Angles orientés de vecteurs Trigonométrie
1.1 Cercle trigonométrique – mesures d'arcs orientés . Angle orienté de vecteurs – cas général . ... Lignes trigonométriques d'angles associés.
TD n°3 de trigonométrie : angles associés et périodicité 1) Les
1) Les angles associés cercle trigonométrique correspondant à l'angle. IOM de mesure x rad. ... 2) Lignes trigonométriques des angles associés.
TD n°3 de trigonométrie : angles associés et périodicité 1) Les
1) Les angles associés cercle trigonométrique correspondant à l'angle. IOM de mesure x rad. ... 2) Lignes trigonométriques des angles associés.
TRIGONOMÉTRIE
cercle trigonométrique on en déduit que la mesure de l'angle plein est égale Définition : Deux angles sont dits associés s'ils admettent des cosinus et ...
Trigonométrie circulaire
Ainsi tout réel est associé à un et un seul angle et si M est le point associé au Le cosinus est donc une ligne trigonométrique qui va avec le sinus ou ...
Synthèse de trigonométrie
Ils sont dérivés directement des propriétés des angles associés. 17. Page 18. 2.1. PRINCIPES D'ÉQUIVALENCE. CHAPITRE 2. EQUATIONS.
Synthèse de trigonométrie
Ils sont dérivés directement des propriétés des angles associés. 17. Page 18. 2.1. PRINCIPES D'ÉQUIVALENCE. CHAPITRE 2. EQUATIONS.
ANGLES ORIENTES - TRIGONOMETRIE - Faire savoir
e) Lignes trigonométriques ; Angles associés – Angles remarquables. Soit un angle orienté de mesure ;. Les angles : ; sont habituellement appelés angles
Angles orientés et trigonométrie I. Cercle trigonométrique radian
Alors chacun des nombres associés à x de la forme x+2k?
Chapitre 7 - Trigonométrie et angles orientés
7.1 Cercle trigonométrique et mesure d'angle associé aux vecteurs ??u et ??v . ... 7.2.1 Mesure principale d'un angle orienté de vecteurs.
Angles orientés de vecteurs
Trigonométrie
Christophe ROSSIGNOL
Année scolaire 2017/2018Table des matières
1 Mesures d"angles orientés de vecteurs
31.1 Cercle trigonométrique - mesures d"arcs orientés
31.2 Angles orientés de vecteurs unitaires
41.3 Angles orientés de vecteurs - Cas général
52 Trigonométrie6
2.1 Cosinus et sinus
62.2 Quelques relations
72.3 Angles associés
73 Propriétés des angles orientés
103.1 Angles orientés et colinéarité
103.2 Relation deChasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 ?
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1TABLE DES FIGURES LISTE DES TABLEAUX
Table des figures
1 Le cercle trigonométrique
32 Exemples de mesures d"arcs orientés
33 Angles orientés de vecteurs unitaires
44 Angle orienté de vecteurs - cas général
55 Cosinus et sinus
66 Angles remarquables
77 Cosinus et sinus de-x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
8 Cosinus et sinus deπ-x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
9 Cosinus et sinus deπ+x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
10 Cosinus et sinus de
π2 -x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .911 Cosinus et sinus de
π2 +x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1012 Quelques cas particuliers
11Liste des tableaux
1 Conversion degrés-radians
42 Valeurs remarquables de cosinus, sinus et tangente
7 21 MESURES D"ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS
Activité 1 (fp) :Arcs orientés sur un cercle1 Mesures d"angles orientés de vecteurs
1.1 Cercle trigonométrique - mesures d"arcs orientésDéfinition :On appellecercle trigonométrique u ncercle de cen treO, de rayon1, orienté dans lesens
direct (v oirfigure 1 ).Figure1 - Le cercle trigonométriqueL"arc orienté
÷ABa une infinité de mesures :π2
,-3π2 ,5π2 ... Elles sont toutes définies au nombre de " tours » près. Toute mesure de l"arc orienté÷ABest donc de la formeπ2
+ 2kπ, oùk?Z. Plus généralement :Propriété :SoitAetMdeux points du cercle trigonométrique.
