TERMINALES C
utiliser le barycentre pour établir des alignements de points le point de concours de droites 2.3 Barycentre et lignes de niveau . . . . . . . . . . 19.
Les suites de Michel Mendès-France
Préciser l'ensemble alors obtenu et construisez le. 5-30 : Lignes de niveau - 1. ABC est un triangle. 1. Construire le barycentre G de (A
Exercices sur le Barycentre et lignes de niveaux
Construire le barycentre G des points (A3) ; (B
TD BARYCENTRE AVEC CORRECTION
TD BARYCENTRE : exercices d'applications et réflexions avec solutions. PROF: ATMANI NAJIB. 1BAC BIOF 1)Montrer que G est le barycentre des points.
Untitled
9) Barycentres et trigonométrie. 10) Centres d'inertie de tiges et de plaques homogènes. 11) Lignes de niveau de la fonction MMA2 - 2MB². 11 CONVEXITE.
Barycentre de 2 ; 3 ; 4 points pondérés
barycentre desz points pondérés (A ; a) ; (B ; b) l'unique point G du plan tel que : aGA + bGB =0 . VI – Ligne de niveau de l'application M ?.
LIGNES DE NIVEAU : comment faire …
Soit f une application qui à tout point M du plan
FONCTIONS VECTORIELLES DE LEIBNIZ Les objectifs Pre-requis
Utiliser la fonction vectorielle de Leibniz pour définir le barycentre 2.4.1 Lignes de niveau de l'application g : M ?- ?.
LIVRE DU PROFESSEUR
d. On en déduit alors comme (a+ b) + c? 0
Produit Scalaire
barycentre desz points pondérés (A ; a) ; (B ; b) l'unique point G du plan tel que : aGA + bGB =0 . VI – Ligne de niveau de l'application M ?.
Première S 1 F. Laroche
Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.frClasses de 1°S
Exercices Geometrie : barycentre
1. Alignement de points
1-1 : Quadrilatère
1-2 : Construction (c)
1-3 : triangle 1
1-4 : triangle 2
1-5 : pentagone
1-6 : parallélogramme
2. Concours de droites
2-7 : Triangle 1
2-8 : Triangle 2
2-9 : Triangle 3
2-10 : Triangle 4
3. Géométrie Vectorielle
3-11 : Parallélogramme
3-12 : Quadrilatère
3-13 : Alignement
4. GMQV O·HVSMŃH
4-14 : Tétraèdre 1
4-15 : Tétraèdre 2
4-16 : Tétraèdre 3
4-17 : Tétraèdre 4
4-18 : Tétraèdre 5 (c)
4-19 : Tétraèdre - 6 (c)
4-20 : Cube 1
4-21 : Cube 2
4-22 : Cube 3
4-23 : Cube coupé
4-24 : Cône
4-25 : Pyramide 1
4-26 : Pyramide 2
5. Lignes de niveau et lieux géométriques
5-27 : Paramètre
5-28 : Carré
5-29 : Triangle rectangle
5-30 : Lignes de niveau - 1
5-31 : Lignes de niveau - 2
5-32 : Lignes de niveau - 3 (c)
5-33 : Ligne de Niveau - 4 (c)
5-34 : Ligne de Niveau - 5
5-35 : Ligne de Niveau - 6
5-36 : Ligne de Niveau - 7
5-37 : Ligne de Niveau - 8
5-38 : Rectangle
5-39 : Produit scalaire
5-40 : Triangle équilatéral 1
5-41 : Triangle équilatéral 2
6. Divers
6-42 : Triangle
6-43 : Parallélogramme
6-44 : Cercle circonscrit
6-45 : Hauteurs - 1 (c)
6-46 : Hauteurs - 2 (c)
6-47 : Bissectrices (c)
1. Alignement de points
1-1 : Quadrilatère
Dans un quadrilatère ABCD, on appelle I le milieu de [AC], J le milieu de [BD] et G le point défini par :
1()2AG BC DCJJJJG JJJG JJJJG
1. Montrer que G est le barycentre de (A, 2), (B ï1 C, 2) et (D ï1B
2. En déduire que les points I, J et G sont alignés.
1-2 : Construction (c)
Soit ABCD un quadrilatère, I le milieu de [AC] et J celui de [BD].Soit K le point défini par
2KA KBJJJG JJJG
et L celui défini par2LC LDJJJG JJJG
. M le milieu de [LK].Le but du problème est de montrer que M, I et J sont alignés et de donner la position de M sur la droite (IJ).
1. Faire une figure.
2. -XVPLILHU O·H[LVPHQŃH GX NMU\ŃHQPUH G de {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) ; (D, 2)}. En associant les points de
différentes façons, montrer que G appartient aux droites (KL) et (IJ).3. Montrer que G et M sont confondus, que M est aligné avec I et J puis donner la position de M sur (IJ).
