[PDF] Corrigé type de la Série 1 (les intégrales indéfinies calcul intégral)

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UNIVERSITÉMOSTEFABENBOULAID- BATNA2

FACULTÉ DEMATHÉMATIQUES ETINFORMATIQUE

DÉPARTEMENT DUSOCLECOMMUNMIMODULE: ANALYSE1.

SEMESTRE2.

ANNÉEUNIVERSITAIRE: 2019-2020.Corrigé type de la Série 1 (les intégrales indéfinies, calcul intégral)Réalisé par : Mme K. Belkacem, Mme E. Merzougui et Mme A. Touil 1 Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020.

Table des matières

1 Préliminaires3

1.1 Solution de l"exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Rappel sur la méthode d"intégration des fonctions rationnelles 8

2.1 Solution de l"exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3 Rappel sur la méthode d"intégration des fonctions irrationnelles 18

3.1 Solution de l"exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2 Solution de l"exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4 Rappel sur la méthode d"intégration par partie 30

4.1 Solution de l"exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

5 Rappel sur la méthode d"intégration d"une classe de fonctions trigonométriques 35

5.1 Solution de l"exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
2 Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020.

1 Préliminaires

Primitives, intégrales indéfinies

L"intégrale indéfinie est le problème inverse de la recherche de la dérivée d"une fonction donnée

Définition 1.1.SoientIRetf:I7!Rune fonction réelle définie surI. On appelleprimitivedefsurI toute fonction définie etdérivablesurIvérifiant : F

0(x) =f(x)8x2I

Définition 1.2.On appelleintégrale indéfiniede la fonctionf:I7!RsurIqu"on note par :Z f(x)dx, x2Il"ensemble des primitives defsurI, si elles existent.

SiFest une primitive def, alors on écrit :

Z f(x)dx=F(x) +C;C2R Théorème 1.1.(Existence de l"intégrale indéfinie) Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle Tables des dérivées de certaines fonctions usuelles et élémentairesFonctionDérivée (x)0;2Rx

1(expx)0;x2Rexpx(lnjxj)0;x6= 01

+k;k2Z1 cosx2(arcsinx)01p1x2;jxj<1(arccosx)0

1p1x2;jxj<1(arctanU)0U

01 +U2Propriétés des fonctions trigonométriques (formule d"addition, duplication...)

Pour tout réelx, on a :

cos

2x+ sin2x= 1

cos(x+y) = cosxcosysinxsiny cos(xy) = cosxcosy+ sinxsiny sin(x+y) = sinxcosy+ cosxsiny sin(xy) = sinxcosycosxsiny cos2x= cos2xsin2x= 2cos2x1 = 12sin2x cos

2x=1 + cos2x2

;sin2x=1cos2x2 sin2x= 2sinxcosx 3 Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020. Table des primitives des fonctions élémentaires

FonctionUne Primitive

0C;C2R(constante réelle)x+Cx

x +1+ 1+C;(2R;6=1)a xa xlna+C;(a >0;a6= 1)etx2R1 xlnjxj+C;x6= 0f

0(x)f(x)lnjf(x)j+Cexpxexpx+Cf

0(x)exp(f(x))exp(f(x)) +Csinxcosx+C;(x2R)f

0(x)sin(f(x))cos(f(x))cosxsinx+C;(x2R)f

0(x)cos(f(x))sin(f(x)) +C1

cos

2xtanx+C;(x6=2

+k;k2Z)1

1 +x2arctanx+C1

a+x21pa arctanxpa +Cf

0(x)fn(x);n2Nf

n+1(x)n+ 1+Cf 0(x)f n(x);n2

1(n1)fn1(x)+C1.1 Solution de l"exercice 1

Partie I :

1.

Montrons que : Z

npx mdx=nm+nxm+nn +C

On posef1(x) =npx

metF1(x) =nm+nxm+nn

Remarquons que pour toutx2R, on a :

F

01(x) =nm+nxm+nn

0 nm+nm+nn xm+nn 1 =xm+nnn =xmn = (xm)1n npx m=f1(x):

Alors, d"après la définition (1.1) de la fonction primitive, on déduit queF1est uneprimitivedef1. Ainsi,

suivant la définition (1.2) de l"intégrale indéfinie, on obtient : Z f

1(x)dx=F1(x) +C:

4 Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020. 2.

Montrons que :

Z (px+ 1)(xpx+ 1)dx=25 (px)5+x+C

On posef2(x) = (px+ 1)(xpx+ 1)etF2(x) =25

(px)5+x:

Remarquons que pour toutx2R, on a :

F

02(x) =25

(px)5+x 0 25
x52 +x 0 25
52
x52 1+ 1 =x32 + 1 = (x12 )3+ 1 = (px)3+ 1 =xpx+ 1:

D"autre part, on a :

f

2(x) = (px+ 1)(xpx+ 1)

=xpxx+px+xpx+ 1 =xpx+ 1:

D"où :F02(x) =f2(x)

Alors,F2est une primitive def2et par suite

Z f

2(x)dx=F2(x) +C:

3.

