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(5) Le DL à l'ordre n en 0 d'un polynôme P(x) de degré n est lui même Attention En revanche si f admet un DL à l'ordre 2 en x0 f (ou son prolongement) n'est
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0 ?* F ind *Appliquer la règle des signes 4 Polynômes et les fonctions rationnelles 4 1 Fonction polynôme Théorème 1 Un polynôme a même limite en
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On a déjà vu cette notion pour la limite en 0 de la fonction inverse ; on a vu qu'il y avait deux cas suivant que x tendait vers 0 par valeurs positives ou par
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Si f est une fonction paire alors dans les termes non nuls du polynôme Pn il n'apparaît que des des développements limités de fonction usuelles en 0
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FiGURe 1 – Fonction x ?? 1/(1 ? x) et ses polynômes de Taylor en 0 jusqu'à l'ordre n = 5 L'intérêt est plus flagrant pour l'exponentielle pour laquelle il
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En +? ou -? un polynôme a même limite que son terme de plus haut degré : n n x n n n n x xa axa xaxa +? ? - - +? ? = + + + + lim lim 0
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existe un polynôme de degré n 0 On peut donc se ramener tr`es facilement `a un développement limité au voisinage de 0 Aussi
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un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la k=0 hk k! f(k)(x0) s'appelle le polynôme de Taylor de f `a l'ordre n au point
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On dit que la fonction admet 0 comme limite en 0 et on écrit : lim ?0 Une fonction polynôme c'est une fonction qui s'écrit de la forme
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0 si x = 1 ln(x) si x ?]1+?[ 6 1 4 Limite au voisinage de l'infini Définition 9 Soit P une fonction polynôme de degré n :
1.3Quel questechniquesdecalculd esDL
Notation1.21.Soitfunefonc tionréelleadmettantundé veloppementlimitéà l'ordrenenx 0 ?R,de partierégulièreP n1.On peutu tiliserl'une oul'autredesécrituressuivan tespourexprim erleDLdefàl'ordrenen
x 0 a)f(x)=P n (x)+(x-x 0 n×ε(x)aveclim
xx0ε(x)=0
b)f(x)=P n (x)+o((x-x 0 n2.Si lequot ient
f(x)-Pn(x) (x-x 0 n+1 estborn éauvoisinagedex 0 ,alorsonpeutécrire f(x)=P n (x)+O((x-x 0 n+1 )pourexprim erleDLdefàl'ordrenenx 0 Théorème1.22.("tronca tion")Soientmetndeuxentier snaturelstelsquen1.Si festunef onctionpai re,alorsdanslestermesno nnulsdupolynômeP
n ,iln'apparaîtquedes puissancespaires.2.Si festunef onctionim paire,alorsdanslestermesnon nulsdupolynômeP