Silest une mesure de l"arc orientéøAM, alors toutes les mesures de cet arc sont de la formel+ 2kπ,
oùk?Z.On note alors :
øAM=l+ 2kπ(k?Z)ouøAM=l[2π].
La deuxième notation se lit : "lmodulo2π».Exemples :A l"aide des propriétés géométriques de la figure2 , on a :Figure2 - Exemples de mesures d"arcs orientés
AE=π3
[2π];÷AF=π4 [2π];÷AG=-π6 [2π];÷AH=5π6 [2π];øAK=-π3 [2π] Exercices :30, 33 page 205 et 37 page 2061[TransMath]1. Utilisation du cercle trigonométrique. 31.2 Angles orientés de vecteurs unitaires 1 MESURES D"ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS
1.2 Angles orientés de vecteurs unitaires
Définition :Soit-→uet-→vdeux vecteurs unitaires (?-→u?=?-→v?= 1).Il existe deux pointsMetNdu cercle trigonométrique tels que--→OM=-→uet--→ON=-→v(voir figure3 ).
On appelle mesure de l"angle orienté de vecteurs(-→u ,-→v)toute mesure de l"arc orientéøMN. On utilisera
donc les mêmes notations.L"unité de mesure est le
radian (noté rad) .Figure3 - Angles orientés de vecteurs unitairesRemarque :πrad correspond à 180°. Un tableau de proportionnalité permet donc de passer facilement
des degrés aux radians (et réciproquement), voir tableau 1 .Mesure de l"angle en radians0π 6π 4π 3π 2πMesure de l"angle en degré030456090180
Table1 - Conversion degrés-radians
On passe de la première à la deuxième ligne en multipliant par180π
Exemples :On se reportera à la figure2 .
1.-→OA,--→OE=π3
[2π](exemples de mesure :π3 ;π3 + 2π=7π3 ;π3 -2π=-5π3 ,π3 + 4π=13π3 2.-→OA,--→OG=-π6
[2π](exemples de mesure :-π6 ;-π6 + 2π=11π6 3. --→OF ,-→OL=π[2π](exemples de mesure :π;3π;-π;5π) 4.--→OE ,--→OK=-2π3
[2π]Définition :Une seule mesure de l"angle orienté(-→u ,-→v)appartient à l"intervalle]-π;π]. Cette mesure
est appelée mesure principale de l"angle (-→u ,-→v).41 MESURES D"ANGLES ORIENTÉS DE VECTEURS 1.3 Angles orientés de vecteurs - Cas général
$%Exercice :Trouver la mesure principale de l"angle17π3On sait que la mesure principale est de la forme
17π3
+ 2kπ(aveck?Z) et qu"elle doit être dans l"intervalle]-π;π]. On a donc : -π <17π3 -1<173 -1-173 203103
De plus, on sait quek?Z. Or, le seul entier relatif vérifiant l"encadrement précédent estk=-93
=-3.La mesure principale de l"angle est donc :
17π3
+ 2×(-3)×π=17π3 -6π=17π-18π3 =-π3 Exercices :31 page 205 et 36 page 2062- 34 page 2053- 35 page 2054[TransMath]1.3 Angles orientés de vecteurs - Cas généralDéfinition :Soit-→uet-→vdeux vecteurs non nuls. On noteCle cercle trigonométrique de centreO. On
se référera à la figure 4On pose
les demi-droites[OM)et[ON)coupent respectivement le cercle trigonométriqueCenAetB.Les vecteurs-→OAet--→OBsontunitaires et resp ectivementde même direction et de même sens que -→uet-→v.
On appelle alors
mesure d el"angle orien té(-→u ,-→v), toute mesure de l"angle orienté-→OA,--→OB.Figure4 - Angle orienté de vecteurs - cas général
Exercices :29, 32 page 205 et 38, 40, 42 page 2065- 43 page 2066[TransMath]2. Angles orientés de vecteurs unitaires.
