Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel I Produit scalaire (de
Le produit scalaire de deux vecteurs et noté Equation cartésienne d'une droite (D) passant par deux points A et B d'un plan xOy.
Chapitre 2.3 – Le produit vectoriel
v et de trouver un vecteur perpendiculaire à ce plan. Puisqu'il y a deux choix possibles la règle de la main droite choisie l'orientation.
1. Produit vectoriel de vecteurs géométriques Dans la figure ci
produit est donc un vecteur unitaire dont la direction est perpendicu- laire au plan défini par les deux vecteurs dont on effectue le produit.
GELE3222 - Chapitre 1
Si on conna?t 2 vecteurs de ce plan on utilise le produit vectoriel pour trouver le vecteur normal. Gabriel Cormier. 3. GELE3222. Page 4. CHAPITRE 1. CALCUL
Géométrie dans lespace
13 nov. 2012 Soient ??u et ??v deux vecteurs non colinéaires de l'espace. Le produit vectoriel de. ??u et ??v est le vecteur ??w orthogonal à ??u ...
1) Produit vectoriel
repere et base du plan et de l'espace (notamment base orthonormé) u et v deux vecteurs de? . On appelle produit vectoriel de u etv le vecteur noté u v.
R R
déterminant
Produit vectoriel
23 nov. 2010 On définit le déterminant de deux vecteurs u et v dans la base orthonormée (i ... dans le plan
Produit vectoriel
V le produit vectoriel de deux vecteurs 2 Quelques utilisations du produit vectoriel ... V est un vecteur constant
DÉTERMINANTS DANS LE PLAN ET DANS LESPACE
Pour calculer le produit vectoriel le plus pratique est d'écrire u et v en colonne
[PDF] Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit du module de l'un par la mesure algébrique de la projection de l'autre sur lui • Forme analytique
[PDF] Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
I 2 Scalaire et vecteur I 3 Opérations sur les vecteurs I 3 1 Somme et multiplication par un scalaire I 3 2 Produit scalaire I 3 3 Produit vectoriel
[PDF] Le produit vectoriel - AlloSchool
les points et étant non alignés ils définissent un plan ( ) dans l'espace (?) Le produit vectoriel des deux vecteurs u et v est le vecteur w AD
[PDF] Produit scalaire produit vectoriel produit mixte
2 On distingue VP constitué de vecteurs d'origine 0 contenus dans le plan P du plan P ? R3 lui-
[PDF] 1 Produit vectoriel de deux vecteurs - AzureWebSitesnet
1) Un vecteur normal ? ( ; ; ) à un plan (P) est tout vecteur orthogonal à (P) 2) Pour écrire une équation cartésienne d'un plan (P) on a besoin d'un
[PDF] Chapitre 23 – Le produit vectoriel - Physique
Le produit vectoriel est une autre opération algébrique entre deux vecteurs dont le résultat est un vecteur On utilise l'opérateur « × » pour désigner le
[PDF] Produit vectoriel
Cet exemple assez simple laisse deviner qu'il existe une relation entre les produits vectoriels et les rotations 2 On consid`ere deux vecteurs ?? V et ?
[PDF] 1) Produit vectoriel
repere et base du plan et de l'espace (notamment base orthonormé) u et v deux vecteurs de? On appelle produit vectoriel de u etv le vecteur noté u v
[PDF] Produit vectoriel et déterminant cours de niveau secondaire II
Dans une base orthonormée directe i j k dont les deux premiers vecteurs sont dans le plan de la figure les produits vectoriels sont des multiples de k
[PDF] Produit vectoriel dans lespace
Méthode pour calculer le produit vectoriel de deux vecteurs : On regarde si les deux vecteurs sont colinéaires S'ils ne le sont pas on détermine sens
Comment calculer le produit vectoriel dans le plan ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs ? et ? est un vecteur orthogonal au plan qui contient ? et ? et dont la norme est donnée par ? ? ? × ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , s i n où est l'angle entre ? et ? .Comment trouver le produit vectoriel de deux vecteurs ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs peut être calculé comme le déterminant d'une matrice trois fois trois où les éléments de la première ligne de la matrice sont les vecteurs unitaires , et pointant respectivement dans les directions des , , et .Qu'est-ce que le produit vectoriel de deux vecteurs ?
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur dont les coordonnées dépendent de celles des deux vecteurs de départ (contrairement au produit scalaire où le résultat du produit de deux vecteurs est un scalaire (un nombre)). Le produit vectoriel s'applique seulement dans un espace en trois dimensions.- Le produit vectoriel est utilisé dans de nombreux domaines de la physique. Il peut notamment être utile pour calculer le couple sur un objet. Prenons l'exemple d'une roue de voiture qui peut tourner librement autour de son axe. Une force ? est appliquée à la roue en un point situé sur le bord de la roue.
