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27 fév 2017 · La droite ? d'équation y = ? est dite asymptote horizontale à Cf en +? Exemple : Montrons que lim x?+? 2x ? 1
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La droite d'équation: y=l est alors appelée asymptote horizontale à la courbe de f en +? l – f x l dès que x x0 Exemples: lim x
[PDF] CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES - Maths54
Limite et ordre - Asymptotes Cours © Gérard Hirsch – Maths54 Asymptote horizontale ou asymptote parallèle à la droite des abscisses
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La courbe admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale (en +? et en Nous étudierons dans un chapitre ultérieur les asymptotes obliques
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Les asymptotes obliques correspondent aux cas où quand la variable tend vers l'infini la courbe se rapproche d'une droite oblique donc d'équation y = a x + b
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À l'exception des asymptotes verticales une courbe peut être amenée à couper sa droite asymptote La notion géométrique d'asymptote correspond à la notion
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Asymptotes à une courbe représentative d'une fonction Si lim x ? x0 On peut rechercher des asymptotes obliques lorsque lim x ? ? f(x) = ? Si lim
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Et il ne pourra donc y avoir que des asymptotes horizontales (ou éventuellement obliques) X 2 + Variations de la fonction On a :
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3 Limites et asymptotes de fonctions Les fonctions qui admettent des asymptotes obliques sont typiquement les fonctions rationnelles ( ) = ( )
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Limites et asymptotes I Limites en l'infini 1) Limite infinie à l'infini Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type
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Notes du cours donné par M Gelsomino (2005-2008) Gymnase de Burier 1 Valeurs interdites et asymptotes verticales Exemple 1 1 Etudier la fonction f(x) =
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LIMITES ASYMPTOTES I) Limtites en + õ et en – õ 1) Limites intuitives (A Savoir ! ) Théorèmes (admis): et 2) Limite des fonctions polynômes
Limites et asymptotes : cours de maths en terminale en PDF
Les limites (somme produit quotient) dans un cours de maths en terminale avec l'étude des formes indéterminées et les asymptotes
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La droite d'équation: y=l est alors appelée asymptote horizontale à la courbe de f en +? l – f x l dès que x x0 Exemples: lim x
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Dans cette vidéo je te rappelle les définitions d'une asymptote horizontale et d'une asymptote verticale et je te montre comment obtenir des asymptotes à l'
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27 fév 2017 · La droite ? d'équation y = ? est dite asymptote horizontale à Cf en +? Exemple : Montrons que lim x?+? 2x ? 1
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Ces courbes auxiliaires s'appellent des asymptotes 11 2 Asymptotes verticales Définition 10 : La droite d'équation x = a est une asymptote verticale à droite
[PDF] Chapitre 2: Limites et Asymptotes
La notion géométrique d'asymptote correspond à la notion algébrique de limite infinie ou de limite à l'infini Nous étudierons 3 cas en particulier: Asymptote
[PDF] 1 S Limites de fonctions (4) : asymptotes obliques études de fonctions
Dans ce chapitre on va pousser et clore l'étude des asymptotes en étudiant un dernier type d'asymptote : les asymptotes obliques I Approche graphique 1°)
Comment comprendre les Asymptotes ?
Une asymptote est une droite vers laquelle la fonction tend. C'est à dire que plus x va se rapprocher de la limite étudiée, plus la fonction sera presque égale à la droite « asymptote ». Pour trouver une asymptote d'une fonction il faut donc regarder comment évolue la fonction au voisinage de la limite recherchée.Quelles sont les Asymptotes ?
Une asymptote est une droite dont une courbe s'approche et se rapproche arbitrairement mais ne la touche pas. Par exemple, si nous considérons la courbe de �� est égal à un sur ��. On peut voir qu'elle a une asymptote horizontale à �� égale à zéro et une asymptote verticale à �� égale à zéro.Comment trouver l'équation de l'asymptote ?