3. Mesure principale.
4. Algorithmique.
5. Angles orientés de vecteurs.
6. Ensemble de points.
52 TRIGONOMÉTRIE
2 Trigonométrie
2.1 Cosinus et sinusDéfinition 1 :On dit qu"un repère(O;-→ı;-→?)du plan orienté estorthonormal direct si :
-→ı?=?-→??= 1et(-→ı;-→?) = +π2[2π]Définition 2 :SoitCle cercle trigonométrique de centreOetA,Bdeux points du cercleCtels que le
repèreO;-→OA;--→OBsoitorthonormal direct (v oirfigure 5 ).Soitxun réel.
Il existe un unique pointMdu cercle trigonométriqueCtel que-→OA;--→OM=x[2π].On appelle
cos inuset si nusde x(notéscosxetsinx) les coordonnées du pointMdans le repèreO;-→OA;--→OB.
cosx:abscisse du p ointM sinx:ordonnée du p ointM.Figure5 - Cosinus et sinusRemarques :1.Si k?Z,x+ 2kπest une autre mesure de l"angle orienté-→OA;--→OM. On a donc :
cos(x+ 2kπ)= cos x sin(x+ 2kπ)= sin x2.A(1; 0)donc :cos(0) = 1etsin(0) = 0.
B(0; 1)donc :cosπ2
= 0etsinπ2 = 1. A ?(-1; 0)donc :cos(π) =-1etsin(π) = 0. B ?(0;-1)donc :cos-π2 = 0etsin-π2 =-1. 3. Le triangle OHMest rectangle enHdonc, d"après le théorème dePythagore: OH2+HM2=OM2
Or,OM= 1,OH2= (cosx)2etHM2= (sinx)2. On a donc :
(cosx)2+ (sinx)2= 1 Dans toute la suite, on notera :cos2x= (cosx)2etsin2x= (sinx)2. La relation précédente devient alors : cos2x+ sin2x= 1
62 TRIGONOMÉTRIE 2.2 Quelques relations
2.2 Quelques relations
On a déjà les relations suivantes :Propriété :Pour toutx?Ret toutk?Z: cos(x+ 2kπ)= cos x sin(x+ 2kπ)= sin x cos2x+ sin2x=1
Les cosinus, sinus et tangente des angles remarquables sont données dans le tableau 2 .x0π 6π 4π 3π 2π cosx1⎷32⎷2
2120-1sinx01
2⎷2
2⎷3
210tanx0⎷3
31⎷30
Table2 - Valeurs remarquables de cosinus, sinus et tangenteRemarque :Pour retenir tous les résultats du tableau2 , on peut s"aider du cercle trigonométrique (voir
figure 6 ).Figure6 - Angles remarquablesExercice :Calculersinαetcosβsachant que :
-cosα= 0,6et-π2 < α <0 -sinβ= 0,8etπ2 Exercices :59, 60, 61 page 2087- 44 page 206 et 89 page 2118[TransMath]2.3 Angles associés
Dans toute cette section,xdésigne un réel etMle point associé au réelxsur le cercle trigonométrique suivant
ladéfinition 2du2.1 . 72.3 Angles associés 2 TRIGONOMÉTRIE
Figure7 - Cosinus et sinus de-x
Cosinus et sinus de-x:voir figure7 .
M(cosx; sinx)etM1(cos(-x) ; sin(-x)).
CommeMetM1sonts ymétriquesp arrapp ortà l"axe des ab scisses, on en déduit que : Cosinus et sinus de-x
cos(-x) = cosx sin(-x) =-sinxCosinus et sinus deπ-x:voir figure8 .Figure8 - Cosinus et sinus deπ-xM(cosx; sinx)etM2(cos(π-x) ; sin(π-x)).
