[PDF] Chapitre 3 - Suites et séries de fonctions

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Chapitre3

Suitesets´erie sdefoncti ons

Onconsi d`ereunintervalleIdeRetdess uitesdefon ctions(f n n!1 d´efiniessurIet`aval eurs dansRouC(lavaleur absolueestalorsremp lac´eeparlemodul e).Onvas' int´eres serdanscechapitre

`alacon vergenc edesuitesdefonctionsdansuncadr eunpeu plusg´en´eralquece luides s´eriesenti`eres

(AnalyseS3).

3.1Suitesdef onctions:d´efinit ions etpropri´et´es

Nousconsi d´erons2typesdeconvergenced'une sui tedefonctions.Lacon vergen cesimplequi signifiequ'enchaquepoi ntxdel'in tervalleded´efinition,lasuitenum´e rique( f n (x)) n estune suite convergenteainsiqu'uncrit`ere pluscontraignan tdeconvergence,la convergenceuniforme.

D´efinition3.1.1

(convergencesimpled'unesuited efonctions).

Unesuit e(f

n n!1 defonct ionsdeI!Restditesi mplementconv ergenteversunefonctionfsur

Isientou tpointx"I

lim n"# f n (x)=f(x)(ouen corelim n"# |f n (x)#f(x)|=0). Onpeut r´e-´ecrirec etted´efinitiondelafa¸consuivante.En toutpointx"I,ona $!>0,%N"Ntelque$n&Nona|f n (x)#f(x)|'!(3.1)

Exemple:pou rn&1,ond´ efinitf

n (x)=x n surI=[0,1].

Onapour tout n,f

n (1)=1,donclim n"# f n (1)=1et ,pou r0'x<1,lim n"# x n =0.Lasu itede fonctionf n convergesimplementve rslafonctionfd´efiniesur[0,1]par f(1)=1et f(x)=0,pour

0'x<1.

Cettenotiondeconve rgence(simpl e)n'es tpasassezforteeng´en´eralpourpe rmettredeconserverles propri´et´es(continuit´e,d´erivabil it´e,...)desfonctionsf n lorsqu'onpasse`alalimit e.Onintrodui tpour celalanotionp lusfort edeconvergenceuniformed'unesuitedefonc tions.

D´efinition3.1.2

(convergenceuniformed'unesuite defonctions).

Unesuit e(f

n n!1 defonct ionsd´efiniessurIconvergeuniform´ement s'ilexisteunefonctionf d´efiniesurItelleque lim n"# sup x$I |f n (x)#f(x)|=0

End'aut restermes,lasuitedef onctions(f

n n!1 convergeuniform´ement versunefonctionfsi(fair e undessina vecun tube) $">0,%N"Ntelque$n&N$x"I|f n (x)#f(x)|'".(3.2) 20 AnalyseMath41 - Univer sit´edeBourgogn e - 2014 -201521 Ilestal orsclair(com pareravec (3.1))quelaconv ergenceuniformedef n versfimpliquelaconvergence simpledef n versf.

Exemple(suite):Las uit edefonctionsf

n (x)=x n surI=[0,1]con verge-t-elleuniform´ementvers lafonct ionf? Onaf n (x)#f(x)=x n six"[0,1[et f n (1)#f(1)=0.Donc,pourtoutnfix´e, sup x$[0,1] |f n (x)#f(x)|=sup x$[0,1[ x n =1. Lacon vergencen'estpasuniformesur[0 ,1].Le"poin t` aprobl`eme"es ticile pointdediscontinuit´e (x=1)d ela fonction limite f.Sioncons id `eredessegmentscontenusdans[0 ,1[ona alors la convergenceuniformevers0.Ene etpour tout0'aTh´eor`eme3.1.1 (caract`ereborn´epr´eserv´e parlaconvergenceun iforme)

Soit(f

n )un esuitede fonctionsborn´ees( %M n ,$x"I,|f n (x)|'M n )con vergeantuniform´ement surIversunefoncti onf.Alor slafoncti onfestborn´ee .

