[PDF] LIMITES DES FONCTIONS - maths et tiques
* Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle 2) Limite d'un produit ? désigne +? ou ?? lim *
[PDF] LIMITES DES FONCTIONS (Partie 1) - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LIMITES DES FONCTIONS Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle
[PDF] Fiche technique sur les limites - Lycée dAdultes
f(x) = ? La droite x = a est asymptote verticale à Cf 3 Opération sur les limites et formes indéterminées 3 1 Somme de fonctions Si f a pour limite l l
[PDF] Limites de fonctions
limite finie ou infinie d'une fonction à l'infini limite de somme produit quotient et composes de fonctions Attention à la forme indéterminée
[PDF] FONCTIONS 1) Limites 1-1 méthodes pour lever une
1) Limites 1-1 méthodes pour lever une indétermination au voisinage d'un infini Exemple1 f(x) = x + 1 x2 + 3x + 1 Quelle est la limite en +? ?
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la notion de limite fasse appel à l'intuition elle est néanmoins d'une L'étude des formes indéterminées fera l'objet de la prochaine section
[PDF] Formulaire des limites
Formulaire des limites Limites par opération ? indique une forme indéterminée ou indique que l'on décide en fonction du signe de l Remarques :
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DAEU-B – Maths Limites en +? (quand x devient arbitrairement grand) Pour lever cette forme indéterminée on factorise l'expression et on utilise
LIMITES DES FONCTIONS
Partie 1 : Limite d'une fonction à l'infini
1) Limite infinie en ∞
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞, si ()est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand. Remarque : On a une définition analogue en -∞.Exemple :
La fonction définie par
a pour limite +∞ lorsque tend vers +∞.On a par exemple :
100=100 =10000 1000
=1000 =1000000 Les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on veut dès que est suffisamment grand.
Remarques :
- Une fonction qui tend vers +∞ lorsque tend vers +∞ n'est pas nécessairement croissante. Par exemple : - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales. 22) Limite finie en ∞
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite en +∞,si ()est aussi proche de que l'on veut, pourvu que soit suffisamment grand et on
note : lim Remarque : On a une définition analogue en -∞.Exemple :
La fonction définie par
=2+ a pour limite 2 lorsque tend vers +∞.On a par exemple :
100=2+ =2,01 10000
=2+ =2,0001 Les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 dès que est suffisamment grand. La courbe de la fonction "se rapproche" de la droite d'équation =2 sans jamais la toucher.
Définition : Si lim
=, la droite d'équation = est appelée asymptote horizontaleà la courbe de la fonction en +∞.
3Remarques :
• Lorsque tend vers +∞, la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. • On a une définition analogue en -∞.3) Limites des fonctions de référence
Propriétés :
- lim =+∞, lim - lim =+∞, lim - lim - lim 1 =0, lim 1 =0 - lim =+∞, lim =0Partie 2 : Limite d'une fonction en un réel A
1) Définition
Définition :
On dit que la fonction admet pour limite +∞ en ,si () est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment proche de .
Exemple :
La fonction définie par
13-
+1 a pour limite +∞ lorsque tend vers 3.On a par exemple :
2,99 13-2,99
+1=1012,9999
13-2,9999
+1=10001Les valeurs de la fonction deviennent aussi
grandes que l'on veut dès que est suffisamment proche de 3.La courbe de la fonction "se rapproche" de la
droite d'équation =3 sans jamais la toucher. 4Définition : Si : lim
=+∞ ou lim =-∞, la droite d'équation = est appelée asymptote verticale à la courbe de la fonction .2) Limite à gauche, limite à droite :
Exemple :
Considérons la fonction inverse définie sur ℝ par La fonction admet des limites différentes en 0 selon que : >0 ou <0. Si >0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers +∞ et on note : lim =+∞ou limOn parle de limite à droite de 0
Si <0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers -∞ et on note : lim =-∞ ou limOn parle de limite à gauche de 0.
Méthode : Déterminer graphiquement des limites d'une fonctionVidéo https://youtu.be/9nEJCL3s2eU
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction . a) Lire graphiquement les limites en -∞, en +∞, en -4 et en 5. b) Compléter alors le tableau de variations de . 5Correction
a) lim =5 lim =5 La courbe de admet une asymptote horizontale d'équation =5 en -∞ et +∞. lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =-4. lim =+∞ et lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =5. 2) -∞-425+∞ -∞-425+∞ +∞+∞ +∞556-∞
6Partie 3 : Opérations sur les limites
1) Utiliser les propriétés des opérations sur les limites
peut désigner +∞, -∞ ou un nombre réel. SOMME lim lim lim F.I.* * Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. PRODUIT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim ∞ 0 lim lim F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim ≠0 0 lim ′≠00 ∞ ∞
0 lim ∞ 0 ∞ F.I. F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. Méthode : Calculer la limite d'une fonction à l'aide des formules d'opérationVidéo https://youtu.be/at6pFx-Umfs
Déterminer les limites suivantes : a)lim
-53+
b) lim1-2
-3Correction
a) lim -53+
F lim -5=-∞ lim =+∞lim3+
Comme limite d'un produit : lim
-53+
7 b) lim1-2
-3 lim1-2=1-2×3=-5
lim -3=0Une limite de la forme "
» est égale à " ∞ ».
Donc, d'après la règle des signes, une limite de la forme "» est égale à " +∞ ».
D'où, comme limite d'un quotient : lim
1-2
-32) Cas des formes indéterminée (non exigible)
Comme pour les suites, on rappelle que :
Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : ∞-∞0×∞ Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations (1) - NON EXIGIBLEVidéo https://youtu.be/4NQbGdXThrk
Calculer : lim
-3 +2 -6+1Correction
lim -3 +2 -6+1=? • F lim -3 lim2
On reconnait une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination en factorisant par le monôme de plus haut degré : -3 +2 -6+1= M-3+ 2 6 1 N •lim 2 =lim 6 2 =lim 1 3 =0.Donc, par limite d'une somme :
lim -3+ 2 6 1 =-3 •P lim -3+ 2 6 1 =-3 lim 8Donc, par limite d'un produit :
lim M-3+ 2 6 1N=-∞
Soit : lim
-3 +2 -6+1=-∞. Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations - NON EXIGIBLEVidéo https://youtu.be/8tAVa4itblc
Vidéo https://youtu.be/pmWPfsQaRWI
Calculer : a) lim
2
2 -5+16
2 -5 b) lim3
2 +24-1
Correction
a) • En appliquant la méthode précédente pour le numérateur et le dénominateur cela
conduirait à une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant les monômes de plus haut degré :2
-5+16
-5 2- 0 6- 2- 0 6- • lim 5 =lim 1 2 =lim 5 2 =0.Donc, comme limite de sommes :
lim 2- 5 1 =2etlim 6- 5 =6 • Donc, comme limite d'un quotient : lim 2- 0 6- 2 6 1 3Soit : lim
2
2 -5+16
2 -5 1 b) • Il s'agit d'une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant les monômes de plus haut degré :3
+24-1
3+ 4- 0 3+ 4- 0 • limquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] limite polynome en 0
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