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Limites de fonctions et asymptotes

1. Limite en +∞ou -∞p14. Limites et opérationsp7

2. Asymptotesp3

3. Lilite infinie en un point ap4

Limites de fonctions et asymptotes

1. Limites en ∞.

Soit f une fonction définie sur un intervalle ]a; +∞[, a appartenant à ℝ.

Chercher la limite de fx quand

x tend vers +∞, c'est étudier le comportement des réels fx quand on prend pour x des valeurs aussi grande que l'on veut. On observe trois types importants de comportement:

1)Si pour

x assez grand, les images fx sont aussi grandes que l'on veut, on dit que fx tend

vers +∞ quand x tend vers +∞.

On note alors:

limx∞ fx=∞fxM dès que xx0.

Exemples:

limx∞x2=∞ limx∞ x=∞

2)Si pour

x suffisamment grand, les images de fx sont aussi petites que l'on veut, on dit que fx tend vers -∞ quand x tend vers +∞. On note alors: limx∞fx=-∞ Limites de fonctions et asymptotesfxm quand xx0.

Exemple: limx∞-x2=-∞

3)Si pour x suffisamment grand, les images

fx sont aussi proches d'un réel l que l'on veut, on dit que fx tend vers l quand x tend vers +∞. On note alors: limx∞fx=l. La droite  d'équation: y=l est alors appelée asymptote horizontale à la courbe de f en +∞. l-fxl dès que xx0.

Exemples:

limx∞ 1 x=0 limx∞1 x=0.

Remarques:

-Certaines fonctions n'ont aucun de ces comportements en +∞. On dit alors que la fonction n'a pas de

limite en +∞. Par exemple: la fonction sinus n'a pas de limite en +∞. -Si

f est définie sur ]-∞; a[, on définit de même des limites quand x tend vers -∞. On notera

limx-∞ fx une telle limite.

Exemples: limx-∞x2=∞

limx-∞ x3=-∞ limx-∞6-1 x=6

Limites de fonctions et asymptotes

2. Asymptotes.

Définition: Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a; +∞[

La droite  d'équation

y=axb est asymptote à la courbe représentative de f en +∞ s'il existe une fonction h telle que: pour tout x appartenant à ] a;+∞[, fx=axbhx et limx∞hx=0.

Propriété: Soit

f une fonction définie sur un intervalle de la forme ]a; +∞[ La droite  d'équation y=axb est asymptote à la courbe représentative de f en +∞ si et seulement si limx∞fx-axb=0.

Preuve:

-Supposons que  soit asymptote à c en +∞.

Il existe dont une fonction h telle que pour tout x appartenant à ]a; +∞[, fx=axbhxoù

limx∞hx=0.

Limites de fonctions et asymptotes

Alors fx-axb=hx donc limx∞fx-axb=0.

-Supposons que limx∞fx-axb=0. Posons hx=fx-axb pour x appartenant à ]a; +∞[.

On a donc limx∞hx=0.

De plus, axbhx=axbfx-axb=fx pour

x appartenant à ]a; +∞[. Donc fx=axbhx avec limx∞hx=0.

Donc  est asymptote à c en +∞.

Remarques:

-Pour a=0, on retrouve le cas de l'asymptote horizontale. -On a, de même, que  est asymptote à c en -∞ s'il existe une fonction h telle que fx=axbhx où limx-∞hx=0.

Exemple: Soit la fonction

f définie sur ℝ* par fx=-x2x1 x.

1.Démontrer que pour tout

x appartenant à ℝ*, fx=-x11 x.

2.Déterminer les asymptotes en +∞ et en -∞ à la courbe cf représentative de la fonction

f.

3.Préciser la position de cf par rapport à son asymptote.

Correction.

1.Soit

xℝ*, -x11 x=-x1x1 x=-x2x1 x=fx. D'où pour tout x appartenant à ℝ*, fx=-x11 x.

2.Soit  la droite d'équation y=-x1.

x--x1=1 x. limx∞ 1 x=0 et limx-∞ 1 x=0. D'où  est asymptote à cf en +∞ et en -∞. x--x1=1 x. 1 x >0 pour x0 et 1 x0 pour x0. Donc  est au dessus de cf pour x0 et  est en dessous de cf pour x0.

