Les fonctions sinus et cosinus PDF

26 juin 2013 3.2 Application aux calculs de limites . ... L'équation sin x = sin a admet les solutions suivantes sur R :.

Les fonctions sinus et cosinus

17 nov. 2017 sin et cos sont dérivables donc continues sur R. • sin? x = + cos x ... Limites qui reviennent aux nombres dérivés en 0 : • lim x?0 sin x.

Feuille 9. Limites et continuité des fonctions

Exercice 3. Calculer les limites suivantes : a) lim x!0 sin(2x) px b) lim x!0 sin(2x) sin x e) lim x!1/2 cos(?x). 1 2x f) lim x!1/2. (2x2+x1) tan(?x).

Les Développements Limités

Calculons le DL de la fonction f(x) = cos x. sin x à l'ordre 5 au point 0.Ona: sin x = x ? x3. 6.

Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =

Limite de sinx / x. 5. L'aire du triangle OAD est (cos . sin )/2 ; celle du secteur OAC est /2 et enfin l'aire du triangle OBC est (1 . tan )/2.

Développements limités

Les développements limités sont l'outil principal d'approximation locale des fonc- Partez avec les développements limités de sin et cos à l'ordre 5 :.

DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de

Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2.

LIMITES DES FONCTIONS (Partie 2)

Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée. Vidéo https://youtu.be/DNU1M3Ii76k cos . 2+1. 1) • lim. J?K< sin n'existe pas.

Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

avec cos(0) = 1 ? 0 donc il suffit de déterminer les développements limités de sin( ) et de cos( ) à l'ordre 5 en 0. la division suivant les puissances

Limite de la fonction x ?? sin(x) x en 0

cos(x) = cos(0) = 1 par continuité de la fonction cosinus. 3. lim x?0+. 1 = lim x?0+.

Dérivabilité

sin :R-→[-1 ; 1] x?-→ sin(x) cos :R-→[-1 ; 1] x?-→ cos(x) sin et cos sont dérivables donc continues surR. sin? x= +cosx cos? x= -sinx

Dérivées de la composée

Soit uune fonction dérivable sur I sin ◦u :x u?-→u(x) sin?-→ sin [u(x) cos ◦u :x u?-→u(x) cos?-→ cos [u(x) sin ◦uet cos ◦usont dérivables sur I et

?x?I,(

sin ◦u)?(x) = + u?(x) cos [u(x)]

?x?I,(

cos ◦u)?(x) =- u?(x) sin [u(x)]

Exemple

:f(x)= sin ?2x+π 3? ?f?(x)= 2cos ?2x+π 3?

Valeurs remarquables

x 0 π6 π4 π3 π2 sinx 0 12 ⎷22 ⎷32 1 0 cosx 1 ⎷32 ⎷22 12 0 -1

Formules élémentaires

sin et cos sont bornées?-1? sin x?1 -1? cos x?1,?x?R

?x?R, sin2x+cos2x=1

De sinus

àcosinus

sin ?π2-x? cos xet cos ?π2-x? sin x

Les fonctions

sinus et cosinus

Intervalle d"étude

sin et cos sont

2π-périodique

et respectivement impaire et paire , on peut restreindre leur intervalle d"étude à l"in- tervalle[0 ;π] On complète ensuite sur[-π; 0]par symétrie. x sin ?x sinx 0 π2 0- 00 11 00 x cos ?xcosx 0π 11 -1-1

π20

Périodicité et parité

1) sin et cos sont

2π-périodique

?x?R,

sin (x+ 2π sin x

?x?R,

cos (x+ 2π cos x 2)

La fonction

sin est impaire ?x?R, sin (-x) = -sin x C sinadmet l"origine O pour centre de symétrie

La fonction

cos est paire ?x?R, cos (-x) = cos x C cosadmet l"axe des ordonnées pour axe de symé- trie

Limites utiles - ROC

Limites qui reviennent aux

nombres dérivés en 0 limx→0sinx x=limx→0sinx-sin0 x-0=sin?(0) =cos(0) =1 limx→0cosx-1 x=limx→0cosx-cos0 x-0=cos?(0)=-sin(0)=0

Application

: limx→0sin(2x) x=limx→02×sin(2x) 2x=2

Courbes représentatives

Les courbes de sin et cos sont des sinusoïdes.

On déduit la sinusoïde de cos par une translation de vecteur?u=-π

2?ıde la sinusoïde de sin.-11

-π-2π

Période 2π

?u O sinx cosx

PAULMILAN

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