FONCTION EXPONENTIELLE
Démonstration : Il s'agit de la définition du nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0. Méthode : Calculer des limites. Vidéo https://youtu.be/
Démonstrations limites simples exponentielle Théorème +?= e lim
On compare deux fonctions. Pour retenir cette démonstration. Etudier e x. – x pour x > 0. Les pré requis. La fonction exponentielle est dérivable et (e.
LIMITES DES FONCTIONS (Chapitre 2/2)
Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple :
FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
d'environ 5h. V. Limites de la fonction exponentielle. 1) Limites aux bornes. Propriétés : lim. ?Ÿ. = +? et lim. ?. = 0. Démonstration :.
FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
Démonstration : La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
fonctions : limite continuité
Développements limités
22 avr. 2013 Exemple 1 : Appliquons la formule de Taylor-Young à la fonction exponentielle pour a = 0
Une définition de la fonction exponentielle dans lesprit des
Cette démonstration est élémentaire (du niveau d'un él`eve de terminale S avec les Leur limite commune est notée exp(x) et appelée exponentielle de.
Cours sur les fonctions exponentielles et logarithmes - Bacamaths
On les rencontrera dans de nombreux exercices. Cette limite a déjà été établie lors de la démonstration de l'existence de la fonction exponentielle.
livre-analyse-1.pdf
fonctions : limite continuité
FONCTION EXPONENTIELLE ET
FONCTION LOGARITHME
I. Définition de la fonction exponentielle
Propriété et définition : Il existe une unique fonction f dérivable sur ℝ telle que
et 0 =1. Cette fonction s'appelle fonction exponentielle et se note exp.Conséquence : exp
0 =1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi exp(21) dépasse le milliard. Pour des valeurs de x de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ.II. Étude de la fonction exponentielle
1) Dérivabilité
Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et exp =exp2) Variations
Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.En effet,
exp >0 car exp =exp>0.3) Courbe représentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle : x exp exp 0 2III. Propriété de la fonction exponentielle
1) Relation fonctionnelle
Théorème : Pour tous réels x et y, on a : exp =expexp Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement.Corollaires : Pour tous réels x et y, on a :
a) exp ou encore expexp =1 b) exp c) exp exp avec ∈ℕDémonstration du a et b :
a) expexp =exp =exp0=1 b) exp =exp4+ 5 =expexp =exp2) Le nombre e
Définition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notée e.On a ainsi exp1=
Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. 3Notation nouvelle :
exp=exp ×1 exp1On note pour tout x réel, exp=
Comme , le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sa ns suite logique.Ses premières décimales sont :
e ≈ 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 47093699959574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274...
Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu'un nombre est tra nscendant s'il n'e st solution d'aucune équation à coefficients entiers.Le nombre
2 par exempl e, est irrationnel mais n'est pas
transcendant puisqu'il est solution d e l'équat ion =2. Un tel nombre est dit "algébrique».Le premier à s'intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard
Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. C'est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas qu'ils'agisse de l'initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot exponentiel.
Dans " Introductio in Analysin infinitorum » publié en 1748, Euler explique que : =1+ Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est égal à 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 décimales exactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l'irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction exponentielle : Propriétés : Pour tous réels x et y, on a : a) =1 et b) >0 et c) , avec ∈ℕ. Méthode : Dériver une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk
Dériver les fonctions suivantes :
a) =4-3 b) -1 c) ℎ a) ′ =4-3 b) ()=1× -1 4 c) ℎ′Méthode : Simplifier les écritures
Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY
Simplifier l'écriture des nombres suivants :
0 0 Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) b) Méthode : Résoudre une équation ou une inéquationVidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y
Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y
a) Résoudre dans ℝ l'équation =0. b) Résoudre dans ℝ l'inéquation ≥1. a) =0 -3=-2 +2-3=0Δ=2
-4×1× -3 =16Donc =
!2 =-3 ou = ,(3 !2 =1Les solutions sont -3 et 1.
2 0 +1 0 5 b) ≥1 ⟺4-1≥0 4L'ensemble des solutions est l'intervalle M
;+∞M. Méthode : Étudier une fonction exponentielleVidéo https://youtu.be/_MA1aW8ldjo
Soit f la fonction définie sur ℝ par +1 a) Calculer la dérivée de la fonction f. b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. c) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0. d) Tracer la courbe représentative de la fonction f en s'aidant de la calculatrice. a) +1 +2 b) Comme >0, () est du signe de +2. f est donc décroissante sur l'intervalle -∞;-2 et croissante sur l'intervalle -2;+∞On dresse le tableau de variations :
x -∞ -2 +∞ () - 0 + c) 0 =1 et ′ 0 =2 Une équation de la tangente à la courbe en 0 est donc : = 0 -0 +(0), soit : =2+1 d) 6IV. Fonctions de la forme ⟼
1) Variations
Propriété :
La fonction ⟼
45, avec ∈ℝ∖ 0 , est dérivable sur ℝ. Sa dérivée est la fonction 45
Démonstration :
On rappelle que la dérivée d'une fonction composée ⟼ estEn considérant
5 , = et =0, on a : 4545
Exemple :
Soit
)/5 alors ′ =-4 )/5Propriété :
Si k > 0 : la fonction ⟼
45est strictement croissante.
Si k < 0 : la fonction ⟼
45est strictement décroissante.
Démonstration :
On a :
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Limiter l'atteinte à la biodiversité planétaire
[PDF] limiter le droits de greve
[PDF] Limiter les pertes d'énergie dans une habitation
[PDF] limiter nos libertés pour assurer notre sécurité?
[PDF] limites
[PDF] Limites & asymptote
[PDF] limites 'niveau terminale) début
[PDF] Limites aux libertés sur internet (devoir noté)
[PDF] limites cos et sin
[PDF] limites cosinus
[PDF] Limites d'une fonction
[PDF] Limites d'une fonction rationnelle en x=a
[PDF] Limites d'une suite par unicité de la limite
[PDF] limites d'une étude quantitative
