Une très courte introduction à SageMath
02-Mar-2022 sion (fonction équation
I. Sens de variation dune fonction ; extréma
La fonction racine carrée est définie pour x. 0. Tableau de variation : sur [ 0 ; + [ f est croissante. Sa limite quand x tend vers 0 est d'ailleurs +.
VARIATIONS DUNE FONCTION
Partie 1 : Fonctions croissantes et fonctions décroissantes. 1. Définitions En effet la fonction racine carrée étant croissante
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
On dit également que les fonctions carré et racine carrée sont réciproques l'une de l'autre pour des valeurs de positives. Page 2. 2. Yvan Monka – Académie
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
fonctions : limite continuité
FONCTIONS DUNE VARIABLE COMPLEXE
Une fonction f de la variable complexe z = x + iy associe à un élément du domaine fonction racine carrée : ... III 1 Limite et continuité d'une fonction.
Travaux dirigés avec SAGE (partie I)
La valeur de l'expression appara?t sous forme littérale (sqrt désigne la racine carrée). Pour avoir une approximation numérique avec 10 chiffres décimaux
DÉRIVATION
5) Tracer les asymptotes à C puis la courbe C. 6) Vérifier à l'aide de la calculatrice graphique. 1) La fonction racine carrée est définie sur 0;+???
cours-exo7.pdf
Trigonométrie. Fonctions usuelles. Développements limités. Intégrales I. Intégrales II. Suites II 0 x 25 =? x 5 » est vraie (prendre la racine carrée).
Racine carrée dune fonction différentiable
ANNALES DE L'INSTITUT FOURIER. GEORGES GLAESER. Racine carrée d'une fonction différentiable. Annales de l'institut Fourier tome 13
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg En 1614, un mathématicien écossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisé de Neper publie " Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalité d'un travail de 20 ans, Neper présente un outil permettant de simplifier les calculs opératoires : le logarithme. Neper construit le mot à partir des mots grecs " logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne tr ouvera son essor qu'après la mort de Neper. Les mathématiciens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ;1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper.
Les mathématiciens de l'époque établissent alors des tables de logarithmes de plus en plus précises.L'intérêt d'établir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition
(Partie 3). Ceci peut paraître dérisoire aujourd'hui, mais il faut comprendre qu'à cette époque, les calculatrices
n'existent évidemment pas, les nombres décimaux ne sont pas d'usage courant et les opérations posées telles
que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce
demandent d'effectuer des opérations de plus en plus complexes.Partie 1 : Fonction réciproque
Exemple :
Dire que 9 est l'image de 3 par la fonction carré, revient à dire que 3 est l'image de 9 par la
fonction racine carrée.On note : 3
=9⟺ 9=3.On a également : 5
=25⟺ 25=5.De façon générale, pour tout réel et positifs, on a :
Dans ce cas, on dit que la fonction ⟼
est réciproque de la fonction ⟼ pour des valeurs de positives.On dit également que les fonctions carré et racine carrée sont réciproques l'une de l'autre
pour des valeurs de positives. 2Les courbes représentatives des fonctions carré et racine carrée sont symétrique l'une de
l'autre par rapport à la droite d'équation = pour des valeurs de positives. Définition : Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle.On appelle fonction réciproque de , la fonction telle que : )=⟺)=.
Propriété : Les courbes représentatives de deux fonctions réciproques sont symétriques
l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation =. Méthode : Déterminer la fonction réciproque d'une fonctionVidéo https://youtu.be/bgINubYekqo
Soit la fonction définie sur ℝ par =3-4. Déterminer la fonction réciproque de la fonction .Correction
On pose :
Soit : 3-4=
3=+4
1 3 4 3 1 3 4 3Soit encore :
= avec : 1 3 4 3 est la fonction réciproque de la fonction . Partie 2 : Fonction exponentielle et fonction logarithme1) Rappels concernant la fonction exponentielle
Propriétés : La fonction exponentielle est définie, continue, dérivable, strictement croissante et convexe sur ℝ.On a :
3Propriétés :
=1 >0 , avec ∈ℕ2) Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur ℝ, à valeurs dans0;+∞
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel de0;+∞
l'équation = admet une unique solution dans ℝ.Définitions : On appelle logarithme népérien d'un réel strictement positif , l'unique
solution de l'équation =. On la note ln. La fonction logarithme népérien, notée , est la fonction définie sur0;+∞
, par ⟼ln)Remarques :
- Les fonctions et sont réciproques l'une de l'autre.1 2 0 2)
1 2 expln 4 - Les courbes représentatives des fonctions et sont symétriques par rapport à la droite d'équation =.A noter :
Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme décimale, notée log, et définie par : log)= Propriétés de ln liées à la fontion exp : a) Pour >0 : = ⇔=ln) b) ln1)=0 ; ln)=1 ; lnL 1 M=-1 c) ln d) Pour >0 :Démonstrations :
a) Par définition b) - =1 donc d'après a, on a : ln1)=0 = donc d'après a, on a : ln)=1 1 donc d'après a, on a : lnL 1 M=-1 c) Si on pose = , d'après a, on a : =ln)=ln d) Si on pose =ln), d'après a, on a : = Partie 3 : Propriétés de la fonction logarithme népérien1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels et strictement positifs, on a : ln =ln)+ln)Démonstration :
Donc : ln
=ln)+ln) 5 Remarque : Voici comment Neper transformait un produit en somme : Celui qui aurait, par exemple, à effectuer 36×62, appliquerait la formule précédente, soit : log36×62
=log 36+log 62
≈1,5563+1,7924 (à, l'aide de la table ci-contre) L'addition étant beaucoup plus simple à effectuer que la multiplication, on trouve facilement : En cherchant à nouveau dans la table le logarithme égal à 3,3487, on trouve 2232, soit : 36×62=2232.