Montrons que :

Z pxx3ex+x2x

3dx=C23xpx

ex+ lnjxj

On pose :f3(x) =pxx3ex+x2x

3etF3(x) =23xpx

ex+ lnjxj 5 Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020.

On a :

F

03(x) =

23xpx
ex+ lnjxj 0

23x1+12

ex+ lnjxj 0 23
x32 ex+ lnjxj 0 23
32
x 32

1ex+1x

=x52 ex+1x x32 xex+ 1x x12 x3ex+x2x 3 =pxx3ex+x2x 3 =f3(x):

Alors,F3est une primitive def3et par suite

Z f

3(x)dx=F3(x) +C:

4.

Montrons que :

Z1 + cos2(x)1 + cos(2x)dx=12

tan(x) +12 x+C

On pose :f4(x) =1 + cos2(x)1 + cos(2x)etF4(x) =12

tan(x) +12 x

Pour toutx2R, on a :

F

04(x) =12

tan(x) +12 x 0 12 1cos

2(x)+12

1 + cos2(x)2cos

2(x)

1 + cos2(x)1 + cos(2x)

=f4(x):

Donc,F4est une primitive def4et par suite

Z f

4(x)dx=F4(x) +C:

5.

Montrons que :

Z tan

2(x)dx= tan(x)x+C

On pose :f5(x) = tan2(x)etF5(x) = tan(x)x:

6 Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020.

Pour toutx2R, on a :

F

05(x) = (tan(x)x)0

1cos 2(x)1

1cos2xcos

2x sin2(x)cos 2(x) =sin(x)cos(x) 2 = tan 2(x) =f5(x):

Alors, d"après la définition (1.1) de la fonction primitive, on déduit queF5est une primitive def5, et par

suite : Z f

5(x)dx=F5(x) +C:

Partie II :

II-Question : En utilisant la table des intégrales, calculerZdxcos(2x) + sin2(x)dx Cette question peut être interprétée comme suit : calculer

Zdxcos(2x) + sin2(x)dxen utilisant la méthode

directe d"intégration; cette méthode consiste, grâce aux propriétés des intégrales et aux transformations

sur la fonction à intégrer, à utiliser la table des principales primitives.

On a :

Zdxcos(2x) + sin2(x)dx=Zdxcos

2(x)sin2(x) + sin2(x)

=Zdxcos 2(x) = tan(x) +C: 7 Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020.

2 Rappel sur la méthode d"intégration des fonctions rationnelles

8

Méthode de calcul de ì|(ž)

}(ž)Šžavec k|(ž) o< (}(ž)) (Fraction régulière) :

IÜest le degré de multiplication

de la racineTÜ.

Ê(ë)=AE-ë>Ç-

+AE.ë>Ç. +®+AEÙë>ÇÙ

Ê(ë)=AE--ë>Ç--

+AE-.ë>Ç-.

AE-Ø-ë>Ç-Ø-

AEÙ-ë>ÇÙ-

Si }(ž)=

Ùadmet des

racines réelles simples

Si }(ž)=

Ù admet des racines

réelles multiples

Si }(ž)=

Ù admet des

racines complexes simples

Si }(ž)=

Ù admet des racines

complexes multiples Alors, l'intégrale d'une fraction rationnelle revient à calculer 4 types d'intégrales

ìyž>z

Û>-ž> - )"Šž ìyž>z

Û>-ž> - Šž ì?m

(ž?‡)"=m (ž?‡)"7

F‡|+o

Pour calculer les intégrales de type 3 et 4,

on effectue le changement de variable :

Û, et on aura :

@T=@P et T6+LT+M=(T+Û .)6+=6. tel que : == §M

Fã.

8.

Méthode de calcul de ì|(ž)

}(ž)Šžavec k|(ž) o> (}(ž)) (Fraction irrégulière) :

Type 4 Type 3 Type 2 Type 1

On fait la division Euclidienne de 2(T) sur 3(T) jusqu'à l'obtention d'un reste 4(T) dont le degré

est inférieure strictement au degré de 3(T).

Alors, ìÉ(ë)

Ê(ë)@T=ì5(T)@T+ìË(ë)

Ê(ë)@T.

P(x) Q(x)

R(x) S(x)

2(T)

3(T)=5(T)+4(T)

3(T)

Polynôme Fraction régulière

Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020.

2.1 Solution de l"exercice 4

A l"aide dela méthode de décomposition des fonctions rationnelles en éléments simples, calculons les

intégrales suivantes : 1.

Calculons

Zxdx(x1)(2x+ 1):

On a :

Zxdx(x+ 1)(2x+ 1)=Zxdx2(x+ 1)(x+12

)=12 Z xdx(x+ 1)(x+12

Posons :

P(x) =xetQ(x) = (x+ 1)(x+12

Étape1 :

Étude de la régularité de la fraction

Tout d"abord, remarquons quedeg(P(x)) = 1< deg(Q(x)) = 2, donc, on déduit quela fractionP(x)Q(x) est régulière.

