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Deuxième partie

MÉCANIQUE

3

TABLE DES MATIÈRES

II MÉCANIQUE3

1 DESCRIPTION DU MOUVEMENT D"UN POINT MATÉRIEL11

1.1Repères d"espace et du temps. Référentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.1.1Repérage dans l"espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.1.2Repérage dans le temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.1.3Référentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.2Cinématique du point matériel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.2.1Définition du point matériel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.2.2Vecteurs position,vitesse et accélération. . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.2.3Exemples de bases de projection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.2.3.1Coordonnées cartésiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.2.3.1.1Vecteur déplacement élémentaire. . . . . . . . . .14

1.2.3.1.2Vecteur vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.2.3.1.3Vecteur accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.2.3.2Coordonnées cylindriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.2.3.2.1Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

1.2.3.2.2Vecteur déplacement élémentaire. . . . . . . . . .16

1.2.3.2.3Vecteur vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.2.3.2.4Vecteur accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.2.3.3Coordonnées sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.2.3.3.1Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

1.2.3.3.2Vecteur déplacement élémentaire. . . . . . . . . .19

1.2.3.3.3Vecteur vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.2.3.4Coordonnées curvilignes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.2.3.4.1Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

1.2.3.4.2Expression du rayon de courbure. . . . . . . . . .21

1.2.4Exemples de mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

1.2.4.1Mouvement rectiligne à accélération constante. . . . . . . .24

1.2.4.2Mouvement rectiligne sinusoidal. . . . . . . . . . . . . . . . .24

1.2.4.3Mouvement circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

1.2.4.4Mouvement helicoidal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

1.2.4.5Mouvement cycloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

5

PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES

2DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL DANS UN RÉFÉRENTIEL GALILÉEN35

2.1 Quelques forces usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.2Lois de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.2.1Principe d"inertie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.2.2La relation fondamentale de la dynamique. . . . . . . . . . . . . . . .36

2.2.3Principe des actions réciproques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

2.3Applications (énoncés voir TD ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

2.3.1Étude d"un projectile avec et sans frottement. . . . . . . . . . . . . .37

2.3.2Particule soumise à un frottement fluide de type :f=-k.V2. . . . . .40

2.3.3Le pendule simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

2.3.4Mouvement d"une particule chargé dans un champ uniforme. . . . .43

3MOUVEMENT DE PARTICULES CHARGÉES DANS UN CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE,

3.1Force de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

3.1.1Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

3.1.2Propriété de la force magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

3.2Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

3.2.1Mouvement dans un champ électrostatique uniforme dans le vide.. .48

3.2.2Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme dans le vide..54

3.2.3Mouvement d"un proton dans un cyclotron. . . . . . . . . . . . . . . .56

3.2.4Rayonnement d"une particule chargée. . . . . . . . . . . . . . . . . .61

3.2.5Mouvement dans un champ électromagnétique uniforme dans le vide.65

3.3Mouvement d"une particule chargée dans un métal. . . . . . . . . . . . . . .68

3.3.1Modèle de DRUDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

3.3.2Vecteur densité de courant électrique. Loi d"Ohm locale. . . . . . . .69

3.3.3Résistance électrique d"un conducteur cylindrique. . . . . . . . . . .71

3.4Force de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

4THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE77

4.1 Le moment cinétique ,moment d"une force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

4.1.1Définition du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

4.1.2Propriété du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

4.1.3Définition du moment d"une force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

4.1.4Propriété du moment d"une force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

4.1.5Théorème du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

4.2Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

4.2.1Pendule simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

4.2.2Propriétés de la trajectoire d"un satellite artificiel. . . . . . . . . . . .81

4.2.3Pendule de HOLWECK LEIAY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

4.3Les COUPLES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

4.3.1Couple de force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

4.3.2Couple de torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86

5PUISSANCE ET TRAVAIL D"UNE FORCE. THÉORÈME DE L"ÉNERGIE CINÉTIQUE89

5.1 Puissance et travail d"une force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

5.1.1Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

5.1.2Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

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5.1.2.1Travail du poids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

5.1.2.2Travail de la tension d"un ressort. . . . . . . . . . . . . . . . .90

5.1.2.3Travail de la force de Lorentz (Force magnétique). . . . . . .90

5.1.2.4Travail de la force newtonienne. . . . . . . . . . . . . . . . .91

5.2Énergie cinétique. Théorème de l"énergie cinétique. . . . . . . . . . . . . . .92

