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Chapitre 11Limite d"une fonctionSommaireI Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1061) Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1062) Premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1073) Limite à gauche, limite à droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108II Propriétés des limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1081) Limites et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1082) Limite et relation d"ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1093) Limite et composition des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1094) Limite et sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110III Calculs de limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1111) Comparaison des fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1112) Les exemples classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1123) Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112IV Extension aux fonctions à valeurs complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1131) Définition de la limite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1132) Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113V Solution des exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114Dans ce chapitre, les fonctions considérées sont définies sur un intervalle non trivial deR.I LIMITES1) DéfinitionSoitf: I!Rune fonction, soitaun élément deIou bien une extrémité deI(a2R), et soitb2R,intuitivement on dira quebest la limite def(x) quandxtend versalorsquef(x) peut être aussi voisin quel"on veut debpourvu quexsoit suffisamment voisin dea, d"où la définition :On dit quefadmet pour limitebenalorsque :8W, voisinage deb,9V, voisinage dea, tel que8x2I,x2I\VAE)f(x)2W. Si c"est le cas, on notera :limx!af(x)AEbAElimafAEb, ou encoref(x)¡¡¡!x!ab.Définition 11.1-Sia,b2R:8"È0,9®È0,8x2I,jx¡ajÇ®AE) jf(x)¡bjÇ".-Sia2RetbAEÅ1:8A2R,9®È0,8x2I,jx¡ajÇ®AE)f(x)ÈA.-Sia2RetbAE¡1:8A2R,9®È0,8x2I,jx¡ajÇ®AE)f(x)ÇA.-SiaAEÅ1etb2R:8"È0,9A2R,8x2I,xÈAAE) jf(x)¡bjÇ".-SiaAEÅ1etbAEÅ1:8A2R,9B2R,8x2I,xÈBAE)f(x)ÈA.-SiaAEÅ1etbAE¡1:8A2R,9B2R,8x2I,xÈBAE)f(x)ÇA.-SiaAE¡1etb2R:8"È0,9B2R,8x2I,xÇBAE) jf(x)¡bjÇ".À retenir:limafAEbsignifieMPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 106 -©Fradin Patrick -

Calculs de limites Chapitre 11 : Limite d"une fonction00x0f(x0)x1f(x1)limx¡0flimxÅ0flimx¡1flimxÅ1fCfRemarque11.4-Enchangeantfet¡fetenutilisantquepourunepartienonvideAdeR:inf(A)AE¡sup(¡A),on obtient deux théorèmes analogues aux précédents pour les fonctions décroissantes.III CALCULS DE LIMITES1) Comparaison des fonctionsSoientf,g:I!Rdeux fonctions, et soita2Iou une extrémité deI. On dit que :-fest dominée pargau voisinage dealorsqu"il existe un voisinageVdea, et une fonction": V!Rtels que :8x2V\I,f(x)AEg(x)"(x)avec"bornée. Notation :f(x)AEOa¡g(x)¢.-fest négligeable devantgau voisinage dealorsqu"il existe un voisinageVdea, et une fonction": V!Rtels que :8x2V\I,f(x)AEg(x)"(x)aveclimx!a"(x)AE0. Notation :f(x)AEoa¡g(x)¢.-fest équivalente àgau voisinage dealorsqu"il existe un voisinageVdea, et une fonction": V!Rtels que :8x2V\I,f(x)AEg(x)"(x)aveclimx!a"(x)AE1. Notation :f(x)»ag(x).Définition 11.4Lorsque la fonctiongne s"annule pas au voisinage dea(sauf peut être ena) :-f(x)AEOa¡g(x)¢si et seulement si(fgest bornée au voisinage deasia2Ialorsg(a)AE0AE)f(a)AE0.-f(x)AEoa¡g(x)¢si et seulement si(limafgAE0sia2Ialorsf(a)AE0.-f(x)»ag(x)si et seulement si(limafgAE1sia2Ialorsg(a)AEf(a).Théorème 11.12(Caractérisations)Preuve: Celle - ci est simple et laissée en exercice.Remarque 11.5 -a)f(x)AEOa(1)signifie que la fonction f est bornée au voisinage de a.b)f(x)AEoa(1)signifie quelimafAE0.c)Si f(x)AEoa¡g(x)¢alors f(x)AEOa¡g(x)¢.d)Si f(x)»ag(x)alors f(x)AEOa¡g(x)¢.e)Si f(x)AEoa¡g(x)¢et g(x)AEoa(h(x)), alors f(x)AEoa(h(x))(transitivité).f)Si f(x)AEOa¡g(x)¢et g(x)AEOa(h(x)), alors f(x)AEOa(h(x))(transitivité)g)f(x)»ag(x)()f(x)AEg(x)Åoa¡g(x)¢.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 111 -©Fradin Patrick -

Solution des exercices Chapitre 11 : Limite d"une fonctionV SOLUTION DES EXERCICESSolution11.1On poseXAEsin(x)ln(x), on aXAEsin(x)xxln(x), donclim0ÅXAE0, orlimX!0eX¡1XAE1, la limite cherchée vautdonc 1.Solution11.21/On af(x)AEexp(xln(1Å1x)), orln(1Å1x)»Å11xcar1x!Å10, doncxln(1Å1x)»Å11, la limite cherchée est donc égale à 1.2/On asin(x)xAEexp(xln(sin(x))), orln(sin(x))AEln(sin(x)x)Åln(x)AEln(x)·1Åln(sin(x)x)ln(x)¸»0ln(x)et doncxln(sin(x))»0xln(x)¡!00, d"où :exp(xln(sin(x)))¡1»0xln(sin(x))»0xln(x),par conséquentf(x)»0xpxAEpx, et donc la limitecherchée est égale à 0.Solution11.3On ajf(t)jAE1p1Åt2¡¡¡¡¡!t!Å10, donclimt!Å1f(t)AE0.MPSI3 (2018-19) LYCÉEMONTAIGNE- 114 -©Fradin Patrick -

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