On cherche la limite de y(t)/x(t) quand t tend vers t0. Si cette limite est égale à un réel a non nul, on cherche alors la limite de y(t) – ax(t) quand t tend vers t0. Si cette limite est égale à un réel b, alors la droite d'équation y = ax + b est asymptote à la courbe.- Lorsqu'une limite à l'infini est infinie, il est possible qu'une asymptote oblique existe. Elle s'écrit sous la forme y=ax+b y = a x + b puisqu'elle est l'expression d'une droite.
Compléments sur les limites,
asymptotes et continuitéTable des matières
1 Limites finies ou infinies en l"infini2
1.1 Limites finies à l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Limites infinies en l"infini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Limites infinies en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Limite finie en un point. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Limites à droite, à gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Limite en l"infini des polynômes et fonctions rationnelles6
2.1 Limite en l"infini d"un polynôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Limite en l"infini d"une fonction rationnelle. . . . . . . . . . . . . . 6
3 Asymptote oblique7
4 Limites indéterminées avec des radicaux9
4.1 Une simple indétermination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Une double indétermination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5 Continuité12
5.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Règles opératoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.3 Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI
1 Limites finies ou infinies en l"infini
1.1 Limites finies à l"infini
Dire qu"une fonctionfa pour limite
?en+∞, signifie que tout intervalle ouvert centré en?, contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand - c"est à dire pour lesxd"un intervalle ]A;+∞[.Aétant à déterminer.On obtient une définition plus rigou-
reuse avec des quantificateurs : A xOC fΔ Définition 1 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]a;+∞[.On écrira lim
x→+∞f(x)=?ou lim+∞f=?si, et seulement si, ??>0,?A>0,?x?D,x>A? |f(x)-?|Exemple :Montrons que limx→+∞2x-1x+1=2. ?2x-1 x+1-2???? =????2x-1-2x-2x+1???? =????-3x+1???? ?3xet3x3?. d"où ??>0,?A=3 ?,?x?]0 ;+∞[,x>A?????2x-1x+1-2???? Définition 2 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]-∞;b[.On écrira lim
x→-∞f(x)=?ou lim-∞f=?si, et seulement si, ??>0,?B<0,?x?D,x1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI
1.2 Limites infinies en l"infini
Dire qu"une fonctionfa pour limite
+∞en+∞, signifie que tout intervalle ]M;+∞|contient toutes les valeurs de f(x)pourxassez grand - c"est à dire pourx?]A;+∞[,Aétant à déterminer.On obtient une définition plus rigou-
reuse avec des quantificateurs : A]M Cf O Définition 3 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]a;+∞[.On écrira lim
x→+∞f(x)=+∞ou lim+∞f=+∞si, et seulement si, ?M>0,?A>0,?x?D,x>A?f(x)>M "Pour tout réel positif M (aussi grand soit-il), on peut trouver un réel positif A tel que pour tout x de D supérieur à A alors f(x)est supérieur à M ». Exemple :Montrons que limx→+∞lnx= +∞ La fonction ln est définie sur]0 ;+∞[. SoitM>0. lnx>M?x>eM, on a donc ?M>0,?A=eM,?x?]0 ;+∞[,x>A?lnx>M Définition 4 :On définit de façon analogue : Soit une fonctionfdéfinie surD=]a;+∞[.On écrira lim
x→+∞f(x)=-∞ou lim+∞f=-∞si, et seulement si, ?m<0,?A>0,?x?D,x>A?f(x)On écrira lim
