Calcul matriciel
Un vecteur colonne est une matrice avec une seule colonne Deux matrices sont égales si elles ont la même dimension et les coefficients situés à.
MATLAB : prise en main
Une matrice avec une seule ligne ou une seule colonne est un vecteur et une Le produit interne
Matrices Les vecteurs Vecteurs et transposé Addition de vecteurs
Multiplication matricielle. Type de matrices Un vecteur (colonne) : x = ... Le produit scalaire est l'intensité (signée) de la projection d'un vecteur.
Les matrices - Lycée dAdultes
Déterminons x et y pour que les deux matrices E et F soient égales. E = F ?? Produit d'une matrice par par un vecteur-colonne(par une matrice m × 1.
Chapitre 1 Rappel sur les vecteurs
Puisque la somme de deux vecteurs et le produit d'un vecteur par un nombre sont bien Nous rangeons ces 4 vecteurs en colonnes dans une matrice appelée C.
Vecteurs algébriques et matrices
La multiplication scalaire d'un vecteur ligne par un vecteur colonne est définie pourvue que ces deux vecteurs aient le même nombre de composantes.
2 Matrices et vecteurs
L'adjoint d'une matrice A à m lignes et n colonnes noté A Le produit scalaire de deux vecteurs colonnes x
Méthodes Matricielles Introduction `a la Complexité Algébrique
Apr 4 2016 multiplication de deux matrices carrées d'ordre n `a O(nlog2 7) au ... A?
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Une matrice avec une seule ligne ou une seule colonne est un vecteur Le produit interne (produit scalaire) de deux vecteurs colonnes x et y est le ...
CH 5 : Manipulation de matrices dans Scilab
matrice colonne ou vecteur colonne. Le produit de deux matrices A et B est défini à la seule condition que le nombre de colonnes de A soit égal au ...
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Dans ce bref chapitre nous voulons faire quelques rappels sur la notion de vecteur qui consti- tue la pierre angulaire de ce cours
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Pour déterminer BA il suffit d'effectuer la multiplication de B par chaque colonne de A et de recombiner en matrice l'ensemble des vecteurs ainsi déterminés C'
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Deux vecteurs u et v sont dits orthogonaux (et on note u ? v) si < uv >= 0 Intuitivement deux vecteurs sont orthogonaux s'ils forment un angle droit
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15 fév 2022 · Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes : Exemple avec n = 2 m = 3 : n et m sont les dimensions de la matrice
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renvoit la deuxième colonne Matrices et vecteurs : v
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Par exemple on peut additionner deux vecteurs du plan et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour l'agrandir ou le rétrécir) Mais on peut aussi
Comment faire la multiplication de deux vecteurs ?
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. ?u??v=uxvx+uyvy. ?u??v=uxvx+uyvy+uzvz.Comment multiplier une matrice par un vecteur colonne ?
Les vecteurs doivent avoir la même dimension. Le produit matriciel s'en d?duit : le produit de la matrice A (n × m) par la matrice B (m × p) est la matrice C (n × p) telle que l'élément Cij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B.15 fév. 2022Est-ce qu'une matrice est un vecteur ?
Un vecteur est une liste de nombres, une matrice est la liste de ses vecteurs lignes. Le produit matriciel est noté comme le produit ordinaire par une étoile. Les vecteurs sont a priori des vecteurs lignes, mais le produit à droite par un vecteur ligne est effectué comme si c'était une colonne.- 1. On multiplie dans l'ordre, élément par élément, chaque élément d'une ligne de la première matrice A par chaque élément d'une colonne de la deuxième matrice B et ce, pour l'ensemble des éléments des deux matrices. 2. On effectue la somme de ces produits pour obtenir une nouvelle matrice.
Chapitre 1Rappel sur les vecteursDans ce bref chapitre nous voulons faire quelques rappels sur la notion de vecteur qui consti-
tue la pierre angulaire de ce cours. Cette notion peut-ˆetreintroduite d"un point de vuepurement alg´ebrique mais cette approche oblit`ere les aspects physiques et g´eom´etriques, ce
qui est dommage. Dans ce cours, l"aspect physique ne jouera pas un grand rˆole. Par contre,l"aspect g´eom´etrique servira constamment de support `a l"intuition et de source de motivation
pour l"introduction de nouveaux outils.La notion de vecteur vient de la physique o`u elle a ´et´e introduite pour mod´eliser des quantit´es
caract´eris´ees non seulement par une mesure num´erique (i.e. la longueurdu vecteur) mais aussi par une orientation, c"est `a dire une direction(une demi-droite qui porte le vecteur). Les exemples de vecteurs sont nombreux et vari´es : champs deforce, moments, gradients, champs ´electromagn´etiques etc...1.1 Quelques d´efinitions et exemples
Un vecteur g´eom´etrique?vposs´ede deux caract´eristiques : une longueur et une direction. La longueur d"un vecteur, not´ee??v?est un nombre r´eel positif ou nul. La direction d"un vecteur est d´etermin´ee par une demi-droite, appel´ee supportdu vecteur dont le sens estcelui allant de l"origine de la demi-droite vers l"infini. Sile ph´enom`ene qu"ils mod´elisent est
bidimensionnel, les vecteurs vivent dansR2, s"il est tridimensionnel, ils vivent dansR3. C"est le contexte de la physique classique. Il y a beaucoup d"autres contextes o`u on manipule desvecteurs dans des espaces de dimension sup´erieure `a 3, d"o`u la n´ecessit´e d"introduire un point
de vue plus alg´ebrique. On note par?0, le vecteur de longueur nulle. Par convention ce vecteur neposs`ede aucune direction. Un vecteur est dit unitaires"il est de longueur 1.On repr´esente graphiquement un vecteur par une fl`eche caract´eris´ee par deux points : son
origineet et sonextr´emit´e. Par extension, on parlera de l"origine d"un vecteur et de sonextr´emit´e. Un vecteur est enti`erement d´etermin´e par la donn´ee de son origine et de son
extr´emit´e. La longueur et la direction indiqu´es par la fl`eche sont ceux du vecteur associ´e.
1CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS2
Un vecteur est dit
librelorsque son origine n"est pas sp´ecifi´ee. Il est ditglissantlorsque seule la position de son support est fix´ee. Finalement, il est dit fixelorsque son origine estd´etermin´ee. Dans ce cours, les vecteurs seront, a priori,attach´es `a l"origine, mais quand ¸ca
nous conviendra, nous les attacherons ailleurs, sans autreforme de proc`es. Le contexte sera toujours clair et cette impr´ecision ne cr´eera pas d"ambigu¨ıt´e. v support origineextrémité D´efinition1.1.1Leproduitd"un vecteur?vpar un scalaire(nombre r´eel)k, not´ek?v, est un nouveau vecteur dont la direction est parall`ele `a celle de?v. De plus,?k?v?=|k|??v?. k?va la mˆeme direction que?vsik >0 et la direction contraire sik <0. v v v vv -1.5-0.52 D´efinition1.1.2Lasomme de deux vecteurs?vet?w, not´ee?v+?w, est un nouveau vecteurdont l"origine est celle de?vet dont l"extr´emit´e est celle de?wlorsque ce dernier a son origine
`a l"extr´emit´e de?v. Alternativement, on attache?vet?wau mˆeme point et on repr´esente la
somme par la diagonale, ´emanant du mˆeme point, du parall´elogramme qu"ils engendrent. vw vw+ Ce choix de d´efinition du produit d"un vecteur par un scalaire et de la somme de deuxvecteurs n"est pas arbitraire. Il est dict´e par la physiqueet plus particuli`erement par la fa¸con
dont les forces s"additionnent.CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS3
Puisque la somme de deux vecteurs et le produit d"un vecteur par un nombre sont bien d´efinis en tant que vecteur, une expression de la forme k1?v1+···+kn?vn.
o`u?v1, ?v2,..., ?vnsontnvecteurs etki,i= 1,...,n nnombres (scalaires) l"est encore et sera appel´ee combinaison lin´eairedesnvecteurs. D´efinition1.1.3Un ensemble denvecteurs{?v1, ?v2,..., ?vn}est ditlin´eairement ind´epen- dant si aucun de cesnvecteurs ne peut s"exprimer comme une combinaison lin´eaire desn-1 autres. D´efinition1.1.4Un ensemble denvecteurs{?v1, ?v2,..., ?vn}est unebasedeR2(R3) si cesnvecteurs sont lin´eairement ind´ependants et si tous les vecteurs deR2(R3) peuvent s"exprimer comme une combinaison lin´eaire des?v1, ?v2,..., ?vn. Une base deR2est toujours form´ee d"un ensemble de 2 vecteurs lin´eairement ind´ependants. Une base deR3est toujours form´ee d"un ensemble de 3 vecteurs lin´eairement ind´ependants. Ces affirmations seront d´emontr´ees plus tard, dans un contexte beaucoup plus g´en´eral. Lorsqu"une base est donn´ee, on peut utiliser deux notations pour repr´esenter les vecteurs de l"espace ambiant. Supposons, par exemple, queB={?e1, ?e2, ?e3}soit une base deR3et que?v soit un vecteur deR3. Par d´efinition, il existe des scalairesv1,v2,v3tels que (?)?v=v1?e1+v2?e2+v3?e3 Dans cette repr´esentation, les vecteurs de la base apparaissent explicitement. Les coefficients v1,v2,v3sont appel´escomposantesde?vdans la baseBet on ´ecrira
?v= (v1,v2,v3)B.CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS4
v e1 e2 e13 e22 e13e22v=+= (3,2) Il existe une fa¸concanoniquede construire une base : donn´ees trois demi-droites de l"espace mutuellement orthogonales, on d´efinit?0 comme ´etant leur point de rencontre et ?k, les vecteurs issus de l"origine, de longueur 1 et dont la direction est donn´ees par les demi- droites. i j i j k xy 1 1 11 1 xyzSi on note
B c={?ı,??,?k}(1.1) on a alors ?ı= (1,0,0)Bc??= (0,1,0)Bc?k= (0,0,1)Bc(1.2)CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS5
Pour la base canonique, il est coutumier d"oublier l"identificateur de la base. En plus, lesupport de?ıest appel´e l"axe desx, celui de??l"axe desyet celui de?kl"axe desz. L"introduction
de cette base nous permet d"alg´ebriser les op´erations ´el´ementaires sur les vecteurs comme