Correction
1. On a
2 2 0KA KB KA KB JJJG JJJG JJJG JJJG G
, soit K barycentre de {(A, 1); (B, 2)} et2LC LDJJJG JJJG
, soit L barycentre de {(C, 1) ; (D, 2)}.Première S 2 F. Laroche
Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.fr M L K v=2u=1 JI D C B A2. G barycentre de {(A, 1) ; (B, 2) ; (C, 1) ; (D 2` H[LVPH ŃMU OM VRPPH GHV ŃRHIILŃLHQPV Q·HVP SMV QXOOHB
K barycentre de {(A, 1) ; (B, 2)} et L barycentre de {(C, 1) ; (D, 2)} donc G est le barycentre de
{(K, 3) ; (L, 3)}, G appartient à (KL).De même G barycentre de {(A, 1) ; (C, 1) ; (B, 2) ; (D, 2)}, soit de {(I, 2) ; (J, 4)}, G appartient à (IJ).
3. G est le barycentre de {(K, 3) ; (L, 3)}, soit le milieu de [KL], G = M ; il est également sur (IJ) et le
barycentre de {(I, 1) ; (J, 2)}.1-3 : triangle 1
Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC]. Soit G le barycentre de (A ï1 % 2 HP F 2B1. Montrer que G appartient à la droite (AI).
2. Soit H le symétrique de A par rapport à B.Montrer que C, G et H sont alignés.
1-4 : triangle 2
Soit ABC un triangle. On considère :
* le barycentre I de (A ; 2) et (C ; 1) ; * le barycentre J de (A ; 1) et (B ; 2) ; * le barycentre K de (C ; 1) et (B ; ² 4).1. Montrer que B est le barycentre de (K ; 3) et (C ; 1).
2. En déduire le barycentre de (A ; 2), (K ; 3) et (C ; 1) ;
3. Montrer que J est le milieu de [IK].
1-5 : pentagone
Soit ABCDE un pentagone tel que
BC EDJJJG JJJG
. Les diagonales (BD) et (CE) se coupent en L.Soit I le milieu de [AB] et J celui de [AE] ; soit K le barycentre de (A, 2), (B, 1), (C, 1), (D, 1) et (E, 1).
1. Démontrer que les points A, K et L sont alignés.
2. Démontrer que
13LK LAJJJG JJJG
3. En déduire que le point K est le centre de gravité de ABD et de ACE.
1-6 : parallélogramme
Soit ABCD un parallélogramme, I le milieu de [CD] et E le symétrique de A par rapport à B. Les droites
(AC) et (IB) se coupent en FB IH NXP GH O·H[HUŃLŃH HVP GH PRQPUHU TXH OHV SRLQPV D, F et E sont alignés.
Première S 3 F. Laroche
Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.fr E F I AB CD Soit G le barycentre de (A, 1), (E, 1), (D, 2)et (C, 2).1. Montrer que G HVP O·LVRNMU\ŃHQPUH GX PULMQJOH BCD. En déduire que les points B, G et I sont alignés.
2. Montrer que les points A, G et C sont alignés. En déduire que les points G et F sont confondus.
3. Démontrer que les points D, F et E sont alignés.
2. Concours de droites
2-7 : Triangle 1
Dans un triangle ABC on définit I le barycentre de (B, 2), (C, 1), J le barycentre de (A, 3), (C, 2) et K le
barycentre de (A, 3) et (B, 4).1. Faire une figure.
2. En considérant G le barycentre de (A, 3), (B, 4) et (C, 2), montrer que les droites (AI), (BJ) et (CK) sont
concourantes en G.2-8 : Triangle 2
Soit ABC un triangle et I, J et K les points définis par :I est le milieu de [AB] ;
23JC JAJJJG JJG
3.BK BCJJJG JJJG
1. Déterminer les coefficients pour lesquels I est le barycentre de (A, a), (B, b), J celui de (A, a· C, c) et K
celui de (B, b· C, c·B2. Démontrer que les droites (AK), (BJ) et (CI) sont concourantes en G barycentre de (A, 2), (B, 2) et
(C, ï3B2-9 : Triangle 3
Soit ABC un triangle, D et E les points définis par 12DB DAJJJG JJJG
et2.5CE CBJJJG JJJG
I HVP OH SRLQP G·LQPHUVHŃPLRQ
des droites (AE) et (CD) et F celui des droites (BI) et (AC). On cherche à préciser la position du point F sur (AC).1. Déterminer les coefficients pour lesquels D est le barycentre de (A, a), (B, b) et E celui de (B, b· C, c·B
2. Préciser les coefficients pour lesquels I est barycentre de (A,
), (B, ) et (C,3. En déduire la position du point F sur la droite (AC).