Étape2 :

Décomposition de la fraction en éléments simples De plus, l"équationQ(x) = 0admet deux racines réelles simples :1et12 donc, d"après lethéorème

fondamental de la décomposition, la fractionP(x)Q(x)se décompose enéléments simples de type I

comme suit :P(x)Q(x)=Ax+ 1+Bx+12

Étape3 :

Calcul des coefficients

La méthode de calculer les coefficientsAetBs"appellela méthode des coefficients indéterminéset on

procède comme suit : (a)

En réduisant au même dénominateur les fractions du membre droit de l"équation ci-dessus, on ob-

tient :

P(x)Q(x)=x(x+ 1)(x+12

)=(A+B)x+ (A2 +B)(x+ 1)(x+12 (b)

En ég alisantles coef ficientsdes numérateurs de la relation ci-dessus et par identificati on,on obtient

le système des équations suivant :8< :A+B= 1; A2 +B= 0: (c) La résolution de ce système donne : A= 2etB=1:

Ce qui implique que :

P(x)Q(x)=2x+ 1+1x+12

Étape4 :

Calcul de l"intégrale

10 Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020.

Par suite,

Zxdx(x1)(2x+ 1)=12

Z

P(x)Q(x)dx

12

Z2x+ 1dxZdxx+12

dx 12 h

2lnjx+ 1j+C1

lnjx+12 j+C2

En conséquence

Zxdx(x1)(2x+ 1)= lnjx+ 1j 12

lnjx+12 j+C: 2.

Calculons

Z2x2+ 41x91(x1)(x+ 3)(x4)dx:(la 3ème Question de l"e xo4)

Posons :

P(x) = 2x2+ 41x91etQ(x) = (x1)(x+ 3)(x4)

Étape1 :

Étude de la régularité de la fraction

Tout d"abord, remarquons que :deg(P(x)) = 2<3 =deg(Q(x)), donc, on déduit que la fractionP(x)Q(x) est régulière.

Étape2 :

Décomposition de la fraction en éléments simples

De plus, l"équationQ(x) = 0admet trois racines réelles simples :1;3et4, donc, d"aprèsle théorème

fondamental de la décomposition, la fractionP(x)Q(x)se décompose enéléments simples de type I

comme suit :P(x)Q(x)=Ax1+Bx+ 3+Cx4:

Étape3 :

Calcul des coefficients

Parla méthode des coefficients indéterminés, on trouveA= 4,B=7etC= 5:

Donc,P(x)Q(x)=4x1+7x+ 3+5x4:

Étape4 :

Calcul de l"intégrale

Par suite,ZP(x)Q(x)dx=Z

4x1+7x+ 3+5x4

dx = 4

Zdxx17Zdxx+ 3+ 5Zdxx4

= 4lnjx1j+C17lnjx+ 3j+C2+ 5lnjx4j+C3:

En conséquence

Z2x2+ 41x+ 91(x1)(x+ 3)()x4dx= 4lnjx1j 7lnjx+ 3j+ 5lnjx4j+C: 3.

Calculons

Z4x+ 3(x2)3dx:(la 3ème Question de l"e xo2)

Posons :

P(x) = 4x+ 3etQ(x) = (x2)3

11 Corrigé type de la série1 du module Analyse2. S2.Année : 2019-2020.

Étape1 :

Étude de la régularité de la fraction

Tout d"abord, remarquons que :deg(P(x)) = 1<3 =deg(Q(x)), donc, on déduit quela fraction

P(x)Q(x)est régulière.

Étape2 :

Décomposition de la fraction en éléments simples

De plus, l"équationQ(x) = 0admet une racine réelle multiple :x= 2. Alors, d"aprèsle théorème

fondamental de la décomposition, la fractionP(x)Q(x)se décomposeen éléments simples de type I et II

comme suit :P(x)Q(x)=Ax2+B(x2)2+C(x2)3:

Étape3 :

Calcul des coefficients

Parla méthode des coefficients indéterminés, on trouveA= 0,B= 4etC= 11:

Donc,P(x)Q(x)=4(x2)2+11(x2)3:

Étape4 :

Calcul de L "intégrale

Par suite,ZP(x)Q(x)dx=Z

4(x2)2+11(x2)3

dx = 4

Zdx(x2)2+ 11Zdx(x2)3

4x2+C1112

1(x2)2+C2:

En conséquence,

Z4x+ 3(x2)3dx=4x2112

1(x2)2+C:

4.

Calculons

Rxdx2x23x2(la 2ème Question de l"exo 4)

Posons :

P(x) =xetQ(x) = 2x23x2

Étape1 :

Étude de la régularité de la fraction

Tout d"abord, remarquons que :deg(P(x)) = 1< deg(Q(x)) = 2, donc, on déduit quela fraction

P(x)Q(x)est régulière.

Étape2 :

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