suit. ?v=?w??v1=w1, v2=w2etv3=w3,(1.3) α?v=α(v1,v2,v3) = (αv1,αv2,αv3) (1.4) ?v+?w= (v1,v2,v3) + (w1,w2,w3) = (v1+w1,v2+w2,v3+w3) (1.5)Deux vecteurs?vet?wsont
parall`elessi et seulement si il existe un scalaire non nulktel que ?v=k?wc"est `a dire si v 1 w1=v2w2=v3w3=k. L" angle entre deux vecteursest l"angle entre leurs supports. Une base est diteorthonorm´ee si chaque vecteur de la base est de longueur 1 et si l"angle entre chaque paire de vecteurs de la base est droit. Par construction, la base canonique est orthonorm´ee. Lorsqu"on connait les composantes d"un vecteur dans la basecanonique, il est facile de voir, en utilisant le th´eor`eme de Pythagore, que sa longueur estdonn´ee par la formule suivante. ?v= (v1,v2,v3)Bc? ??v?=? v21+v22+v23.(1.6)La d´efinition 1.1.3 n"est pas tr`es op´erationnelle. Avec l"introduction des bases et la proposi-
tion suivante, nous obtenons un crit`ere un peu plus manipulatoire. Proposition1.1.1Un ensemble denvecteurs{?v1, ?v2,..., ?vn}est lin´eairement ind´epen- dant si et seulement si une combinaison lin´eaire de cesnvecteurs ne peut ˆetre ´egale au vecteur0que si les coefficients sont tous nuls. k1?v1+···+kn?vn=?0 =?k1=k2=...=kn= 0.
Exemple1.1.1
a) Les vecteurs (1,2) et (-1,2) sont lin´eairement ind´ependants. En effet on ne peut avoir k1(1,2) +k2(-1,2) = (k1-k2,2k1+ 2k2) = (0,0)
que si k1=k2etk1=-k2
c"est `a direk1=k2= 0.CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS6
b) Les vecteurs (1,2,3),(-1,2,3),(15,-2,-3) sont-ils lin´eairement ind´ependants? Pour r´epondre `a cette question, supposons que k1(1,2,3) +k2(-1,2,3) +k3(15,-2,-3) = (0,0,0).
Ceci n"est possible que si
k1-k2+ 15k3= 0
2k1+ 2k2-2k3= 0
3k1+ 3k2-3k3= 0
Pour que les vecteurs soient l.i., il faut que la solution de ce syst`eme soit le vecteur nul. Demandons `aMaple.
>sys:={k_1-k_2+15*k_3=0, 2*k_1+2*k_2-2*k_3 = 0, 3*k_1+3*k_2-3*k_3=0}; sys:={2k1+ 2k2-2k3= 0,k1-k2+ 15k3= 0,3k1+ 3k2-3k3= 0}
solve(sys,{k_1,k_2,k_3}); {k3=k3,k2= 8k3,k1=-7k3}
Il ressort de ce calcul qu"il y a une infinit´e de triplets de coefficients non tous nuls pour lesquels la combinaison lin´eaire est nulle,k1= 7,k2=-8,k3=-1 par exemple. Les trois vecteurs ne sont donc pas lin´eairement ind´ependants.1.2 Produit scalaire
En physique ´el´ementaire, une des premi`eres op´erationssur les vecteurs que l"on apprend `a faire concerne la projection d"un vecteur sur un autre (diagramme de forces). Bien quela signification g´eom´etrique de cette op´eration soit claire, l"aspect calculatoire l"est moins,
surtout en dimension 3. Consid´erons deux vecteurs?vet?wet supposons, par exemple, que?vrepr´esente une force qui agit sur une particule qui se d´eplace le long de la droitequi contient le support de?w. Pour calculer le travail exerc´e par cette force, il nous faut d´eterminer la composante de?v selon?w i.e. la projection orthogonale de?vsur?wque nous noterons proj?w?v. Une triangulation ´el´ementaire, nous montre que cette composante a pour longueur??v?|cosθ|. Comme le support de cette composante est celui de?w, on a () proj?w?v=α?w,CHAPITRE 1. RAPPEL SUR LES VECTEURS7
o`uαest positif si l"angle entre?vet?west inf´erieur `a un droit et n´egatif sinon. En prenant
ceci en compte et en calculant la longueur des deux membres de() on obtient que |α|=??v?|cosθ| v wvwvwprojw v projOPΔPΔ
Oθ Tout ¸ca est bel et bon, mais il nous faut maintenant calculerle membre de droite de 1.7. En dimension 2, c"est relativement facile, mais en dimension 3, les difficult´es techniques sont nombreuses. Tout ¸ca nous am`ene `a la d´efinition suivante. D´efinition1.2.1On appelleproduit scalairede deux vecteurs?vet?w, lenombre r´eel d´efini parquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] le resultat d'une multiplication s'appelle
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