Limites et asymptotes
on dit que la droite D d'équation x = a est asymptote verticale à la courbe Cf . P et M sont ici les deux points de même ordonnée et la distance PM tend vers
CHAPITRE 2 – Limites et asymptotes
Il ne peut y avoir au maximum que deux asymptotes horizontales ou obliques une en -? et une en. +?. d) Extension de la notion d'asymptote. Si lim x ?. f
1 S Limites de fonctions (4) : asymptotes obliques études de fonctions
On a vu dans un chapitre précédent sur les limites la notion d'asymptote qui On dit que la courbe C admet la droite ? pour asymptote oblique en + ...
Limites de fonctions (3) : asymptotes horizontales asymptotes
asymptotes que nous allons apprendre à trouver avec les limites. Ces droites permettent d'aider le tracé des courbes. I. Introduction (notion d'asymptote).
Chapitre 2: Limites et Asymptotes
La notion de limite est particulièrement utile pour étudier le comportement d'une fonction au voisinage d'un trou ou d'un bord (point limite ou asymptote
Untitled
Etude d'un exemple - Notion d'asymptote . 1. 3. Asymptotes verticales . ... La droite d'équation x = a est asymptote verticale (AV) au graphique de la.
I Asymptote Oblique II Branches paraboliques
Il est possible de préciser la courbe représentative d'une fonction qui admet une limite infini en l'infini. I Asymptote Oblique. On dit que la droite d'
Limites asymptotes EXOS CORRIGES
2) Etudier le comportement de f en + ? (limite asymptote sur la courbe). Exercice n°24. Montrer que la droite d'équation y = x est asymptote en + ? à la
Applications de la dérivée
Faisons maintenant intervenir les notions d'asymptote et de symétrie dans les représentations graphiques de fonctions. marche à suivre pour tracer le graphique.
5. Études de fonctions
Calculer la ou les asymptotes affines et si demandé
[PDF] Limites et asymptotes
Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du On dit alors que la droite D d'équation y = l est asymptote horizontale à la
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Notes du cours donné par M Gelsomino (2005-2008) Gymnase de Burier 1 Valeurs interdites et asymptotes verticales Exemple 1 1 Etudier la fonction f(x) =
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1) Limites intuitives (A Savoir ! ) Théorèmes (admis): et 2) Limite des fonctions polynômes Théorème : La limite à l'infini d'une fonction polynôme est
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27 fév 2017 · Définition 1 : Soit une fonction f définie sur D =]a ; +?[ La droite ? d'équation y = ? est dite asymptote horizontale à Cf en +?
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On a vu dans un chapitre précédent sur les limites la notion d'asymptote qui permettait de relier les limites et les graphiques
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1 1ère S Limites de fonctions (3) : asymptotes horizontales asymptotes 1°) « Définition » (notion intuitive d'asymptote définition poétique)
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La notion de vitesse et en particulier la vitesse d'un objet à un avec un Point limite bord de ED avec une Asymptote verticale y -1 1
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1 Limite en +? ou ?? p1 4 Limites et opérations p7 2 Asymptotes La droite d'équation: y=l est alors appelée asymptote horizontale à la courbe
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Définition 1 1 Une courbe asymptote est une courbe de « tendance » courbe dont la représenta- tion graphique d'une fonction va se rapprocher vers l'infini en
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Ces courbes auxiliaires s'appellent des asymptotes 11 2 Asymptotes verticales Définition 10 : La droite d'équation x = a est une asymptote verticale à droite
LIMITES & ASYMPTOTES
I) Limtites en + õ et en - õ
1) Limites intuitives (A Savoir !...)
Théorèmes (admis): et
2) Limite des fonctions polynômes
Théorème : La limite à l"infini d"une fonction polynôme est égale à la limite du monôme de plus haut degré Soit en notation mathématique :
lim x↔õ( )axn+bxn-1+cxn-2+...+f= lim x↔õ( )axn=± õ pour n☻É
preuve : f(x)=axn+bxn-1+cxn-2+...+f = ( )xn(())a+ b x + c x2 +...+ f
x nOr, lim
x↔õ(a)=a ; lim x↔õ(()) b x =0 ; lim x↔õ(()) c x2 =0 ... jusqu"à lim
x↔õ(()) f x n =0Donc, on obtient : lim
x↔õ(())a+ b x + c x2 +...+ f
x n =aDe plus, lim
x↔õ( )xn=±õ (selon la parité de n) , d"où le résultat annoncé par "produit" !...
