FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0
Fiche technique sur les limites
Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0. En + ? lim x?+? ln(x) x. =
Les Développements Limités
La fonction ln(x) n'admet pas de DL en 0 car lim x?0 ln(x) = ??. (4) Si f admet un DL à l'ordre n en x0
FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)
× =0 par croissance comparée de la fonction exponentielle et des fonctions puissances. Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)
0;+????? et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites aux bornes. Propriété : lim x?+? lnx = +? et lim.
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :
formulaire.pdf
x?+? ex/xn = +? lim x?+? ln(x)/xn = 0. Dérivées. Fonctions usuelles Fonctions usuelles. R`egles de dérivation. Exemples.
RAPPELS EXP ET FONCTION LN
FONCTION LN. Table des matières Limites de la fonction exponentielle . ... Limites à connaitre par cœur et à savoir démontrer .
La fonction logarithme népérien
Dec 3 2014 Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0; +?[ et (ln x)? = 1 x . 3.2 Limite en 0 et en l'infini. Théorème 6 : On a les limites ...
Corrigé du TD no 9
petites de ? quand on manipule la définition de limite d'une fonction en un Corrigé : On cherche comme d'habitude à traduire la condition
FORMULAIRE
Dans tout ce formulaire on ne parle pas du domaine de d´efinition de la formule : par exemple⎷asous-entenda?0,n?N?,kest une constante.
Logarithme et Exponentielle :elnx= ln(ex) =x
ln1 = 0ln(ab) = ln(a) + ln(b)ln(a/b) = ln(a)-ln(b)ln(1/a) =-ln(a)ln(⎷a) = ln(a)/2ln(aα) =αln(a)
e0= 1ex+y= exeyex-y= ex/eye-x= 1/ex⎷ex= ex/2(ex)y= exylimx→-∞ex= 0limx→+∞ex= +∞limx→0ln(x) =-∞limx→+∞ln(x) = +∞limx→0xln(x) = 0limx→+∞ln(x)/x= 0
limx→-∞xex= 0limx→+∞ex/x= +∞limx→+∞ln(x)/x= 0limx→-∞xnex= 0limx→+∞ex/xn= +∞limx→+∞ln(x)/xn= 0
D´eriv´ees
Fonctions usuellesFonctions usuellesR`egles de d´erivationExemples f(x)f?(x)f(x)f?(x) k0x1(u+v)?=u?+v?(u×v)?=u?v+uv??3x2lnx??= 6xlnx+ 3x k×xkxkkxk-1(k×u)?=k×u?(uk)?=ku?uk-1?sin3(x)??= 3cosxsin2x 1 x-1x2 1 xn-nxn+1 ?1 u? ?=-u?u2 ?u v? ?=u?v-uv?v2 1-x2 1+x2? ?=-4x(1+x2)2⎷x12⎷xlnx1
x(⎷u)?=u?2⎷u(u(v(x)))?=u?(v(x))×v?(x)?sin?e2x???= 2e2xcos?e2x? sinxcosxexex(sinu)?=u?cosu(lnu)?=u?u e -5x3??=-15x2e-5x3 cosx-sinxtanx1 + tan2x(cosu)?=-u?sinu(eu)?=u?eu?sin(x3)??= 3x2cos(x3)D´eriv´ees partielles
On d´erive une fonction de plusieurs variables par rapport `a une variable en consid´erant les autres variables comme constantes.
∂x(-5x2y3) =-10xy3∂∂y(-5x2y3) =-15x2y2∂∂xe-5x2y3=-10xy3e-5x2y3∂∂ye-5x2y3=-15x2y2e-5x2y3
Matrice Jacobienne, Trace, D´eterminant
Pour un syst`eme?
x?=f(x,y) y ?=g(x,y)on d´efinit laMatrice Jacobienne:A(x,y) =(( ∂f∂x(x,y)∂f∂y(x,y) ∂g ∂x(x,y)∂g∂y(x,y)))Pour une matriceA=?a b
c d? on d´efinit satracetr(A) =a+det sond´eterminantdet(A) =ad-bc.Moyenne, Variance, Covariance
Pourune s´erieXdenmesuresxi, on a lamoyenneμ(X) =1nn i=1x i, lavarianceVar(X) =1nn i=1(xi-μ(X))2=μ(X2)-μ(X)2, l"´ecart-typeσ(X) =? Var(X). On aμ(aX+b) =aμ(X) +b,Var(aX+b) =a2Var(X), σ(aX+b) =|a|σ(X). Pour une s´erie dencouples de mesures (xi,yi), on a lecentre de gravit´eG= (μ(X),μ(Y)), lacovarianceCov(X,Y) =1 n? n? i=1(xi-μ(X))(yi-μ(Y))? =μ(XY)-μ(X)μ(Y), lecoefficient de corr´elation lin´eaireρ(x,y) =Cov(x,y) ?Var(x)Var(y), ladroite des moindres carr´esy= ˆax+ˆb,o`u ˆa=Cov(X,Y)Var(X),ˆb=μ(Y)-ˆaμ(X).
Inertie Totale, Intraclasse, Interclasse
Pourun nuage Γ denpointsMiet de centre de gravit´eGon a l"inertie totaleI(Γ) =1n?d(M1,G)2+d(M2,G)2+···+d(Mn,G)2?.
Si ce nuage est la r´eunion disjointe deksous-nuages Γ1,...,Γk, de centres de gravit´eG1,...,Gk, form´es den1,...,nkpoints
on a l"inertie intraclasse:Iintra= p1I(Γ1) +...+pkI(Γk) o`upi=ni/nest le poids relatif de Γidans Γ et l"inertie interclasse:Iinter= p1d2(G1,G)2+...+pkd2(Gk,G)2, alorsI(Γ) =Iintra+Iinter.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] limite de ln pdf
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