous permet d"écrire :

©F(x) =P(X?]- ∞;x]).

©P(X > b) =P(

Remarque 1

On admet que pour une variable aléatoire continue, pour touta?R:P(X=a) = 0. On a donc : •P(X > b) =P(X≥b).

Propriété 2

La fonction de répartitionFd"une variable aléatoire continueXa les propriétés suivantes :

©Fest une fonction croissante, définie et continue surR.

©lim

x→-∞F(x) = 0 et limx→+∞F(x) = 1. http://nathalie.daval.free.fr-2- BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires continues2008-2010

I.3 Densité et loi de probabilité

Définition 3

Dans le cas oùFest dérivable, la fonctionfdérivée deFest appeléedensité de probabilité deXet

pour toutxdeR,F ?(x) =f(x).

Conséquences :

•Fétant une fonction croissante,fest positive. ?b a f(x)dx. ab x→-∞[F(a)-F(x) ] = limx→-∞? a xf(t)dt=notation? a -∞f(t)dt. a f(x)dx= 1.

Graphiquement, l"aire entre la courbe def, qui est une fonction positive, et l"axe des abscisses vaut 1.

Exemple 2

Voici quelques exemples de densités de probabilités ainsi que leurs courbes représentatives dans un repère orthonormal :

f

0 six >1

0 1-1 1

0 six >1

0 1-1-2

1 f3(x) =???0 six <0

2e-2xsix≥0

0 1 2-1

12 http://nathalie.daval.free.fr-3- BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires continues2008-2010

I.4 Espérance et variance

Définition 4

SoitXune variable aléatoire continue etfsa densité.

E(X) =

xf(x)dx.

V(X) =

[x-E(X) ]2f(x)dx.

X, défini par la relation

X= V(X).

Exemple 3

On peut s"amuser à calculer l"espérance, la variance et l"écart-type pour la fonctionf2définie dans l"exemple2:

ÔE(X) =?

xf

2(x)dx=?

-1 x×0dx+? 0 -1x(x+ 1)dx+? 1 0 x(-x+ 1)dx+? 1 x×0dx 0 -1(x2+x)dx+? 1 0 (-x2+x)dx ?x3

3+x22?

0 -1+? -x33+x22? 1

0= 0-?

-13+12? -13+12? -0 = 0.

ÔV(X) =?

[x-E(X) ]2f(x)dx=? 0 -1x2(x+ 1)dx+? 1 0 x2(-x+ 1)dx 0 -1(x3+x2)dx+? 1 0 (-x3+x2)dx ?x4

4+x33?

0 -1+? -x44+x33? 1

0= 0-?14-13?

-14+13? -0 =16.

ÔσX=?

V(X) =1⎷6.

Propriété 3

SoitXune variable aléatoire continue admettant une espérance etune variance, alors pour tousa;b?R:

©E(aX+b) =aE(X) +b.

©V(aX+b) =a

2V(X).

©σ(aX+b) =|a|σ(X).

©E(X+Y) =E(X) +E(Y).

©E(X-Y) =E(X)-E(Y).

Si de plusXetYsont indépendantes,

©V(X+Y) =V(X) +V(Y).

©V(X-Y) =V(X) +V(Y).

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II La loi Normale

II.1 Définition et cadre naturel d"apparition

Cette loi est celle qui rend compte de diverses mesures d"unegrandeur donnée, opérées à diverses reprises,

chaque mesure étant sujette à des erreurs.

La loi normale (ou de Laplace-Gauss, appelée " normale » par Pearson en 1893) est la loi de certains

phénomènes continus qui fluctuent autour d"une valeur moyenneμ, de manière aléatoire, résultante d"un

grand nombre de causes indépendantes dont les effets s"ajoutent sans que l"un d"eux soient dominant :

par exemple la taille d"un individu en cm, influencée par le sexe, la nourriture, l"environnement, l"hérédité,

le lieu géographique ...

Définition 5

On appelleloi Normalede paramètresm?Retσ >0la loi d"une variable aléatoire continueXprenant

toutes les valeurs réelles, de densité de probabilité la fonction définie pour toutx?Rpar

f(x) =1

σ⎷2πe

-12(x-m

σ)2

On noteX?N(m;σ).

Exemple 4

Voici des exemples de courbes pour quelques valeurs demetσ:

1 2 3-1-2-3

12

1 2 3-1-2-3

12 m=-1etσ= 0,2m= 0etσ= 0,5

1 2 3-1-2-3

12

1 2 3-1-2-3

12 m= 1etσ= 0.8m= 2etσ= 1.1 http://nathalie.daval.free.fr-5- BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires continues2008-2010

Propriété 4

On admet que siXest une variable aléatoire suivant la loi normaleN(m;σ) alors

E(X) =metσ(X) =σ.

Ainsi les paramètres d"une loi normale sont en fait son espérance mathématique et son écart-type.