Pre requis :
- repere et base du plan et de l"espace (notamment base orthonormé) - homothetie, projection otrhtogonale et rotations - vecteurs (colinearité...) - prduit vectoriel cadre : on pose l"espace affine euclidien orientéε et on utilise la regle du petit bonhomme
d"Ampere.ε? l"espace vectoriel associé
1) Produit vectoriel
a) Definition et construction geometrique Definition : Soient u?et v? deux vecteurs deε?. On appelle produit vectoriel de u?etv? le vecteur noté u v?? ? tel que : - si u?ouv?est nul, 0u v? =? ? ? - sinon : o u v?? ?est orthogonal à u?et àv? o ( u?,v?,u v?? ?) est une base directe o . . sin( , )u v u v u v? =? ? ? ? ? ?Remarque : à l"oral,
sin( , )u v? ?ne depend pas de l"orientation. Sans valeur absolue, on a besoin d"un plan orienté.Theoreme : Soit
u?ε??non nul. Pour tout vecteurv?ε??,u v?? ?se deduit de v?par la composée de 3 applications lineaires de1) p la projection orthogonale sur le plan orthogonale à
u?passant par O2) R la rotation d"axe
( )Oi?orienté par u? et d"angle 2 3)H l"homothetie de rapport u?
b) Proprietes geometriques i. ColinearitéProposition : Soient
u?et v? deux vecteurs deε?. u?et v?colineaires ?0u v? =? ? ??. .u v u v=? ? ? ? u?etv?orthogonaux ?.u v u v? =? ? ? ??. 0u v=? ? Preuve : imediate . . sin( , )u v u v u v? =? ? ? ? ? ? ii.Antisymetrie
Proposition :
2,u vε? ?? ? ?,u v v u? = - ?? ? ? ?
iii.Bilinearité
Proposition : Soient
u? ,v?et w?? trois vecteurs deε?et α?? ( ) ( )u v u vα α? = ?? ? ? ? ( ) ( ) ( )u v w u v u v? + = ? + ?? ? ?? ? ? ? ?Preuve : par les appilcations.
iv.Base orthonormale
Proposition : Dans l"espace orienté
ε,soient , ,i j k? ? ?des vecteurs unitaires tels que ( , , )B i j k=? ? ?soit une base et i j?? ?. Best directe si et seulement si i j k j k i k i j? = ? ? = ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? ?Preuve :
Unitaire par la formule
. . sin( , )u v u v u v? =? ? ? ? ? ?Puis par(
u?,v?,u v?? ?) est une base directe c) Proprietes analytiques1) Coordonnées d"un produit vectoriel
Proposition : soit
( , , , )O i j k? ? ?un repère orthonormal direct de ε. Alors pour tout vecteur ()(), , , ", ", "u x y z v x y z? ?on a ( ) ( " ", " " , " ")u v yz zy x z z x xy yx? = - - -? ?Preuve :
( ) ( " " " )AB AB xi y j zk x i y j z k? = + + ? + +???? ???? ? ? ? ? ? ?Puis on developpe sachant que , ,
i j k j k i k i j? = ? = ? =? ? ? ? ? ? ? ? ? 2)Double produit
Proposition : : Soient
u? ,v?et w?? trois vecteurs deε?, on a ( ) ( . ) ( . )u v w u w v u v w? ? = -? ? ?? ? ?? ? ? ? ??.Preuve : posez une base telle que
v?colineaire au premier vecteur de la base etw??orthogonal au premier vecteur de la base.2) Applications
a) Calcul d"aire Proposition : l"aire d"un triangle ABC est egale à 12AB AC????? ????
Celle d"un parallelogramme ABCD est
AB AC????? ???? (2 triangles)
Preuve : reprendre la definition
b) Calcul de distanceProposition : la distance d"un point M à une droite ( , )D A u?est égale à ( , )MA ud M Du?=
Preuve : faire un dessin
c) VolumeTetraede : 1( ).6ABCDV AB AC AD= ????? ???? ????
Pavé
( ).ABCDV AB AC AD= ????? ???? ???? d) Equation d"un plan affineProposition : Soit ( , , )P A u v? ?,alors u vη= ?? ? ?normal à Pet .( ) 0M P AM u v? ? ? =????? ? ?
Cela donne l"equation du plan.
Autre application : cf exposé 40
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] multiplication coordonnées vecteurs
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