[PDF] MAT 1739 Calcul limite pour trouver des limites

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MAT 1739 Calcul

Chapitre 1

Objectifs

?comprendre les taux de changement moyen et instantane ainsi que leur lien avec les pentes des droites secantes et tangentes ?^etre capable de calculer le taux de changement moyen et estimer le taux de changement instantane a partir d'une equation, d'un graphe ou d'un tableau de donnees ?comprendre le concept de limite et ^etre capable d'utiliser les proprietes de base de la limite pour trouver des limites de suites et de fonctions ?comprendre le concept de continuite et ^etre capable de determiner si une fonction est continue ou non en un point donne ?^etre capable de reconna^tre les principales discontinuites qui peuvent appara^tre sur le graphe d'une fonction ?^etre capable de reconna^tre la forme indeterminee00 quand elle appara^t dans l'evaluation d'une limite et savoir ce qu'il faut faire pour trouver cette limite ?comprendre la denition de derivee d'une fonction en un point et comme fonction, ainsi qu'^etre capable d'utiliser ces denitions pour calculer des derivees ?^etre capable d'utiliser les dierentes notations de la derivee 2 3

Taux de changement et pentes des courbes

On considere une fonctiony=f(x). Si on changexdex=aax=a+ x=a+h, avec un increment enxde x=h, alors la valeur de la fonction (si elle n'est pas constante) va changer def(a) af(a+h). Si on note le changement de la valeur de la fonction, f=f(a+h)f(a), relativement au changement de la variable independantex, x= (a+h)a=h, on a fx=f(a+h)f(a)h , qui est le taux de changement moyende la fonction sur l'intervalle axa+h. L'exemple le plus simple de cette notion est probablement la vitesse d'un objet en mou- vement. Si vous parcourez une distance de 120 km en une heure et demi, votre vitesse moyenne sera de120 km1:5 h= 80 km/h (et c'est la variation de la position divise par la varia- tion du temps). Revenons a ce qu'on a vu ci-haut. Notez que l'expression fx=f(a+h)f(a)h (appelee quotient dierentiel) represente la pente de la droite tracee entre les deux points (a;f(a)) et (a+h;f(a+h)) de la courbe. Une droite qui passe par deux pointsPetQde la courbey=f(x) est appelee une 4 droite secante.

Exemple:

Trouver la pente de la droite secante qui passe par les points (1;1) et (2;4) de la courbe y=x2. yx=412(1)=33 = 1 et la droite esty=x+ 2 (est-ce que vous voyez ca?).

Exemple:

Supposons que la population d'une petite ville a ete recensee a chaque annee de 2001 a 2010.AnneePopulation

20016210

20026347

20036523

20046704

20056851

20066975

20077087

20087214

20097326

20107472

(i) Quel etait le taux de changement moyen de la population pendant cette periode? (ii) Et pendant celle de 2006 a 2010? (i)

Pt=7472621020102001140 personnes/annee

(ii)

Pt=7472697520102006124 personnes/annee

Dans l'exemple ci-dessus impliquant la distance parcourue, nous avons obtenu la vitesse 5 moyenne de 80 km/h sur toute la distance. C'est peu probable qu'on ait vraiment conduit a exactement 80 km/h pendant 1.5 heures { plus probable que par moments on soit alle plus vite et en d'autres moments, plus lentement. De plus, la vitesse moyenne ne nous in- dique pas a quelle vitesse on a conduit a un moment donne, ce qui correspond plut^ot a la vitesse instantanee(vitesse a un moment particulier). Comment pourrait-on trouver le taux de changement instantane d'une fonctiony=f(x) au pointx=a? On reconna^t que ca correspond a la \pente" de la courbe en ce point, qui doit ^etre egale a la pente de la tangente a la courbe en ce point. La droite tangentea la courbe en un pointP= (a;f(a)) est la droite qui passe par le point et est la meilleure approximation de la courbe autour de ce point. Donc, si on a le graphe de la fonction, on peut tracer la droite tangente et trouver sa pente. (Mais ce ne serait qu'une approximation ou estimation puisqu'on ne peut pas tracer la droite tangente exactement.) Si on a une table de valeurs, on peut calculer le taux de changement moyen sur un intervalle aussi court que l'on veut qui contient le point qui nous interesse (mais comme dans le cas precedent, seulement une estimation).