Preuve

Enutilisant (3.2),fix ons">0.Ona,pourn&Net$x"I

|f(x)|'|f n (x)#f(x)|+|f n (x)|'"+sup x$I |f n (x)|'"+M n Ler´ esultatimportantsuivantindi quequelaconvergenceuni formepr´eservelacont inuit´e.Notons

bienqu'ils'agi td'unepropri´et´elocale(commelacontinuit ´e),il su"tde consid´ ererunintervalleI

contenantlepointxtelquele shypoth`es essoientv´ erifi´ees.

Th´eor`eme3.1.2

(continuit´epr´eserv´eeparlaconve rgenceuniforme).

Soit(f

n )un esuitede fonctionsd´efinies surIetconti nuesenunpointx"I.Silasuite de fonctionsconvergeuniform´ ementsurIversunefoncti onfalorsfestcontinu eenx. Cer´es ultatestfauxpourlaconvergenc esimple(v oirleprem ierexempl educhap itreaveclepoint x=1).

PreuveD'apr`es(3.2),onapo urtoutu"I,

|f(u)#f(x)|'|f(u)#f n (u)|+|f n (u)#f n (x)|+|f n (x)#f(x)| 'sup u |f(u)#f n (u)|+|f n (u)#f n (x)|+sup x |f n (x)#f(x)|.

Fixons!>0.

Laconver genceuniformedelasuite (f

n n versfnousditqu'ilex isteN"Ntelquepo urtout n&N onasup x |f n (x)#f(x)|'!.La contin uit´edelafonctionf n enxsetr aduitpar %#>0telque|u#x|'#(|f n (u)#f n (x)|'!. Parcons´equ ent,|u#x|'#(|f(u)#f(x)|'3!etla fonctio nfestcont inueenx.! Remarque:Noton saussiqu' unefonctioncont inuesurunsegment(d oncuniform´ementcont inue

parleth ´eor`em edeHeine)peuttoujoursˆetreappr och´e e(ausensdelaconve rgenceuniform e)parune

suitedefonctions enescal iers(quinesontdoncpascon tinues ).C'estcer´esultatquiest `alabasede l'int´egraledeRiemann(AnalyseS3). Notonsqu'onpe utintroduire uncrit`ered eCauchydeconvergenceuniformeetler ´esult atsuivant AnalyseMath41 - Univer sit´edeBourgogn e - 2014 -201522

Propri´et´e3.1.3

Soit(f

n )un esuitede fonctionsquiconver geunif orm´ementversfsurI.Alor slasuite( f n )v´erifie lecrit `eredeCauchydeconvergenceu niform e $!>0%N"N$n&N$p"Nsup x$I |f n+p (x)#f n (x)|'!.

Parl'in ´egalit´etriangulaire,ona

sup x$I |f n+p (x)#f n (x)|'sup x$I |f n+p (x)#f(x)|+sup x$I |f(x)#f n (x)|. Ler´ esultatestensuiteimm´edi atenutilis antlefaitquelaconvergenc ede(f n )versfestuniform e. Onpourr autilisercette propri´et´epourmontrerqu'u nsuitedefonction sn'estpasuniform´ement convergente.Ilsu raqu'e llenev´erifiepaslecrit `erede Cauchypourlaconvergenceu niforme . R´eciproquement,onindiquera(sanslemontrer)danslech apit resuivantquel'espacevectoriel desfonction scontinuessuruninterv alleferm´eetborn´eestcompl et(toutesu itedeC auchyest convergente,delimiteappartenant`al 'espace ).

Interversiondeslimites

Voicimaintenant unth´eor`emeimportantdecec hapitre quiindiquequandilestpossible d'inter- vertir2limites.

Th´eor`eme3.1.4

Soit(f

n )un esuitedef onctionsd´efinies surIetaun´el ´ementdeI.

Silasuite v´erifie

1.(f n )con vergeuniform´ements urIversf

2.Ch aquefonctionf

n admetunelimit eb n ena(lim x"a f n (x)=b n Alors i)Lasui te b n convergeversunr´eel b ii)fadmetenalalimite b Cer´es ultatquisemble´evident(i lnel'estp as)peutseformulerain si lim x"aquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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