2) Conséquences
Corollaires : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) lnL 1M=-ln)
b) lnLM=ln)-ln)
c) lnU V= 1 2 ln) d) ln )=ln), avec entier relatifDémonstrations :
a) lnL 1M+ln)=lnL
1×M=ln1)=0 donc lnL
1M=-ln)
b) lnLM=lnL×
1M=ln)+lnL
1M=ln)-ln)
c) 2lnU V=lnU V+lnU V=lnU V=ln) donc lnU V= 1 2 ln) d) On démontre ce résultat par récurrence le cas où est un entier naturel.L'initialisation est triviale.
La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ln 1&% )=ln 1 =ln 1 +1 ln) Méthode : Simplifier une expression contenant des logarithmesVidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4
Simplifier les expressions suivantes :
=lnU3-5V+lnU3+
2Correction
=lnU3-5V+lnU3+
6 =lnLU3- 5VU3+5VM=ln2
2 )+ln5)-ln3 =ln 9-5 =ln4) =ln] 2 3 ×5 3 2 ^=lnL 409 M =ln 2 =2-ln2)+ln) =2-ln2)+1=3-ln2)
3) Équations et inéquations
Propriétés : Pour tous réels et strictement positifs, on a : a) ln =ln ⟺= b) ln0;+∞
c) Résoudre l'équationln -3 +ln9-
=0 dans l'intervalle =]3;9[. d) Résoudre l'équation ln=ln3+1) dans l'intervalle =0;+∞
Correction
a) =5 ,-(3) +1=ln5) =ln5)-1 b) On résout l'équation dans l'intervalle =0;+∞
, car la fonction ln est définie pour >0. ln)=2 ln)=lnLa solution est donc
car elle appartient à l'intervalle =0;+∞
c) On résout l'équation dans l'intervalle = 3;9 , car -3>0 et 9->0.Soit >3 et <9.
ln -3 +ln9-
=0 lnU -39-
V=0 lnU -39-
V=ln1 -39-
=1 +12-27=1 +12-28=0 7 ∆=12 -4× -1 -28 =32 -12+ 32-2 =6-2
2et
-12- 32-2 =6+2 2
Les solutions sont donc 6-2
2 et 6+2
2 car elles appartiennent à l'intervalle =]3;9[.
d) On résout l'équation dans l'intervalle =0;+∞
, car >0 et 3+1>0. Soit >0. ln=ln3+1) =3+12=-1
4 Ce qui est impossible car l'équation est définie sur =0;+∞
L'équation n'a pas de solution.
Méthode : Résoudre une inéquation avec des logarithmesVidéo https://youtu.be/_fpPphstjYw
a) Résoudre l'inéquation +5>4 b) Résoudre l'inéquation ln6-1
≥2 sur l'intervalle =d 1 6 ;+∞e.Correction
a) +5>4 -4 >-5 -3 >-5 5 3 ,-4 5 5 3 L'ensemble solution est donc l'intervalle d-∞;lnL 5 3 Me. b) On résout l'inéquation dans l'intervalle =d 1 6 ;+∞e, car 6-1>0. Soit > 1 6 ln6-1
≥2 ln6-1
≥ln6-1≥
6≥
+1 6% 7L'ensemble solution est donc l'intervalle f
2 +1 6 ;+∞f car il est inclus dans =d 1 6 ;+∞e. 8 Méthode : Déterminer un seuil pour une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/fm1YBGcix0E
On considère la suite la suite
définie par =5×2 Déterminer le rang à partir duquel ≥10 6Correction
La suite
est une suite géométrique croissante. On cherche donc le plus petit entier tel que 5×2 ≥10 6Soit : 2
≥200000 ln2 )≥ln200000 ln2)≥ln200000) ln200000) ln2) Or, &'(4+++++) &'(4) ≈17,6A partir du rang =18, on a
≥10 6 Partie 4 : Étude de la fonction logarithme népérienVidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI
1) Continuité et dérivabilité
Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur0;+∞
Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur0;+∞
et ln)Cas de la fonction composée ln
Fonction Dérivée
ln) Méthode : Dériver des fonctions contenant des logarithmes népériensVidéo https://youtu.be/-zrhBc9xdRs
a) Dériver la fonction définie sur l'intervalle0;+∞
par ln() b) Dériver la fonction définie sur 0;2 par =ln2-
9Correction
×-ln)×1
=2- =2-21-ln)
2-2
2-
2) Variations
Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur0;+∞
Démonstration :
Pour tout réel >0,
ln) >03) Limites aux bornes
Propriétés : lim
ln)=-∞ et lim "→&8 ln)=+∞ On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :0 +∞
ln) ln)6) Courbe représentative
Valeurs particulières : ln1)=0, ln)=1 10 Méthode : Étudier les variations d'une fonction contenant des logarithmesVidéo https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y
Dresser le tableau de variations de la fonction définie sur0;
par =3-+2ln).Correction
- Variations : Sur0;
, on a : =-1+ 22-
Comme >0,
est du signe de 2-. La fonction est donc strictement croissante sur 0;2 et strictement décroissante sur2;
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