exemples : a) f(x)=3x2-4x+5 lim x↔-õf(x)= lim x↔-õ( )3x2=+õ lim x↔+õf(x)= lim x↔+õ( )3x2=+õ b) g(x)=-2x2+3 lim x↔-õg(x)= lim x↔-õ( )-2x2=-õ lim x↔+õg(x)= lim x↔+õ( )-2x2=-õ c) h(x)=-4x3+x2-2x+4 lim x↔-õh(x)= lim x↔-õ( )-4x3=+õ lim x↔+õh(x)= lim x↔+õ( )-4x3=-õ d) k(x)=x4-6x2+1 lim x↔-õk(x)= lim x↔-õ( )x4=+õ lim x↔+õk(x)= lim x↔+õ( )x4=+õ lim x↔-õ(x)=-õ lim x↔+õ(x)=+õ lim x↔-õ( )x2=+õ lim x↔+õ( )x2=+õ lim x↔-õ( )x3=-õ lim x↔+õ( )x3=+õ lim x↔-õ( )x4=+õ lim x↔+õ( )x4=+õ ... etc lim x↔õ(()) 1 x =0 lim x↔õ(()) 1 x 2 =0 lim x↔õ(()) 1 x 3 =0 lim x↔õ(()) 1 x 4 =0 ... etc3) Limite des fonctions rationnelles
Théorème : La limite à l"infini d"une fonction rationnelle est égale à la limite des quotients des monômes de
plus haut degréSoit en notation mathématique :
lim x↔õ(()) axn+bxn-1+cxn-2+...+f = lim x↔õ(()) axn a′xp = a a′±õ selon les degrés n et p
preuve : f(x) g(x) = axn+bn-1+cn-2+...+f a′xp+b′xp-1+c′xp-2+...+f′ = ( ) xn(())a+ b x + c x2 +...+ f
x n xp(())a′+ b′ x + c′ x2 +...+ f′
x p = ( )xn-p × a+ b x + c x2 +...+ f
x n a′+ b′ x + c′ x2 +...+ f′
x p avec n☻É et p☻ÉOr, lim
x↔õ(())a+ b x + c x2 +...+ f
x n =a et lim x↔õ(())a′+ b′ x + c′ x2 +...+ f′
x p =a′Donc, lim
x↔õ((( a+ b x + c x2 +...+ f
x n a′+ b′ x + c′ x2 +...+ f′
x p = a a′On distingue alors 3 cas :
1er cas : n lim x↔õ( )xn-p=0 donc lim x↔õf(x) = 0× a a′ =0 2ème cas : n=p
lim x↔õ( )xn-p=1 donc lim x↔õf(x) = 1× a a′ = a a′ 3ème cas : n>p
lim x↔õ( )xn-p=±õ donc lim x↔õf(x) = ± õ exemples : a) f(x)= 2x+3 -3x2+4x-5 lim x↔-õf(x)= lim x↔-õ ((( ))) 2x -3x2 = lim x↔-õ (())- 2 3x =0 lim x↔+õf(x)= lim x↔+õ ((( ))) 2x -3x2 = lim x↔+õ (())- 2 3x =0 b) g(x)= 7x4-x3+3x2+1 3x2-2x+4
lim x↔-õg(x)= lim x↔-õ (()) 7x4 -3x2 = lim x↔-õ (())- 7 3 x2=-õ
lim x↔+õg(x)= lim x↔+õ (()) 7x4 -3x2 = lim x↔+õ (())- 7 3 x2=-õ c) h(x)= -3x2+5x-1 5x2-3x+4
lim x↔-õh(x)= lim x↔-õ (()) -3x2 5x2 = lim
x↔-õ (())- 3 5 =- 3
5 lim x↔+õh(x)= lim x↔+õ (()) -3x2 5x2 = lim x↔+õ (())- 3 5 =- 3 5 II) Limites en a ( avec a☻Ë)
1) Cas où a☻DDDDf
Théorème :
La limite "en a" d"une fonction numérique quelconque f est l"image de a par f Soit en notation mathématique :
lim x↔af(x)=f(a)=b exemples : a) f(x)=-3x2+3x-5 Df=Ë donc 2☻Df donc lim x↔2f(x)=f(2)=-11 b) g(x)= -2x+4 5x2+1 Df=Ë donc 1☻Df donc lim
x↔1g(x)=g(1)= 1 3 c) h(x)= 4x-3 x 2+x-6 Df=Ë\{-3;2} donc 0☻Df donc lim
x↔0h(x)=h(0)= 1 2 2) Cas où a est une "valeur interdite"
Théorème : Si a est une "valeur interdite" pour f alors : on calcule les 2 limites : lim x↔a xaf(x) en utilisant les "opérations sur les limites" suivantes Propriétés :
"Opérations sur les limites" a) Limite de k×f ( où k est un réel donné ) b) Limite de f + g lim f L L L + ∞ - ∞ + ∞ lim g L' + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ - ∞ lim ( f + g )L + L' + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ ? c) Limite de f.g lim f L L > 0 L > 0 L < 0 L < 0 + ∞ + ∞ - ∞ 0 lim g L' + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ ou - ∞ lim ( f .g ) L ×L' + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ + ∞ - ∞ + ∞ ?
d) Limite de f g Cas où la limite de g n'est pas nulle Cas où la limite de g est nulle lim f L L + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ ou - ∞ L > 0 ou + ∞ L > 0 ou + ∞ L < 0 ou - ∞ L < 0 ou - ∞ 0 lim g L' + ∞ ou - ∞ L' > 0 L' < 0 L' > 0 L' < 0 + ∞ ou - ∞ 0 à valeur
positive 0 à valeur négative 0 à valeur positive 0 à valeur négative 0 lim f g L L' 0 + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ ? + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ ? ?