Remarque 2

Dans l"exemple précédent, on peut observer : •que la courbe admet comme axe de symétrie la droite d"équationx=m, •que le maximum de la courbe est atteint enm, espérance de la variableX(ce maximum valant1

σ⎷2π),

•et que plusσest grand, plus la courbe " s"étale » autour de la moyenne, en accord avec la signification

de l"écart-type.

Propriété 5

σ⎷2π

?b a e-12(x-m

σ)2dx.

II.2 Loi normale centrée réduiteN(0;1)

Définition 6

La variable aléatoireTqui suit la loi normale de paramètresm= 0etσ= 1est ditevariable aléatoire

centrée réduite. Sa densité de probabilité est définie surRparf(x) =1 ⎷2πe -12x2.

Notation :On note Π la fonction de répartition d"une variable aléatoire suivant la loiN(0;1). On a donc

?t -∞1⎷2πe -12x2dx.

Π(t)

t http://nathalie.daval.free.fr-6- BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires continues2008-2010

Propriété 6

SoitTla variable aléatoire centrée et réduite.

©P(T≥t) = 1-Π(t).

©Sitest positif : Π(-t) = 1-Π(t).

Démonstrations et interprétations graphiques :

P(T≥t) = 1-P(T < t)

= 1-Π(t). =P(T≥t) (par symétrie de la courbe) = 1-P(T < t) = 1-Π(t). = Π(b)-Π(a). = Π(t)-[1-Π(t)] = 2Π(t)-1.

1-Π(t)

t

Π(-t)Π(-t)

t -t

Π(b)-Π(a)

b a

2Π(t)-1

-tt http://nathalie.daval.free.fr-7- BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires continues2008-2010

II.3 Utilisation de la table de la loi normale

Le formulaire ne donne que les valeurs de la loi normale centrée réduite et pour des valeurs positives.

En voici un extrait pour comprendre la méthode de lecture : t0,050,060,07

1,10,87490,87700,8790

1,20,89440,89620,8980

1,30,91150,91310,9147

Le nombre situé à l"intersection de la colonne 0,06 et de la ligne 1,3 est la valeur de la fonction de répar-

tition deTpourt= 1,3 + 0,06 = 1,36. •Calcul deP(T≥1,25): P(T≥1,25) = 1-Π(1,25) = 1-0,8944 = 0,1056. •Calcul deP(T≥ -1,17):

II.4 Lien avec la loi normale

Propriété 7

Si une variable aléatoireXsuit la loi normaleN(m;σ), alors la variable aléatoireT=X-m

σsuit la

loi normale centrée réduiteN(0;1). En particulier, on aE(T) = 0 etσ(T) = 1.

Ce résultat est très importante, puisqu"alors il nous suffit d"étudier la loi normale centrée réduite puis de

procéder à un changement de variable pour obtenir n"importequelle loi normale!

Exemple 5

Une variableXsuit la loi normale de paramètresm= 12etσ= 3.

On poseT=X-m

σ=X-123.

Calcul deP(X <16):

ÔX <16??T <16-12

3??T <43.

ÔDonc,P(X <16) =P(T <1,33) = Π(1,33).

ÔOn lit sur la tableΠ(1,33) = 0,9082donc :P(X <16) = 0,9082.

Calcul deP(9< X <15):

ÔP(9< X <15) =P(-1< T <1)

= 2Π(1)-1. ÔOr,Π(1) = 0,8413donc :P(9< X <15) = 2×0,8413-1 = 0,6828 http://nathalie.daval.free.fr-8- BTS DOMOTIQUEVariables aléatoires continues2008-2010

Remarque 3

SiXsuit la loi normale de paramètresmetσ, alors

Démonstration :

T=X-m

σ??X=m+σT.

Ainsi, en particulier :

Interprétation graphique :

m 1

σ⎷2π

m-σ m+σ 0.68 m-2σ m+ 2σ 0.95 II.5 Opérations de variables suivant une loi normale

Propriété 8

SoitXune variable aléatoire suivant la loi normaleN(m;σ). Alors, pour tousa;b?R: ©La variable aléatoireaX+bsuit la loi normaleN(am+b;|a|σ),

Si de plusYsuit une loi normaleN(m

?;σ?), alors ©La variable aléatoireX+Ysuit une loi normaleN(m+m ?;⎷σ2+σ?2), ©La variable aléatoireX-Ysuit une loi normaleN(m-m ?;⎷σ2+σ?2),

Exemple 6

SiXsuit la loiN(1;⎷

3)etYsuit la loiN(-1;1), alors :

ÔLa variable aléatoire-2X+ 5suit la loi normaleN(3;2⎷ 3), ÔLa variable aléatoireX+Ysuit une loi normaleN(0;2), ÔLa variable aléatoireX-Ysuit une loi normaleN(2;2). http://nathalie.daval.free.fr-9-quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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