x→-∞f(x)=-∞ou lim-∞f=-∞si, et seulement si, ?m<0,?B<0,?x?D,x1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI
1.3 Limites infinies en un point
Dire qu"une fonctionfa pour limite
+∞ena, signifie que tout intervalle ]M;+∞|contient toutes les valeurs de f(x)pourxassez proche dea- c"est à dire pour lesxd"un intervalle ouvert de rayonηcontenanta. Le rayonηétant à déterminerOn obtient une définition plus rigou-
reuse avec des quantificateurs a[]C fM O Définition 5 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]b;a[?]a;c[.On écrira lim
x→af(x)= +∞ou limaf= +∞si, et seulement si, ?M>0,?η>0,?x?D,|x-a|<η?f(x)>M "Pour tout réel positif M (aussi grand soit-il), on peut trouver un réel positifηtel que pour tout x de D dans]a-η;a+η[alors f(x)est supérieur à M ». La droiteΔd"équationx=aest diteasymptote verticaleàCfau pointa. Remarque :L"intervalleD=]b;a[?]a;c[est appelévoisinagedea. La fonction fdoit être définie dans un voisinage deatout en étant non définie ena.Exemple :Montrer que limx→12x+1
(x-1)2= +∞Pourx>0 etx?=1, on a2x+1
(x-1)2?1(x-1)2et 1 (x-1)2>M?(x-1)2<1M? |x-1|<1⎷M, on a donc : ?M>0,?η=1 ⎷M,?x?D,|x-1|<η?f(x)>M Définition 6 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]b;a[?]a;c[.On écrira lim
x→af(x)=-∞ou limaf=-∞si, et seulement si, ?m<0,?η>0,?x?D,|x-a|<η?f(x)PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
1. LIMITES FINIES OU INFINIES EN L"INFINI
1.4 Limite finie en un point
Dire qu"une fonctionfa pour limite?
ena, signifie que tout intervalle ouvert centré en?contient toutes les valeurs def(x)pourxassez proche dea- c"està dire pour lesxd"un intervalle ouvert
à déterminer.
On obtient une définition plus rigou-
reuse avec des quantificateurs a? O Définition 7 :Soit une fonctionfdéfinie surD=]b;a[?]a;c[.On écrira lim
x→af(x)=?ou limaf=?si, et seulement si, ??>0,?η>0,?x?D,|x-a|<η? |f(x)-?|1.5 Limites à droite, à gauche Définition 8 :Soitfune fonction définie sur un voisinageDdea. On dit que fadmet une limite : A droite dea, notée limx→ax>af(x)ou limx→a+f(x)ou lima+f, si et seulement si : limite finie?:??>0,?η>0,?x?D,aM,?x?D, 1M
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
2. LIMITE EN L"INFINI DES POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES
Pourx<1 etm<0,3x-13m?x>1+3m, d"où :
?m<0,?η=-3 m,?x?D, 1-η2.1 Limite en l"infini d"un polynôme
Théorème 1 :Un polynôme a même limite en+∞et en-∞que son monôme du plus haut degré.SiP(x) =n∑
i=0a ixi=anxn+an-1xn-1+···+a0alors lim x→+∞P(x) =limx→+∞anxnet limx→-∞P(x) =limx→-∞anxn Démonstration :On met en facteur le monôme du plus haut degré,an?=0 :P(x) =n∑
i=0a ixi=anxn?1+n-1∑
i=0a i an×1xn-i? or?i??0 ;n-1?, limx→+∞1 xn-i=limx→-∞1xn-i=0, d"où par somme et produit : lim x→+∞P(x) =limx→+∞anxnet limx→-∞P(x) =limx→-∞anxn Exemple :Limites en+∞et-∞du polynômePtel que :P(x) =4x3+2x2+4On a : lim
x→+∞P(x) =limx→+∞4x3= +∞et limx→-∞P(x) =limx→-∞4x3=-∞
2.2 Limite en l"infini d"une fonction rationnelle
Théorème 2 :Une fonction rationnelle a même limite en+∞et-∞que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur.Sif(x) =n∑
i=0a ixi m∑ j=0b lim x→+∞f(x) =limx→+∞a nxn bmxmet limx→-∞f(x) =limx→-∞a nxnbmxmPAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
3. ASYMPTOTE OBLIQUE
Démonstration :On met en facteur les monômes du plus haut degré du nu- mérateur et du dénominateur,an?=0,bm?=0 f(x) =n∑ i=0a ixi m∑ j=0bquotesdbs_dbs23.pdfusesText_29[PDF] asymptote exercices
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