n ,iln'apparaîtque despuis sancesimpaires. Note1.25.( DLdefonctionsus uellesàr etenir absolument)Lesform ulesci-dessousconcernen t desdéve loppementslimitésdefonctionusuellesen0.Cesformulessontobtenuesparapplicationdu théorèmedeTaylor-Young enlep ointx 0 =0. 1.e x i=0 i=n 1 i! x i +o(x n )ou,enex plici tantlesigne e x =1+x+ 1 2 x 2 1 n! x n +o(x n 2. 1 1-x i=0 i=n x i +o(x n )=1+x+x 2 ++x n +o(x n 3. 1 1+x i=0 i=n (-1) i x i +o(x n )=1-x+x 2 ++(-1) n x n +o(x n4.(1+x)
=1+ 1?i?nα(α-1)(α-i+1)
i! x i +o(x n )formulequis'écri tencore (1+x) =1+αx++α(α-1)(α-n+1)
n! x n +o(x n5.ln(1-x)=-
1?i?n 1 i x i +o(x n )ou,enex plici tantlesigne ln(1-x)=-x- 1 2 x 2 1 n x n +o(x n6.ln(1+x)=
1?i?n (-1) i-1 i x i +o(x n )ou,enexpl icitant lesigne ln(1+x)=x- 1 2 x 2 (-1) n-1 n x n +o(x n1.3Quel questechniquesdecalculd esDL5
sin(x)= i=0 i=p (-1) i (2i+1)! x 2i+1 +o(x 2p+2 )ou,enex plicit antlesigne sin(x)=x- 1 3! x 3 (-1) p (2p+1)! x 2p+1 +o(x 2p+2 cos(x)= i=0 i=p (-1) i (2i)! x 2i +o(x 2p+1 )ou,enexp licitan tlesigne cos=1- 1 2 x 2 (-1) p (2p)! x 2p +o(x 2p+1 Théorème1.26.(DLd'unpr oduit)Soientfetgdeuxfoncti onsréelles,admettantauvoisinage de x 0 0 .Alorslafonctionproduitf×gadmetundével oppe- mentlimitéd 'ordrenenx 0Sif(x)=P
n (x)+o((x-x 0 n )etg(x)=Q n (x)+o((x-x 0 n ),alors(f×g)(x)=T n (x)+o((x-x 0 n oùT n (x)estlepr oduit P n (x)×Q n (x)amputédesesterm esdede grésstric tementplusgrandsque n. Exercice1.1.Calculerledeveloppeme ntlini téàl'ordre2enx 0 =0dela foncti onhdéfiniepar h(x)=(1+x) 1 3×ln(1+x).
Solution:Onposef(x)=(1+x)
1 3 ,g(x)=ln(1+x)eton utilis elesDLdesfonctionsusuel les.Ontr ouvef(x)=1+
1 3 x- 1 9 x 2 +o(x 2 ),g(x)=x- 1 2 x 2 +o(x 2 Enap pliquantlethéorèmeprécédenton obtien th(x)=x- 1 6 x 2 +o(x 2 Théorème1.27.(DLd'unec omposée)Soientfunefonc tionréelledéfinieauvoisi nagedex 0 ?R etgunefon ctionréelledéfinieauvoisi nagedef(x 0 )etnunen tiernaturel.Sifadmetundéve loppe- mentlimitéà l'ordrenenx 0 etgadmetundévelop pement limitéàl'ordrenenf(x 0 ),alorslacomposée h=g◦fadmetundévelop pement limitéd'ordrenenx 0 .Plusprécisément,siP n (resp.Q n )estla partierégulièred udéveloppementlimitéàl'ordr endef(resp.g)enx 0 (resp.f(x 0 ))alorslapartie régulièreT n deh=g◦fs'obtiententronquantàl'o rdren,lacomposéeQ n ◦P nExemple1.28.(f(x
0 )0,DLde 1 f(x) enx 0 )Soitfunefonc tionréelledéfinieauvoisina gedex 0 tellequef(x 0 )0etad mettantundéveloppementlimi téd'or drenenx 0 .Alorsh(x)= 1 f(x) admetun développementlimitéd'ordrenenx 0 1 f(x) enx 0 peut s'obtenirenprocédantcomm esuit:1.Not e:quitteàre mplacerfpar
1 f(x0)×f,onpeutsupposerquef(x
0 )=1.2.S upposonsdoncf(x
0 )=1etpo sonsu(x)=1-f(x).Lafonctionuestdéfini eauvoisinagede x 0 eton au(x 0 )=0.3.On consid èreg(x)=
1 1-x .gestdéfin ieauvoisinagede 0=u(x 04.Nou savonsh(x)=(g◦u)(x).SinousdisposonsduDLdef,alorsnousendéduisonsceluide
u.LeDLdegen0estfour nieparlesformulesdesfon ctionsusuel les.Nou spouvonsdoncappli- querlethé orème1 .27pourobtenirleDLde 1 f(x) enx 0 enut ilisantleDLdefenx 06FormuledeTaylor,dév elopp ementslimités
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