[PDF] Comment étudier la limite dune suite à laide dun encadrement

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ECE1Année 2018-2019

Fiche méthode : ETUDE ASYMPTOTIQUE DES SUITES NUMERIQUES ?Comment étudier la limite d"une suite à l"aide d"un encadrement

•Pour montrer qu"une suite converge vers une limitelon peut utiliser lethéorème de l"encadrement:

Soientu,vetwtrois suites telles qu"à partir d"un certain rang :vn?un?wn

Silimvn= limwn=l, alors(un)converge versl.

•Pour montrer qu"une suite diverge vers±∞on peut utiliser lelemme d"entraînement: Soituetvdeux suites telles qu"à partir d"un certain rang :vn?un - silimvn= +∞alorslimun= +∞ - silimun=-∞alorslimvn=-∞ •Un cas particulier important :pour obtenir un encadrement sur une suite définie par une somme, on peut commencer par encadrer les termes de la somme puis onpeut additionner termes à termes les inégalités obtenues. Exemple. On considère le suite(un)n?N?définie par :un=n? k=11 ⎷k

1. Vérifier que pourk?1,1

⎷k?⎷k-⎷k-1

2. En déduire que pour toutn?N?,un?⎷

n. Calculer la limite de(un).

Correction

1. Pour toutk?1,1

k(k-1)?k-1 ??k(k-1)?(k-1)2(carx?→x2est croissante surR+) C"est vrai donc par équivalence l"inégalité est vrai pour toutk?1.

2. En additionnant terme à terme :

n? k=11 ⎷k?n? k=1(⎷k-?k-1). Avec, n? k=1(⎷ k-?k-1) =⎷n-⎷0. (somme téléscopique). D"où, pour toutn?N?,un?⎷n.

Orlim⎷

n= +∞. Par le lemme d"entraînement, on en déduit quelimun= +∞. ?Comment établir la convergence d"une suite?

Si on nous demande seulement d"établir la convergence, on peut alors utiliser lethéorème de la

limite monotone.

Soit(un)n?Nune suite.

(i) si(un)est croissante et majorée parlalors elle converge et?n?N,un?l; (ii) si(un)est décroissante et minorée parlalors elle converge et?n?N,un?l; Attention!Le théorème de la limite monotone ne permet pas de déterminerla limite!

En particulier si(un)est croissante et majorée parA,(un)converge mais pas nécessairement versA.

?Comment obtenir un encadrement de la limite d"une suite ? •parpassage à la limite dans une inégalité on peut encadrer la limite de la suite(un):

Soit(un)n?Nune suite convergente.

Si à partir d"un certain rang,a?un?balorsa?limun?b

•Un cas particulier intéressant : si une suite(un)n?Nestcroissantealors elle estminoréepar son premier

terme. De même si(un)n?Nestdécroissantealors elle estmajoréepar son premier terme.

Attention!Ce dernier point ne permet JAMAIS d"appliquer la limite monotone. Ainsi, siuest croissante,

il faut qu"elle soitmajoréepour qu"elle converge, et on montre qu"elleminoréepar son premier terme.

1 ?Comment montrer que deux suites convergent vers la même limite?

D"après lethéorème des suites adjacentes, il suffit de montrer que les deux suitesuetvsont adjacentes.

C"est à dire que l"une (disonsu) est croissante, l"autre (disonsv) est décroissante et quelim(un-vn) = 0.

Les deux suites convergent alors vers la même limitelet pour toutn?N, un?l?vn. On a alors, en soustrayantunaux trois membres :0?l-un?vn-un. Cela prouve queunest une valeur approchée delpar défaut àvn-unprès. ?Quand utilise-t-on les suites extraites ? •Pour montrer qu"une suite diverge. - si deux suites extraites de(un)convergent vers des limites différentes alors(un)diverge; - si une suite extraite d"une suite(un)diverge alors(un)diverge.

•Pour montrer qu"une suite convergeSi l"on montre que les deux suites extraites(u2n)et(u2n+1)d"une suite(un)convergent vers la même

limite, alorspar recouvrement des casla suite(un)converge vers cette limite. ?Comment étudier une suite récurrente de la formeun+1=f(un)? •Représentation graphique

Pour déterminer les valeurs successives de la

suite, on trace la représentation graphique de fainsi que la droite d"équationy=x.

On placeu0sur l"axe des abscisses, on évalue

u

1=f(u0)à l"aide de la courbeCfsur l"axe

des ordonnées puis on ramèneu1sur l"axe des abscisses à l"aide deΔ.

Il reste à réitérer le procédé.

u0u3u2u1u

1=f(u0)

u

2=f(u1)

u

3=f(u2)y=x

C f •La suite est-elle définie?

Sifn"est pas définie surRtout entier, la suite donnée parun+1=f(un)peut ne pas être définie pour tout

n, si à un moment donnéunn"appartient plus au domaine de définition.

Ainsi, sifest définie sur[0;+∞[, il faut pour queusoit bien définie, vérifier par récurrence la propriété "un

est bien défini et positif ». Exemple.Ainsi si la suite(un)est donnée par son premier termeu0= 2et par la relationun+1=⎷ un. Pour montrer que la suite

(un)est bien définie, on montre par récurrence la propriétéP(n): "unest bien défini et positif ».

•Recherche des limites possibles. Soitfune fonction continue enlet(un)n?Nune suite vérifiant :?n?N,un+1=f(un). Si(un)converge versl, alors par passage à la limite dans l"égalitéun+1=f(un), on al=f(l).

Attention! Cela ne prouve pas la convergence de la suite!. La suite peut être divergente, maisSIelle

est convergente sa limite vérifieral=f(l). •Etablir la convergence

Souvent, pour établir la convergence, il suffit de montrer quela suite est croissante et majorée ou décrois-

sante et minorée. On trouve ensuite la limite parmi les points fixes de la fonction en procédant par élimination.

•Etablir la divergence

On raisonne souvent par l"absurde. Il suffit en effet de montrerque la suite ne peut converger vers aucune des

limites possibles ou qu"il n"y a aucune limite possible.

A noter : si de plus la suite est croissante (ou décroissante)alors elle diverge vers+∞(ou-∞).

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