Rque :
les cases "en jaunes" correspondent aux "formes indéterminées" lim f L + lim k×f ( avec k > 0 ) k L + ∞ - ∞ lim k×f ( avec k < 0 ) k L - ∞ + ∞ III) Les Asymptotes
1) Les asymptotes verticales
Définition : Si lim
x↔a xaf(x)=± õ Alors on dit que la droite (∆) d"équation x=a est asymptote verticale à Cf . exemples : a) f(x)= 2x-3 x-4 . On a : lim x↔4 x<4f(x)=-õ et lim x↔4 x>4f(x)=+õ (le verifier !...) Donc, la droite (∆) d"équation x=4 est asymptote verticale à Cf. b) g(x)=3- 2 x . On a : lim x↔0 x<0f(x)=+õ et lim x↔0 x>0f(x)=-õ (le verifier !...) Donc, la droite (∆") d"équation x=0 est asymptote verticale à Cg. Illustrations graphiques :
o-2246810 -2 2 4 6 (Cf)(Δ) o-4-22468 -2 2 4 6 (Cg) 2) Les asymptotes horizontales
Définition :
Si lim
x↔-õf(x)=b ( resp. Si lim x↔+õf(x)=b′ ) Alors on dit que la droite (D) d"équation y=b est asymptote horizontale à Cf , en -õ ( resp. selon la cas la droite (D") d"équation y=b" est asymptote horizontale à Cf , en +õ ) exemples : a) f(x)= 2x-3 x-4 . On a : lim x↔-õf(x)=2 et lim x↔+õf(x)=2 (le verifier !...) Donc, la droite (D) d"équation y=2 est asymptote horizontale à Cf en -õ et en +õ. b) g(x)=3- 2 x . On a : lim x↔-õf(x)=3 et lim x↔+õf(x)=3 (le verifier !...) Donc, la droite (D") d"équation y=3 est asymptote horizontale à Cg en -õ et en +õ. Illustrations graphiques :
o-2246810 -2 2 4 (Cf) (D) o-4-22468 -2 2 4 6 (Cg) (D') 3) Les asymptotes obliques
Définition : Si lim
x↔õ(f(x)-(ax+b))=0 Alors, on dit que la droite (D) d"équation y=ax+b est asymptote oblique à Cf en -õ et/ou en +õ.
exemples : a) f(x)=2x-1+ 1 x-3 . On a : lim x↔-õ(f(x)-(2x-1))=0 et lim x↔+õ(f(x)-(2x-1))=0 Donc, la droite (D) d"équation y=2x-1 est asymptote oblique à Cf en -õ et en +õ. b) g(x)= -x2+3x+6 x+1 . On a : lim x↔-õ(f(x)-(-x+4))=0 et lim x↔+õ(f(x)-(-x+4))=0 Donc, la droite (D") d"équation y=-x+4 est asymptote oblique à Cg en -õ et en +õ. Illustrations graphiques :
o4 -2 2 4 6 8 10 (Cf) (D) o-44 -4 -2 2 4 6 8 (Cg) (D') IV) Limites & Asymptotes des autres fonctions
1) Les fonctions irrationnelles
quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27
2ème cas : n=p
lim x↔õ( )xn-p=1 donc lim x↔õf(x) = 1× a a′ = a a′3ème cas : n>p
lim x↔õ( )xn-p=±õ donc lim x↔õf(x) = ± õ exemples : a) f(x)= 2x+3 -3x2+4x-5 lim x↔-õf(x)= lim x↔-õ ((( ))) 2x -3x2 = lim x↔-õ (())- 2 3x =0 lim x↔+õf(x)= lim x↔+õ ((( ))) 2x -3x2 = lim x↔+õ (())- 2 3x =0 b) g(x)= 7x4-x3+3x2+13x2-2x+4
lim x↔-õg(x)= lim x↔-õ (()) 7x4 -3x2 = lim x↔-õ (())- 73 x2=-õ
lim x↔+õg(x)= lim x↔+õ (()) 7x4 -3x2 = lim x↔+õ (())- 7 3 x2=-õ c) h(x)= -3x2+5x-15x2-3x+4
lim x↔-õh(x)= lim x↔-õ (()) -3x25x2 = lim
x↔-õ (())- 35 =- 3
5 lim x↔+õh(x)= lim x↔+õ (()) -3x2 5x2 = lim x↔+õ (())- 3 5 =- 3 5II) Limites en a ( avec a☻Ë)
1) Cas où a☻DDDDf
Théorème :
La limite "en a" d"une fonction numérique quelconque f est l"image de a par f Soit en notation mathématique :