3. Limite infinie en un réel a.

3.1. Commençons par un exemple.

Soit f la fonction définie sur ℝ* par fx=1 x.

Limites de fonctions et asymptotes

Les réels fx dépassent n'importe quel réel A aussi grand que l'on veut pourvu que x soit positif et assez proche de 0. On dit que f a pour limite +∞ à droite en 0 et on note limx0,x01 x=∞.

De même, limx0,x01

x=-∞.

3.2. Définition.

Si f est définie sur ]a-;a[ ou sur ]a;a[, ou sur leur réunion, on dit que fx tend vers +∞ quand x tend vers a si fx peut-être rendu aussi grand que l'on veut à condition de prendre x suffisamment proche de a.

Limites de fonctions et asymptotes

On définit de façon analogue le fait que fxtende vers -∞ quand x tend vers a.

3.3. Propriété.

On admettra la propriété suivante.

Propriété:

-Si limxagx= 0+, alors limxa 1 gx=∞. -Si limxagx= 0-, alors limxa 1 gx=-∞.

Exemples:

1)limx2x-22

=0+ d'où limx2 1 x-22=∞.

2)limx3,x3x-3=0+ d'où

limx3,x3 1 x-3=∞, limx3,x3x-3=0- d'où limx3,x3 1 x-3=-∞d'où limx31 x-3 n'existe pas.

3.4. Asymptote verticale.

Limites de fonctions et asymptotes

Définition:

Soit f une fonction, cf sa courbe représentative et a un réel. Lorsque la limite (ou la limite à droite, ou à gauche) de f en a est +∞ ou -∞, on dit que la droite d'équation x=a est asymptote verticale à la courbe cf. La courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ\{1} par fx=1 x-12 admet pour asymptote la droite d'équation x=1.

4. Limites et Opérations

Soit f et g deux fonctions, l et l' deux réels, a désigne indifféremment un nombre réel, +∞ ou -∞.

Limites de fonctions et asymptotes

4.1. Somme.limxa

fxlll+∞-∞+∞ limxa indéterminée

Exemples:

limx∞ x23x=limx∞ x2limx∞ x-5x=limx-∞2

4.2. Produit.

limxa limxa gxl'+∞-∞+∞ ou -∞+∞-∞-∞ limxafgxll'+∞ si l0-∞ si l0-∞ si l0+∞ si l0Forme indéterminée+∞+∞-∞

Exemple: limx∞x2

-31 x=∞×-3=-∞

4.3. Inverse.

limxa limxa1 fx 1 l00+∞-∞Forme indéterminée

4.4. Quotient.

limxa fxl0l≠0+∞ ou - ∞ limxa gxl'≠00-∞ ou +∞+∞ ou - ∞ limxa f gxl l'Forme indéterminée0Forme indéterminée.

Limites de fonctions et asymptotes

Exemple:

limx∞21 x=2 et limx∞x2=∞ d'où limx∞

21

x x2=0

4.5. Quelques règles.

On retiendra les règles suivantes, que l'on peut facilement démontrer grâce aux règles de calculs.

Règle 1:

En +∞ et en -∞, un polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré.

Justification:

Soit f la fonction polynôme définie sur ℝ par fx=anxnan-1xn-1..a1xa0 avec an≠0.

Lorsque

x≠0, fx=anxn 1an-1 anx..a1 anxn-1a0 anxn.

Or limx∞an-1

anx=0, ..., limx∞ a1 anxn-1=0, limx∞ a0 anxn=0.

Nous obtenons limx∞

1an-1 anx..a1 anxn-1a0 anxn=1. Par suite, limx∞fx=limx∞anxn

Exemples:

limx∞

5x2-6x1=limx∞

Nous admettrons la règle suivante:

Règle 2:

En +∞ et en -∞, la limite de la fonction rationnelle définie par fx=anxn..a0 bpxp..b0 an≠0,bp≠0 est celle de x anxn bpxp.

Exemples:

limx∞ x2-3x2

4x2-5x1=limx∞

x2 4x2=1 4. limx-∞3x32x2-7x1 x2-3x2=limx-∞3x3 x2=limx-∞3x=-∞quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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