[PDF] Fonctions : symétries et translations

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DERNIÈRE IMPRESSION LE27 février 2017 à 16:06

Fonctions : symétries et

translations

Table des matières

1 Définition2

1.1 Fonction numérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Ensemble de définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Comparaison de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Parité d"une fonction4

2.1 Fonction Paire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Fonction impaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Autres symétries5

3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2 Symétrie par rapport à un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.3 Des représentations déduites par symétrie. . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Translation9

4.1 Translations horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.2 Translations verticales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR

1. DÉFINITION

1 Définition

1.1 Fonction numérique

Définition 1 :Unefonctionnumériquefd"unevariableréellexestunerelation qui à un nombre réelxassocie un unique nombre réelynotéf(x). On écrit alors : f:RouDf-→R x?-→f(x) ?Il faut faire la différence entre la fonctionfqui représente une relation etf(x) qui représente l"image dexparfqui est un nombre réel.

Exemple ::

•f(x) =3x-7fest une fonction affine (droite)

•f(x) =5x2-2x+1fest une fonction du second degré (parabole) •f(x) =x+22x-3fest une fonction homographique (hyperbole) •f(x) =e-x2fonction de Gauss (courbe en cloche)

1.2 Ensemble de définition

Définition 2 :L"ensemble définition d"une fonctionfest l"ensemble des va- leurs de la variablexpour lesquelles la fonction est définie

Exemple :

•Soit la fonctionfdéfinie parf(x) =⎷4-xa pour ensemble de définition : D f=]-∞; 4](4-x?0) •Soit la fonctiongdéfinie parg(x) =3x2-5x-6a pour ensemble de défini- tion :Dg=R-{-1 ; 6}(x2-5x-6?=0,x=-1 racine évidente) •Soit la fonctionhdéfinie parh(x) =ln(x+1)a pour ensemble de définition D h=]-1 ;+∞[(x+1>0)

1.3 Comparaison de fonctions

Définition 3 :On dit que deux fonctionfetgsont égales si et seulement si : •Elles ont même ensemble de définition :Df=Dg

•Pour toutx?Df,f(x) =g(x)

PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR

1. DÉFINITION

Exemple :Les fonctionfetgdéfinies ci-dessous, sont-elles égales? f(x) =? x-1 x+3etg(x) =⎷ x-1⎷x+3

Déterminons leur ensemble de définition :

•Pourf, on doit avoir :x-1x+3?0, d"oùDf=]-∞;-3[?[1 ;+∞[ •Pourg, on doit avoir :x-1?0 etx+3>0, d"oùDg= [1 ;+∞[ •On a donc :Df?=Dg. Les fonction ne sont donc pas égales. ?On remarquera cependant que sur[1 ;+∞[, on af(x) =g(x) Définition 4 :Soit I un intervalle et soitfetgdeux fonctions définies sur I.

On dit que sur I :

•f?g? ?x?I,f(x)?g(x).

•f?0? ?x?I,f(x)?0.

•festmajorée? ?M?R,?x?I,f(x)?M.

•festminorée? ?m?R,?x?I,m?f(x).

•festbornée? ?m,M?R,?x?I,m?f(x)?M.

Remarque :La relation d"ordre pour les fonctions n"est pas totale car deux fonc- tions ne sont pas toujours comparables. Soit les fonctionsfetgdéfinies surRpar :f(x) =xetg(x) =x2. On a par exemple : 1

2>?12?

2 ?f?12? >g?12? et 2<22?f(2)Exemple : •Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x(1-x). Démontrer quefest majorée surR.

On met la fonction sous la forme canonique :

f(x) =-x2+x=-(x2-x) =-? x-1 2? 2 +14 La parabole représentantfest tournée vers le bas et de sommet S?1 2;14?

La fonctionfest donc majorée par1

4. •Montrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x) =4sinx-3 est bornée.

On a pour toutx?R:

-1?sinx?1? -4?4sinx?4? -7?4sinx-3?1? -7?g(x)?1 gest donc bornée par[-7 ; 1].

PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR

2. PARITÉ D"UNE FONCTION

M fmajorée m fminorée M m fbornée Propriété 1 :Sifune fonction est monotone sur un intervalle I= [a;b]alors fest bornée. Démonstration :Supposons quefest croissante sur[a;b](le casfdécrois- sante se traite de façon analogue). Soitx?[a;b], i.e.a?x?b, commefest croissante, elle conserve la relation d"ordre, d"oùf(a)?f(x)?f(b). On peut prendrem=f(a)etM=f(b),fest donc bornée.

2 Parité d"une fonction

2.1 Fonction Paire

Définition 5 :On dit qu"une fonctionfest paire surDfssi l"on a : •Son ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.

•?x?Df,f(-x) =f(x)

Exemple :Les fonctions suivantes sont paires sur leur ensemble de définition: f

1(x) =x2,f2(x) =5x4+3x2-1,f3(x) =cosx,f4(x) =sinx

x,f5(x) =e-x2 Remarque :Le terme " pair » doit son nom au fait que les fonctions polynômes qui ne contiennent que des termes de puissances paires vérifient :f(-x) =f(x)

Propriété 2 :La représentation

d"une fonction paire estsymétrique par rapport à l"axe des ordonnées. ??x -x f(-x) =f(x)MM"O

PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR

3. AUTRES SYMÉTRIES

2.2 Fonction impaire

Définition 6 :On dit qu"un fonctionfest impaire si et seulement si l"on a : •Son ensemble de définitionDfest symétrique par rapport à l"origine.

•?x?Df,f(-x) =-f(x)

Exemples :

Les fonctions suivantes sont impaire sur leur ensemble de définition : f

1(x) =x3,f2(x) =sinx,f3(x) =tanx,f(x)4=1

x,f5(x) =4x3-3x Remarque :Le terme " impair » doit son nom au fait que les fonctions po- lynômes qui ne contiennent que des termes de puissances impaires vérifient : f(-x) =-f(x)

Propriété 3 :La représentation

d"une fonction impaire estsymétrique par rapport à l"origine. x -x f(x)f(-x) MM" O

3 Autres symétries

3.1 Symétrie par rapport à un axe vertical

Théorème 1 :Soit A(a; 0)dans le repère(O,?ı,??). Si un point M a pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,?ı,??)et(X;Y)dans un repère(A,?ı,??), alors, on a les relations :?X=x-a Y=y SoitCfla courbe de la fonctionfdans le repère(O,?ı,??). La courbeCfest symé- trique par rapport à l"axex=asi et seulement si la fonctiongdont la courbe estCfdans le repère(A,?ı,??)est paire.

Remarque :On peut aussi montrer quef(a+x) =f(a-x)

PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR

3. AUTRES SYMÉTRIES

Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x2-2x-1. Montrer queCfest symétrique par rapport à l"axex=1.

On change de repère passant de

(O,?ı,??)à(A,?ı,??). On a les relations suivantes : ?X=x-1

Y=f(x)?

x=X+1 g(X) = (X+1)2-2(X+1)-1 ?x=X+1 g(X) =X2+2X+1-2X-2-1? x=X+1 g(X) =X2-2 1 -1 -21 2 3-1? x X=x-1 x=1 A M Comme la fonction carrée est paire, la fonctiongest paire et donc la courbeCfest symétrique par rapport à la droitey=1. Remarque :Autre méthode :f(1+x) =f(1-x)en effet : f(1+x) = (1+x)2-2(1+x)-1=1+2x+x2-2-2x-1=x2-2 f(1-x) = (1-x)2-2(1-x)-1=1-2x+x2-2+2x-1=x2-2

3.2 Symétrie par rapport à un point

Théorème 2 :Soit I(a;b)dans le repère(O,?ı,??). Si un point M a pour coordonnées(x;y)dans un repère(O,?ı,??)et(X;Y)dans un repère(I,?ı,??), alors, on a les relations?X=x-a Y=y-b SoitCfla courbe de la fonctionfdans le repère(O,?ı,??). La courbeCfest symé- trique par rapport au point I(a;b)si et seulement si la fonctiongdont la courbe estCfdans le repère(I,?ı,??)est impaire. Remarque :On peut aussi montrer quef(a+x) +f(a-x) =2b Exemple :Soit la fonctionfdéfinie surR-{-1}tel quef(x) =2x-1x+1. Montrer queCfest symétrique par rapport au point I(-1 ; 2).