2-10 : Triangle 4
Soit ABC un triangle, I le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à C. Les droites (AD) et (BI) se
coupent en G. Enfin, K est lH SRLQP G·LQPHUVHŃPLRQ GH AB) et (CG). On veut prouver que A est le milieu de
[BK].1. On considère D et I comme barycentres de 2 sommets du triangle ABC munis de coefficients. Préciser ces
coefficients.2. Déterminer les coefficients pour lesquels G est barycentre de (A,
), (B, ) et (C, ). Conclure.3. Géométrie Vectorielle
3-11 : Parallélogramme
Exercice 1
Soit I OH ŃHQPUH G·XQ SMUMOOpORJUMPPH QRQ MSOMPL ABCD.1. Déterminer des coefficients b, c, d pour lesquels I est le barycentre de {(B, b) ; (C, c) ; (D, d)}.
Première S 4 F. Laroche
Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.fr2. 4XHO HVP O·HQVHPNOH GHV SRLQPV G, barycentres des points A, B, C et D affectés des coefficients
, 2, 1 et 12 où est un réel quelconque ?3. Préciser la valeur de
pour laquelle G est un point de (AC).Exercice 2
ABC est un triangle isocèle (AB = AC). E et F sont deux points du segment [BC]. Les parallèles à (AB)
menées par E et F coupent (AC) en G et H respectivement. Les parallèles à (AC) menées par E et F coupent
(AB) en I et J respectivement.1. Montrer que GH = IJ.
2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient parallèles ?
Exercice 3
Soit ABCD un parallélogramme. On appelle E le barycentre de (A, 2) et (B, 1), F celui de (B, 2) et (C, 1), G
celui de (C, 2) et (D, 1) et H celui de (D, 2) et (A, 1). Faire une figure et montrer que EFGH est un parallélogramme.Exercice 4 (c)
Soit I OH ŃHQPUH G·XQ SMUMOOpORJUMPPH QRQ MSOMPL ABCD.1. Déterminer des coefficients b, c, d pour lesquels I est le barycentre de {(B, b) ; (C, c) ; (D, d)}.
2. 4XHO HVP O·HQVHPNOH GHV SRLQPV G, barycentres des points A, B, C et D affectés des coefficients
, 2, 1 et 12 où est un réel quelconque ?3. Préciser la valeur de
pour laquelle G est un point de (AC).Correction
Soit I OH ŃHQPUH G·XQ SMUMOOpORJUMPPH QRQ MSOMPL ABCD.1. Comme I est le milieu de [BD], C ne compte pas et on prend I le barycentre de {(B, 1) ; (C, 0) ; (D, 1)}
2. Ecrivons la relation
2 ( 1) (1 2 ) 0GA GB GC GD JJJG JJJG JJJJG JJJJG G
et introduisons un des points partout, par exemple A :2 2 ( 1) ( 1) (1 2 ) (1 2 ) 0GA GA AB GA AC GA AD JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG G
, soit1( 2 1 1 2 ) 2 ( 1) (1 2 ) 2 22
12 ( 2 ).22
GA AB AC AD AG AB AC AC AD AD
AG AB CD AC AD
O JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG JJJJGJJJJG JJJG JJJG JJJG JJJJG
Le choix de A Q·pPMLP YLVLNOHPHQP SMV OH SOXV PMOLQ" HP OM SUHPLqUH TXHVPLRQ SHXP VXJJpUHU GH SUHQGUH I. En
PRXV ŃMV LO VHPNOH TX·LO IMLOOH MNRXPLU j TXHOTXH ŃORVH GX VP\OHKG u JJJJG G
où uG est fixe. Appelons uG le vecteur1( 2 )2AC ADJJJG JJJJG
et introduisons K (inconnu) : 12AK KG AB CD u JJJG JJJJG JJJG JJJG G
G·RZ HQ ŃORLVLVVMQP K tel que
12AK AB CDJJJG JJJG JJJG
, on aKG u JJJJG G
Ń·HVP-à-dire la droite passant par K et de vecteur directeur uG . En fait le point K est bêtement le milieu de [AB].Première S 5 F. Laroche
Exercices Barycentre http://laroche.lycee.free.fr DA AI I K DC BA2Q SHXP PUMLPHU O·H[HUŃLŃH HQ ŃORLVLVVMQP XQ UHSqUe : A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1) et D(1 ; 1 G·RZ RQ PLUH OHV
coordonnées de G :1 1 1 1.0 2.1 ( 1).1 (1 2 ).0 12 2 2 2
1 1 1.0 2.0 ( 1).1 (1 2 ).12 2 2
x yO O O O O
ŃHŃL ŃRUUHVSRQG MX[ pTXMPLRQV SMUMPpPULTXHV G·XQH GURLPH SMVVMQP SMU K(1/2 ; 0) et de vecteur directeur
1/21/2u quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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