5.3Force conservatives. Énergie potentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

5.3.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

5.3.2Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

5.4Énergie mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

5.4.1Théorème de l"énergie mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

5.4.2Cas particulier important. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

5.5Applications :Équilibre d"un point matériel dans un champ de forces conservatives96

5.5.1Barrière d"énergie potentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

5.5.2Cuvette d"énergie potentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

5.5.3Cas de l"oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

5.5.4Exemple général. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

5.5.5Équilibre d"un point matériel soumis à l"action des forces conservatives98

5.5.5.1Condition d"équilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

5.5.5.2Condition de stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

5.5.5.3Critère de stabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

6OSCILLATEUR LINÉAIRE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ103

6.1 Rappel sur l"oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

6.2régime libre d"un oscillateur linéaire amorti. . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

6.2.1Forme canonique de l"équation différentielle. . . . . . . . . . . . . . .104

6.2.2Différents régimes libres amortis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

6.2.2.1Régime apériodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

6.2.2.2Régime critique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107

6.2.2.3Régime pseudo-périodique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108

6.2.3Décrément logarithmique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

6.2.4Interprétation physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

6.2.4.1Facteur de qualité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110

6.2.4.2Temps de relaxation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

6.3Oscillations forcées -Résonance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112

6.3.1Détermination de l"amplitudeXet la phase?=?x-?F. . . . . . . . .112

6.3.2Étude de la résonance d"amplitude :. . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

6.3.3Calcul énergétique :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

6.3.3.1Énergie perdue :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

6.3.3.2Énergie gagnée :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

6.3.4Résonance de vitesse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

6.3.5Bande passante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

6.4Analogie :Electrique/Mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

7MOUVEMENTS DANS UN CHAMP DE FORCES CENTRALES CONSERVATIVES, MOUVEMENT

7.1Généralités sur les forces centrales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

7.1.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

7.1.2Moment cinétique, Loi des aires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

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7.1.2.1Conservation du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . .124

7.1.2.2Planéité de la trajectoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

7.1.2.3Vitesse aréolaire , Loi des aires. . . . . . . . . . . . . . . . . .125

7.1.3Formules de Binet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

7.2Forces centrales conservatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

7.3Cas du champ newtonien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

7.3.1L"approche énergétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128

7.3.2L"équation de la trajectoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

7.3.2.1Relation fondamentale de la dynamique. . . . . . . . . . . . .129

7.3.2.2Vecteur Range-Lenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

7.3.2.3L"étude de quelques trajectoires. . . . . . . . . . . . . . . . .132

7.3.2.3.1Trajectoire circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . .132

7.3.2.3.2Trajectoire elliptique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .133

7.3.2.3.3Vitesse de libération. . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

7.3.2.3.4Rayon de la trajectoire circulaire d"un satellite géostationnaire134

8MÉCANIQUE DANS UN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN135

8.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

8.2L"étude cinématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

8.2.1Axe instantané de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

8.2.1.1L"étude d"un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .136

8.2.1.2Relation fondamentale de la dérivation vectorielle. . . . . . .137

8.2.2Composition des vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138

8.2.3Composition des accélérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139

8.3Dynamique dans un référentiel non galiléen. . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

8.3.1RFD dans un référentiel non galiléen : forces d"inertie. . . . . . . . .140

8.3.2L"énergie potentielle d"entrainemment. . . . . . . . . . . . . . . . . .141

8.3.3Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

8.3.3.1Préliminaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

8.3.3.2Définition du poids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

8.3.3.3Effet de marée statique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145

8.3.3.3.1Expression analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . .145

8.3.3.3.2La marée océanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

8.3.3.4Déviation vers l"est. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

8.3.3.5Pendule de Foucault. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .148

9SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS149

9.1 Grandeurs cinématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

9.1.1Barycentre du système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

9.1.2Repère Barycentrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

9.1.3Quantité de mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

9.1.3.1Dans le repèreR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151

9.1.3.2Dans le repèreR?;,masse réduite. . . . . . . . . . . . . . . .151

9.2Grandeurs cinétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

9.2.1Le moment cinétique du système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

9.2.1.1Dans le repèreR?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

9.2.1.2Dans le repèreR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

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9.2.2L"énergie cinétique du système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