Exemple:

Le taux de changement instantanemde la population de la ville en 2004 est approximative- ment mPt=P(2005)P(2004)20052004=685167041 = 147 personnes/annee. Notez que dans n'importe quel cas (graphique ou numerique), notre meilleure option est de trouver une estimation. Pourquoi a-t-on ce probleme? Parce qu'on connait seulement un point, soit (a;f(a)), par lequel passe la droite tangente. On ne peut pas calculer la pente (ou trouver l'equation) de la droite ne sachant qu'un seul point. Clairement, si on veut calculer 6 le taux de changement instantane (c'est exactement ce que nous voulons), on doit trouver une methode pour le faire. Taux de changement utilisant l'equation d'une fonction Si on a l'equation de la fonction,y=f(x), on peut trouver des estimations plus precises du taux de changement instantane enx=a, si on trouve le taux de changement moyen sur un petit intervalleaxa+h.

Exemple:

La position (en meters) d'un objet en mouvement est donnee pars(t) = 2t2+ 3t+ 2, out est mesure en secondes. Quelle sera la vitesse instantanee de cet objet au tempst= 2 s? La pente de la droite secante (qu'on utilise comme une approximation de la droite tangente) qui passe parP= (2;s(2)) etQ= (2 +h;s(2 +h)) est st=s(2 +h)s(2)(2 +h)2

2(2 +h)2+ 3(2 +h) + 2(2(2)2+ 3(2) + 2))h

=2(4 + 4h+h2) + 6 + 3h+ 216h =8 + 8h+ 2h2+ 6 + 3h+ 216h =11h+ 2h2h = 11 + 2h sih= 1 s,st= 13 m/s sih= 0:1 s,st= 11:2 m/s sih= 0:01 s,st= 11:02 m/s et donc on voit que la vitesse instantanee de l'objet au tempst= 2 s est de 11 m/s. Qu'est-ce qu'on a fait dans cet exemple? On a utilise des droites secantes pour faire une 7 approximation de la droite tangente. Plushest petit, plusQest proche dePet mieux est la droite secante comme approximation de la droite tangente. Et lorsquehtend vers zero, le quotient dierentielf(a+h)f(a)h , qui est la pente de la droite secante ou le taux de changement moyen sur l'intervalleaxa+h tend de plus en plus vers la pente de la droite tangente ou le taux de changement instantane enx=a. Mais qu'est-ce qu'on veut dire parhtend vers 0 et plus generalement qu'une quantite tend de plus en plus vers une autre quantite?

Limites

L'ensemble des nombres naturelsestN=f0;1;2;3;:::g. Une suite innieest une liste in- nie de nombres generes par une fonctionf(n) =andont le domaine estN.

Exemple:

2;23 ;29 ;227 ;281

Le terme general ici estan=23

net lorsquendevient plus grand, les valeurs deviennent de plus en plus petites ou proches de 0. Il y a unanpour toutn, aussi grand que soit n. Lorsquendevient de plus en plus grand indeniment, on dit quentend vers l'inni et on ecritn! 1. Lorsquen! 1;an!0. On peut alors utiliser la notation de limite: lim n!1an= limn!123 n= 0.

Exemple:

Sian= (1)n, on a la suite

1;1;1;1;:::

Ici, limn!1an= limn!1(1)nn'existe pas parce que les termes de la suite ne tendent pas vers une 8 valeur particuliere.

Exemple:

1;2;4;8;16;32;:::

Ici,an= 2net alors limn!1an= limn!12n=1. Cette limite n'existe pas parce que les termes de la suite augmentent sans cesse, devenant de plus en plus grands. Par consequent, ils ne tendent pas vers une valeur particuliere (nie).

1n'est pas un nombre { il represente l'idee d'une augmentation innie.