On change de repère passant de

(O,?ı,??)à(I,?ı,??). On a les relations suivantes :

PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR

3. AUTRES SYMÉTRIES

?X=x+1

Y=f(x)-2????x=X-1

g(X) =2(X-1)-1

X-1+1-2????x=X-1

g(X) =2X-3X-2 ?x=X-1 g(X) =2X-3-2X

X????x=X-1

g(X) =-3X Comme la fonction inverse est impaire, la fonctiongest impaire et donc la courbe deCfest symétrique par rapport au point I.

Remarque :Autre méthode :

f(-1+x) +f(-1-x)

2(-1+x)

-1+x+1+2(-1-x)-1-x+1 -2+2x x--2-2xx =4=2×2246 -22 4-2-4 x

X=x+1yY=y-2MIM"

O

3.3 Des représentations déduites par symétrie

Soit la fonctionfdéfinie surRparf(x) =x3-3x2+1 représentée ci-dessous.

1) Déduire les courbes des fonctionsg,

hetkdéfinies surRpar : a)g(x) =-f(x) b)h(x) =|f(x)| c)k(x) =f(-x)

2) On définie surRla fonctionFpar :

F(x) =f(|x|).

a) Démontrer que la fonctionFest paire b) En déduire la représentation deF 12 -1 -2 -3 -41 2 3-1-2 Cf O 1) a)

PAUL MILAN7VERS LE SUPÉRIEUR

3. AUTRES SYMÉTRIES

La courbeCgest l"image deCfpar

lasymétrie par rapport à l"axe des abscisses. 123
-1 -2 -3 -41 2 3-1-2 CfCg O b) On déduit la courbeChen faisant une symétrie par rapport

àl"axedesabscissesuniquement

lorsquef(x)<0. 123
-1 -2 -31 2 3-1-2 O Cf Ch c) La courbeCkest l"image deCfpar lasymétrie par rapport à l"axe des ordonnées. 123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3 O CfCk

2) a) On a pour toutxréel :F(-x) =f(| -x|) =f(|x|) =F(x)

La fonctionFest donc paire.

b) On déduit la courbeCFde la courbe C fen faisant une symétrie par rap- port à l"axe des ordonnées unique- ment six<0 123
-1 -2 -31 2 3-1-2-3 O Cf CF

PAUL MILAN8VERS LE SUPÉRIEUR

4. TRANSLATION

4 Translation

Théorème 3 :Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalleI. SoitCfsa courbe représentative. Soit les les fonctiongeth, les fonctions définie respectivement surJetItel queJ est l"intervalle I décalé vers la droite deapar : g(x) =f(x-a)eth(x) =f(x) +b a ?ıetb??de la courbeCf

4.1 Translations horizontales

12 -1 -2 -3 -41 2 3 4 5-1-22?ı CfCg O f(x) =x3-3x2+1 g(x) =f(x-2)=(x-2)3-3(x-2)2+1 12 -1 -2 -31 2 3 4 5-1-2-3-3?ıCf Cg O f(x) =lnx Df=]0 ;+∞[ g(x) =f(x+3)=ln(x+3)Dg=]-3 ;+∞[

4.2 Translations verticales

1234
-1 -2 -31 2 3-1-2 2?? Cf Cg O f(x) =x3-3x2+1 g(x) =f(x) +2=x3-3x2+3 12 -1 -2 -3 -41 2 3 4 5-1-2-3 -3?? Cf Cg O f(x) =lnx Df=]0 ;+∞[ g(x) =f(x)-3=lnx+3Dg=]0 ;+∞[

PAUL MILAN9VERS LE SUPÉRIEUR

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