[PDF] 1.3 Quelques techniques de calcul des DL

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1.3Quel questechniquesdecalculd esDL

Notation1.21.Soitfunefonc tionréelleadmettantundé veloppementlimitéà l'ordrenenx 0 ?R,de partierégulièreP n

1.On peutu tiliserl'une oul'autredesécrituressuivan tespourexprim erleDLdefàl'ordrenen

x 0 a)f(x)=P n (x)+(x-x 0 n

×ε(x)aveclim

xx0

ε(x)=0

b)f(x)=P n (x)+o((x-x 0 n

2.Si lequot ient

f(x)-Pn(x) (x-x 0 n+1 estborn éauvoisinagedex 0 ,alorsonpeutécrire f(x)=P n (x)+O((x-x 0 n+1 )pourexprim erleDLdefàl'ordrenenx 0 Théorème1.22.("tronca tion")Soientmetndeuxentier snaturelstelsquenPlusprécis ément,siP n etQ n sontdespol ynômesde degréauplusntelsque f(x)=P n (x)+o((x-x 0 n )etg(x)=Q n (x)+o((x-x 0 n ),alorsona (αf+βg)(x)=(αP n +βQ n )(x)+o((x-x 0 n Proposition1.24.(Conséquenceduthéo rèmed'unicitédu DL) Soitfunefonc tionréelledéfinieauvoisi nagede0etad mettantundéveloppementlimitéd' ordren donnéparf(x)=P n (x)+o(x n )(deg(P n )?n).

1.Si festunef onctionpai re,alorsdanslestermesno nnulsdupolynômeP

n ,iln'apparaîtquedes puissancespaires.

2.Si festunef onctionim paire,alorsdanslestermesnon nulsdupolynômeP

n ,iln'apparaîtque despuis sancesimpaires. Note1.25.( DLdefonctionsus uellesàr etenir absolument)Lesform ulesci-dessousconcernen t desdéve loppementslimitésdefonctionusuellesen0.Cesformulessontobtenuesparapplicationdu théorèmedeTaylor-Young enlep ointx 0 =0. 1.e x i=0 i=n 1 i! x i +o(x n )ou,enex plici tantlesigne e x =1+x+ 1 2 x 2 1 n! x n +o(x n 2. 1 1-x i=0 i=n x i +o(x n )=1+x+x 2 ++x n +o(x n 3. 1 1+x i=0 i=n (-1) i x i +o(x n )=1-x+x 2 ++(-1) n x n +o(x n

4.(1+x)

=1+ 1?i?n

α(α-1)(α-i+1)

i! x i +o(x n )formulequis'écri tencore (1+x) =1+αx++

α(α-1)(α-n+1)

n! x n +o(x n

5.ln(1-x)=-

1?i?n 1 i x i +o(x n )ou,enex plici tantlesigne ln(1-x)=-x- 1 2 x 2 1 n x n +o(x n

6.ln(1+x)=

1?i?n (-1) i-1 i x i +o(x n )ou,enexpl icitant lesigne ln(1+x)=x- 1 2 x 2 (-1) n-1 n x n +o(x n

1.3Quel questechniquesdecalculd esDL5

sin(x)= i=0 i=p (-1) i (2i+1)! x 2i+1 +o(x 2p+2 )ou,enex plicit antlesigne sin(x)=x- 1 3! x 3 (-1) p (2p+1)! x 2p+1 +o(x 2p+2 cos(x)= i=0 i=p (-1) i (2i)! x 2i +o(x 2p+1 )ou,enexp licitan tlesigne cos=1- 1 2 x 2 (-1) p (2p)! x 2p +o(x 2p+1 Théorème1.26.(DLd'unpr oduit)Soientfetgdeuxfoncti onsréelles,admettantauvoisinage de x 0 0 .Alorslafonctionproduitf×gadmetundével oppe- mentlimitéd 'ordrenenx 0

Sif(x)=P

n (x)+o((x-x 0 n )etg(x)=Q n (x)+o((x-x 0 n ),alors(f×g)(x)=T n (x)+o((x-x 0 n oùT n (x)estlepr oduit P n (x)×Q n (x)amputédesesterm esdede grésstric tementplusgrandsque n. Exercice1.1.Calculerledeveloppeme ntlini téàl'ordre2enx 0 =0dela foncti onhdéfiniepar h(x)=(1+x) 1 3

×ln(1+x).

Solution:Onposef(x)=(1+x)

1 3 ,g(x)=ln(1+x)eton utilis elesDLdesfonctionsusuel les.

Ontr ouvef(x)=1+

1 3 x- 1 9 x 2 +o(x 2 ),g(x)=x- 1 2 x 2 +o(x 2 Enap pliquantlethéorèmeprécédenton obtien th(x)=x- 1 6 x 2 +o(x 2 Théorème1.27.(DLd'unec omposée)Soientfunefonc tionréelledéfinieauvoisi nagedex 0 ?R etgunefon ctionréelledéfinieauvoisi nagedef(x 0 )etnunen tiernaturel.Sifadmetundéve loppe- mentlimitéà l'ordrenenx 0 etgadmetundévelop pement limitéàl'ordrenenf(x 0 ),alorslacomposée h=g◦fadmetundévelop pement limitéd'ordrenenx 0 .Plusprécisément,siP n (resp.Q n )estla partierégulièred udéveloppementlimitéàl'ordr endef(resp.g)enx 0 (resp.f(x 0 ))alorslapartie régulièreT n deh=g◦fs'obtiententronquantàl'o rdren,lacomposéeQ n ◦P n

Exemple1.28.(f(x

0 )0,DLde 1 f(x) enx 0 )Soitfunefonc tionréelledéfinieauvoisina gedex 0 tellequef(x 0 )0etad mettantundéveloppementlimi téd'or drenenx 0 .Alorsh(x)= 1 f(x) admetun développementlimitéd'ordrenenx 0 1 f(x)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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