lim x↔af(x)=f(a)=b exemples : a) f(x)=-3x2+3x-5 Df=Ë donc 2☻Df donc lim x↔2f(x)=f(2)=-11 b) g(x)= -2x+4 5x2+1Df=Ë donc 1☻Df donc lim
x↔1g(x)=g(1)= 1 3 c) h(x)= 4x-3 x 2+x-6Df=Ë\{-3;2} donc 0☻Df donc lim
x↔0h(x)=h(0)= 1 22) Cas où a est une "valeur interdite"
Théorème : Si a est une "valeur interdite" pour f alors : on calcule les 2 limites : lim x↔a xPropriétés :
"Opérations sur les limites" a) Limite de k×f ( où k est un réel donné ) b) Limite de f + g lim f L L L + ∞ - ∞ + ∞ lim g L' + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ - ∞ lim ( f + g )L + L' + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ ? c) Limite de f.g lim f L L > 0 L > 0 L < 0 L < 0 + ∞ + ∞ - ∞ 0 lim g L' + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ ou - ∞lim ( f .g ) L ×L' + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ + ∞ - ∞ + ∞ ?
d) Limite de f g Cas où la limite de g n'est pas nulle Cas où la limite de g est nulle lim f L L + ∞ + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ ou - ∞ L > 0 ou + ∞ L > 0 ou + ∞ L < 0 ou - ∞ L < 0 ou - ∞ 0 lim g L' + ∞ ou - ∞ L' > 0 L' < 0 L' > 0 L' < 0 + ∞ ou - ∞0 à valeur
positive 0 à valeur négative 0 à valeur positive 0 à valeur négative 0 lim f g LL' 0 + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ ? + ∞ - ∞ - ∞ + ∞ ? ?
Rque :
les cases "en jaunes" correspondent aux "formes indéterminées" lim f L + lim k×f ( avec k > 0 ) k L + ∞ - ∞ lim k×f ( avec k < 0 ) k L - ∞ + ∞III) Les Asymptotes
1) Les asymptotes verticales
Définition : Si lim
x↔a xIllustrations graphiques :
o-2246810 -2 2 4 6 (Cf)(Δ) o-4-22468 -2 2 4 6 (Cg)2) Les asymptotes horizontales
Définition :
Si lim
x↔-õf(x)=b ( resp. Si lim x↔+õf(x)=b′ ) Alors on dit que la droite (D) d"équation y=b est asymptote horizontale à Cf , en -õ ( resp. selon la cas la droite (D") d"équation y=b" est asymptote horizontale à Cf , en +õ ) exemples : a) f(x)= 2x-3 x-4 . On a : lim x↔-õf(x)=2 et lim x↔+õf(x)=2 (le verifier !...) Donc, la droite (D) d"équation y=2 est asymptote horizontale à Cf en -õ et en +õ. b) g(x)=3- 2 x . On a : lim x↔-õf(x)=3 et lim x↔+õf(x)=3 (le verifier !...) Donc, la droite (D") d"équation y=3 est asymptote horizontale à Cg en -õ et en +õ.Illustrations graphiques :
o-2246810 -2 2 4 (Cf) (D) o-4-22468 -2 2 4 6 (Cg) (D')3) Les asymptotes obliques
Définition : Si lim
x↔õ(f(x)-(ax+b))=0Alors, on dit que la droite (D) d"équation y=ax+b est asymptote oblique à Cf en -õ et/ou en +õ.
exemples : a) f(x)=2x-1+ 1 x-3 . On a : lim x↔-õ(f(x)-(2x-1))=0 et lim x↔+õ(f(x)-(2x-1))=0 Donc, la droite (D) d"équation y=2x-1 est asymptote oblique à Cf en -õ et en +õ. b) g(x)= -x2+3x+6 x+1 . On a : lim x↔-õ(f(x)-(-x+4))=0 et lim x↔+õ(f(x)-(-x+4))=0 Donc, la droite (D") d"équation y=-x+4 est asymptote oblique à Cg en -õ et en +õ.Illustrations graphiques :
o4 -2 2 4 6 8 10 (Cf) (D) o-44 -4 -2 2 4 6 8 (Cg) (D')IV) Limites & Asymptotes des autres fonctions
1) Les fonctions irrationnelles
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