CommeMetM2sonts ymétriquespar rapp ortà l"axe des ord onnées, on en déduit qu e: Cosinus et sinus deπ-x
cos(π-x) =-cosx sin(π-x) = sinxCosinus et sinus deπ+x:voir figure9 .7. Lignes trigonométriques.8. Repérage polaire.
82 TRIGONOMÉTRIE 2.3 Angles associés
Figure9 - Cosinus et sinus deπ+x
M(cosx; sinx)etM3(cos(π+x) ; sin(π+x)).
CommeMetM3sonts ymétriquespar rapp ortà l"origine du rep ère, on en déduit que : Cosinus et sinus deπ+x
cos(π+x) =-cosx sin(π+x) =-sinxCosinus et sinus de π2 -x:voir figure10 .Figure10 - Cosinus et sinus deπ2 -xM(cosx; sinx)etM4cosπ2
-x; sinπ2 -x.CommeMetM4sonts ymétriquesp arrapp ortà la droite d"é quationy=x, on en déduit que :Cosinus et sinus deπ+x
cos π2 -x = sinx sin π2 -x = cosxCosinus et sinus de π2 +x:voir figure11 .M(cosx; sinx)etM5cosπ2
+x; sinπ2 +x. CommeM4etM5sonts ymétriquespar rapp ortà l "axe des ordonnées, on en déduit qu e: 93 PROPRIÉTÉS DES ANGLES ORIENTÉS
Figure11 - Cosinus et sinus deπ2
+xCosinus et sinus de π2 +x cos π2 +x =-sinx sin π2 +x= cosxRemarque :Pour retenir ces relations, il est vivement conseillé de se référer au cercle trigonométrique.
Exemples :1.cos2π3
= cosπ-π3 =-cosπ3 =-122.cos7π6
= cosπ+π6 =-cosπ6 =-⎷3 23.sin-π4
=-sinπ4 =-⎷2 2 Exercices :1, 2, 3 page 197 et 63 page 2089- 34, 35 page 208 et 21 page 20210- 22 page 20211- 5,6, 7, 8 page 198 et 68, 69 page 208
12- 70 page 208 et 71, 72 page 20913- 82, 83, 84, 85 page 21014
TransMath
3 Propriétés des angles orientés
3.1 Angles orientés et colinéaritéPropriété :Soit-→uet-→vdeux vecteurs non nuls.
Les v ecteurs-→uet-→vsontcolinéaires et de même sens si et seulemen tsi (-→u ,-→v) = 0[2π].
Les v ecteurs-→uet-→vsontcolinéaires et sens con trairessi et seuleme ntsi (-→u ,-→v) =π[2π].Remarque :On peut donc utiliser les angles orientés pour prouver un parallélisme ou un alignement.
3.2 Relation de ChaslesThéorème :Relation deChasles(admis)
Soit-→u,-→vet-→wtrois vecteurs non nuls. Alors : -→u ,-→v) + (-→v, -→w) = (-→u ,-→w) [2π]9. Angles associés.10. Lignes trigonométriques d"angles associés.
11. Utilisation d"angles orientés pour démontrer.
12. Équations trigonométriques.
13. Avec la calculatrice.
14. Équations plus difficiles.
10RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESQuelques conséquences :Ces égalités sont illustrées sur la figure12 .
1.(-→v ,-→u) =-(-→u ,-→v) [2π]
2.(-→u ,--→v) = (-→u ,-→v) +π[2π]et(--→u ,-→v) = (-→u ,-→v) +π[2π]
3.(-→u ,-→v) = (-→u ,-→v) [2π]Figure12 - Quelques cas particuliers
Exercices :46 page 20715- 12, 13, 15 page 200; 20 page 202 et 49, 50, 51, 54, 55, 56 page 20716- 79, 80
page 210 et 90 page 21117[TransMath]
Références
[TransMath] transMA TH1reS, édition 2011 (Nathan) 3 5 7 1011 15. Angles particuliers.
16. Démontrer en utilisant la relation deChasles.
17. Plus difficiles.
11quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Lignes trigonométriques PI/12
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