[PDF] Rosamaths f) La courbe de la

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LIMITES ET ASYMPTOTES

I. Lectures graphiques

Exercice 1 : Sur le modèle de l'exemple 1, compléter les cases. ()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x

La droite d'équation est

()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x ()lim xf x

La droite d'équation est

1N°2N°3N°4N°

5N°6N°

7N°10N°9N°8N°

2Exercice 2 : La courbe ci-dessous représente une fonction f.

1) À l'aide du graphique, déterminer les limites suivantes :

a) lim ( ) xf x →-∞ b) 2 2

2 2lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x < > c)

2lim ( )

xf x → d) lim ( ) xf x

2) En déduire les asymptotes éventuelles et en donner les équations.

Exercice 3 : La courbe ci-dessous représente une fonction f.

1) À l'aide du graphique, dire si la fonction admet une limite en

αet si oui, donner cette limite.

a) α = -∞ b) 0α = c) 1α = d) α = +∞

2) Interpréter graphiquement.

Exercice 4 : La fonction f

représentée ci-dessous est définie sur {}1;2-R\.

1) Déterminer graphiquement les limites de

f aux bornes de son ensemble de définition.

2) Donner les asymptotes à la courbe.

3Exercice 5 : On a tracé à l'aide de la calculatrice la courbe représentative d'une fonction

f.

Déterminer graphiquement les limites en -∞, en +∞ et en 1 (une graduation = une unité).

II. Limites et asymptotes

Exercice 6 : On considère une fonction

f définie sur ][][;2 2;-∞ ? +∞. À l'aide des indications données, compléter dans chaque cas la phrase suivante : " la droite d'équation ....... est asymptote ...... à la courbe représentative de f ». a) lim ( ) 3 xf x →-∞= b)

2lim ( )

xf x →= -∞ c) lim ( ) 5 xf x Exercice 7 : Interpréter géométriquement les limites suivantes : a)

0lim ( )

xf x →= +∞ b)

5lim ( )

xf x →-= -∞ c) 3lim ( )2xf x d) lim ( ) 7 xf x →-∞= e) 3 3

3 3lim ( ) et lim ( )

x x x xf x f x

Exercice 8 : Construire une courbe représentative d'une fonction f respectant les données suivantes :

1 1

1 1lim ( ) 0 ; lim ( ) ; lim ( ) et lim ( )

x x x x x xf x f x f x f x

Exercice 9 : Traduire à l'aide de limites.

a) La droite d'équation 5y= est asymptote à la courbe de f. b) La droite d'équation

0y= est asymptote à la courbe de f.

c) La droite d'équation

4x= est asymptote à la courbe de f.

d) La courbe de la fonction f admet pour asymptote la droite d'équation 2x= -. f) La courbe de la fonction f admet pour asymptote l'axe des abscisses.

III. Détermination de limites

En utilisant les opérations

Exercice 10 : Déterminer les limites suivantes : a) 21lim 2xxx→+∞ ( )+ +( )( ) b) ( ) 2 2

21lim 32x

x xx +- c)

1 1lim2xx x→-∞

d)

21lim 1xxx→+∞

( )-( )( ) e) 201lim 2 1xxx→ ( )+ -( )( ) f) ( )1lim 3 2 1xxx→-∞ 4

En appliquant les théorèmes

Exercice 11 : Limites de polynômes et fonctions rationnelles en l'infini.

Déterminer les limites suivantes :

a)

4lim 2 3 1

xx x →+∞- + b) ()3lim 1 2 xx x →-∞- + c)

23 1lim3x

x x→+∞ d)

32 7lim1x

x x→-∞ - e) 3

31 2lim

5 2 3x

x x x→+∞ Exercice 12 : Limites de fonctions rationnelles au bord d'une valeur interdite.

Déterminer les limites suivantes :

a) 3 3 1lim3 x xx→ >- b) 2 2

7 2lim2x

x x x→ - c) 3 3

1 2lim3x

x x x→- d)

2 21 1

1 1

1 1lim et lim1 1

x x x xx x→ →< >- -

Exercice 13 : Limites de fonctions composées.

Déterminer les limites suivantes :

a)

3lim 2 1xx x→+∞+ - b)

4 2

22 1lim2x

x x x + c) 2

21lim4 2x

x x d)

21lim4 2xx→+∞+ e) 21

11lim1x

xx→ >- f) 1lim cos4x x x→+∞

En cas d'indétermination

Exercice 14 :

Pour chacune des limites suivantes, si on utilise les théorèmes sur les opérations, on obtient une

forme indéterminée : dire de quelle forme il s'agit. a) xxxx sinlim 00 b) ()

2lim 1

xx x →+∞+ - c) xxxx 11lim 00 d) ()

2lim 4

xx x

Exercice 15 : (difficile)

Pour chacune des deux limites suivantes, on obtient une forme indéterminée. (cf ex 16). On propose dans chacun des cas une méthode pour lever l'indétermination. 1) xxxf-+=1)(2 et on veut déterminer )(limxfx+∞→ a) Montrer que pour tout réel 0 >x, on a : )) -+=xxxxxf111)(22. b) En déduire )(limxf x+∞→. 2) xxxf--=4)(2. f est définie sur [[∞+;2et on veut déterminer )(limxfx+∞→. a) Montrer que pour tout réel

2x? , xxxf+-

-=44)(2. b) En déduire )(limxf x+∞→. 5

IV. Théorèmes de comparaison

Exercice 16 : Étudier la limite en

∞+de la fonction f définie sur R par : a) xxxfsin)(2+= b) xxxf-=2sin)(

Exercice 17 : Soit f une fonction définie sur

On considère la fonction g définie sur ][0;∞- par x xfxg1)(3)(-=.

Étudier la limite de g en

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