9.2.2.1Dans le repèreR?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

9.2.2.2Dans le repèreR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152

9.3Dynamique du système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

9.3.1Relation fondamentale de la dynamique. . . . . . . . . . . . . . . . .153

9.3.2Théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen. . . . . .154

9.3.2.1Moment des forces en un point O fixe dansR.. . . . . . . . .154

9.3.2.2Moment des forces en G barycentre. . . . . . . . . . . . . . .154

9.3.2.3Théorème du moment cinétique barycentrique. . . . . . . . .155

9.3.3Puissance des forces intérieures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

9.3.4Théorème de l"énergie cinétique dans un référentiel galiléen. . . . .155

9.3.5L"énergie potentielle d"interaction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155

9.3.6Énergie mécanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

9.4Cas d"un système isolé de deux points matériels. . . . . . . . . . . . . . . .156

9.4.1Conséquences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

9.4.2Réduction canonique :Mobile réduit équivalent. . . . . . . . . . . . .157

10MÉCANIQUE DU SOLIDE159

10.1 CINÉMATIQUE DU SOLIDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

10.1.1Définition d"un solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

10.1.2Barycentre d"un solide. Repère barycentrique. . . . . . . . . . . . . .159

10.1.3Cinématique du solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .162

10.1.4Mouvement d"un solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

10.1.4.1mouvement de translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

10.1.4.2mouvement de rotation autour d"un axe fixe. . . . . . . . . .163

10.1.4.3Description du mouvement instantanée le plus général d"un solide164

10.2MODÉLISATION DES EFFORTS ENTRE SOLIDES EN CONTACT. . . . . . .164

10.2.1Solide en contact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

10.2.2Vitesse de glissement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

10.2.3Vecteur rotation relative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

10.2.4Lois de Coulomb pour le frottement de glissement. . . . . . . . . . .166

10.2.5La puissance totale des actions de contact. . . . . . . . . . . . . . . .167

10.2.5.1Expression de la puissance pour un solide. . . . . . . . . . .167

10.2.5.2Puissance totale des actions de contact. . . . . . . . . . . . .168

10.2.5.3Modèle des liaisons parfaites. . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

10.2.5.4Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

10.2.5.5Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168

10.3DYNAMIQUE D"UN SOLIDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

10.3.1Théorème de la résultante cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

10.3.2Le moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

10.3.2.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .169

10.3.2.2Le torseur cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170

10.3.2.3Le théorème de KOENIG relatif moment cinétique. . . . . . .171

10.3.3L"énergie cinétique d"un solide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

10.3.3.1Définition l"énergie cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .172

10.3.3.2Le théorème de KOENIG relatif à l"énergie cinétique. . . . . .172

10.3.4Le moment d"une force. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173

20 juin 2018Page -9- elfilalisaid@yahoo.fr

PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES

10.3.5Mouvement d"un solide autour d"un axe de direction fixe. . . . . . . .173

10.3.5.1Cinétique d"un solide ayant un point de vitesse nulle. . . . .173

10.3.5.1.1Le moment d"inertie. Théorème de Huygens. . . . . .173

10.3.5.1.1.1Le moment d"inertie d"un point matériel M. . .173

10.3.5.1.1.2Le moment d"inertie d"un solide par rapport à un axe174

10.3.5.1.1.3Théorème de Huygens. . . . . . . . . . . . . . .174

10.3.5.1.2Le moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .174

10.3.5.1.3L"énergie cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

10.3.5.2Mouvement d"un solide en rotation autour d"un axe fixe dans un référentiel galiléen

10.3.5.2.1Théorème scalaire du moment cinétique. . . . . . . .176

10.3.5.2.2Théorème de l"énergie cinétique. . . . . . . . . . . .177

10.3.5.2.3Théorème de l"énergie mécanique. . . . . . . . . . .177

10.4Application : le pendule pesant (CNC 2014 MP P1). . . . . . . . . . . . . . .177

10.5Autres Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

10.5.1MOUVEMENT D"UNE BARRE HOMOGÈNE . . . . . . . . . . . . . . .181

10.5.1.1Étude cinématique du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . .181

10.5.1.2Étude énergétique du mouvement , relation entre V etθ. . .182

10.5.1.3Étude dynamique du mouvement, verification de l"hypothèse initiale de contact

10.5.2OSCILLATIONS MÉCANIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

10.5.2.1Étude dynamique : équation différentielle du mouvement . . .183

10.5.2.2Petites oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

10.5.2.3Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

10.5.2.4Moment d"inertie du pendule composé . . . . . . . . . . . . .185

10.5.2.5Étude dynamique : équation différentielle du mouvement . . .185

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