Si lim

n!1an=L, ouLest un nombre ni quelconque, alors la suitefangadmet une limite. Lorsquen! 1et on dit que la suite converge versL, ce qui signie que quandnaugmente, les valeurs deantendent versL. Ayant une fonctionf(x), on peut aussi regarder ce qui se passe lorsquex!a,ieconsiderer limx!af(x). On peut approcheradu c^ote gauche, oux < aou du c^ote droit, oux > a. Cela nous mene vers la limite du c^ote gauchelim x!af(x) et la limite du c^ote droitlim x!a+f(x).

Supposons que lim

x!af(x) et lim x!a+f(x) existent toutes les deux, mais sont dierentes (pas 9 egales).

Alors lim

x!af(x) ne peut pas exister parce quef(x) ne tend pas vers une valeur unique lorsque x!a.

Qu'est-ce qui se passe si lim

x!af(x) = lim x!a+f(x)? Alors limx!af(x) existe et a la m^eme valeur a gauche et a droite.

Exemple:

Considerez la fonctionf(x) =x22x+ 3. Que vaut limx!2f(x)? D'apres le graphe, on peut voir que lorsquex!2(iedu c^ote gauche,x= 1:9;1:99;1:999;:::), la valeur de la fonction va augmenter jusqu'a 3. Et lorsquex!2+(iedu c^ote droit, x= 2:1;2:01;2:001;:::), la valeur de la fonction va diminuer jusqu'a 3.

Donc, on a lim

x!2f(x) = 3 = lim x!2+f(x) et donc limx!2f(x) = 3.

On aurait pu aussi l'observer numeriquement.

10 xf(x)xf(x)1.92.812.13.21

1.992.98012.013.0201

1.9992.9980012.0013.002001

Est-ce que vous voyez ce que ces valeurs nous disent a propos delim x!2f(x)etlim x!2+f(x), donc delimx!2f(x)? Si on regarde l'exemple ci-dessus, on constate que lim x!2f(x) est tout simplement la valeur de f(x) enx= 2. En fait. si on tracait le graphe de la fonctionfde chaque c^ote dex= 2, on n'apercevrait aucun trou dans le graphe,iela courbe approche continuement le point (2;f(2)). Cela signie que la fonctionf(x) =x22x+ 3 est continue enx= 2. On dit quef(x) est continue enx=asi les trois conditions suivantes sont satisfaites. (i)f(a) est denie (ii) limx!af(x) existe (iii) lim x!af(x) =f(a) Une fonction est continue enx=asi on peut tracer le graphe autour dex=asans lever le crayon. Une fonction est appelee continuesi elle est continue en tout pointxde son domaine. S'il y a un point ou on a un trou dans le graphe, on a une discontinuite(au moins l'une des trois conditions ci-dessus n'est pas satisfaite).

Limites et continuite

Si lim

x!af(x) et limx!ag(x) existent etcest une constante, on a les proprietes de la limitesuiv- antes. (i) limx!ac=c (ii) lim x!ax=a (iii) lim x!a(f(x)g(x)) = limx!af(x)limx!ag(x) (iv) lim x!a(cf(x)) =c limx!af(x) (v) lim x!a(f(x)g(x)) = limx!af(x) limx!ag(x) (vi) lim x!af(x)g(x)=limx!af(x)lim x!ag(x), si limx!ag(x)6= 0 (vii) lim x!a(f(x))n= limx!af(x) n, sinest rationnel (viii) lim x!anpf(x) =nqlim x!af(x), si la racine du membre de droite existe Ces proprietes nous permettent de calculer beaucoup de limites en procedant par substitu- tion.

Exemples:

11 (i) lim x!327 = 27 (ii) lim x!3x=3 (iii) lim x!2(2x3+ 3x4) = 2 limx!2x 3+ 3 limx!2x limx!24 = 2(2)3+ 3(2)4 = 18 (iv) lim x!15xx1=5(limx!1x)lim x!1(x1)=50 n'existe pas (v) lim x!4rx

2+ 1x+ 2=s(lim

x!4x)2+ 1(lim x!4x) + 2=r4

2+ 14 + 2

=r17 6 Les fonctions algebriques, rationnelles et polyn^omiales usuelles sont continues partout dans leurs domaines. Leurs limites (dans le domaine) peuvent donc ^etre calculees par une simple substitution.

Exemples:

(i) limx!1(2x2+ 7x2) = 2(1)2+ 7(1)2 =7 (ii) lim x!3x+ 7x2=3 + 732=101 = 10 (iii) lim x!2px7 =p5 n'existe pas (2n'appartient pas au domaine) (iv) lim x!2p2x+ 1 =p2(2) + 1 = p5 On a dit quef(x) est continue enx=asif(a) est denie, limx!af(x) existe et limx!af(x) =f(a). Cela correspond a la possibilite de tracer le graphe def(x) sans lever le crayon ou sans qu'il y ait un trou dans le graphe enx=a. Mais qu'est-ce qui se passe s'il y a une discontinuite enx=a? Considerons les graphes suivants. f(a) est denie, lim x!af(x) = lim x!a+f(x) donc limx!af(x) existe. De plus, limx!af(x) =f(a) et 12 doncf(x) est continue enx=a. f(a) est denie, lim x!af(x) existe et lim x!a+f(x) existe mais lim x!af(x)6= lim x!a+f(x), donc limx!af(x) n'existe pas. Consequemment,f(x) n'est pas continue enx=a. Cette situatuion sera ap- pelee discontinuite de saut. f(a) est denie, lim x!af(x) existe et lim x!a+f(x) existe mais lim x!af(x)6= lim x!a+f(x), donc limx!af(x) n'existe pas. Consequemmentf(x) est discontinue enx=a. Nous avons a nouveau une 13 discontinuite de saut. f(a) n'est pas denie, mais lim x!af(x) = lim x!a+f(x) donc limx!af(x) existe, maisf(x) est dis- continue enx=a. Cette situation sera appelee trouou discontinuite apparente. f(a) est denie, lim x!af(x) = lim x!a+f(x) donc limx!af(x) existe, mais limx!af(x)6=f(a), doncf(x) 14 est discontinue enx=a. Nous avons a nouveau un trouou une discontinuite apparente. f(a) n'est pas denie, lim x!af(x) n'existe pas, lim x!a+f(x) n'existe pas, donc limx!af(x) n'existe pas.f(x) est discontinue enx=a. On a aaire a une asymptote verticale.

Exemple:

Considerez la fonctionf(x) =8

:1 +x; x <2;

2; x= 2;

x

2; x >2:

C'est un exemple d'une fonction denie par parties. lim x!2f(x) = lim x!2(1 +x) = 3, lim x!2+f(x) = lim x!2+x2= 4, donc lim x!2f(x) n'existe pas (doncf(x) ne peut pas ^etre continue enx= 2).

Par ailleurs,f(2) = 2

15 etf(x) admet une discontinuite de saut enx= 2.

Calculons les limites suivantes.

(i) lim x!3x 29x3
(ii) lim x!1px+ 32x1 (iii) lim x!2(x1)21x2 La substitution dans toutes ces limites conduit a une forme indeterminee0 0 (qui n'est pas denie). On peut evaluer de telles limites en faisant quelques manipulations. (i) lim x!3x 29x3
= lim x!3(x+ 3)(x3)x3(mise en facteur) = lim x!3(x+ 3)(elimination du facteur en commun { permis parce quex6= 3) = 6 (ii) lim x!1px+ 32x1 = lim x!1px+ 32x1px+ 3 + 2px+ 3 + 2(rationalisation du numerateur) = lim x!1(x+ 3)4(x1)(px+ 3 + 2) = lim x!1x1(x1)(px+ 3 + 2) = lim x!11px+ 3 + 2(elimination du facteur en commun) = 1=4 (iii) lim x!2(x1)21x2 = lim x!2x

22x+ 11x2(developpement des parentheses)

= lim x!2x 22xx2
= lim x!2x(x2)x2(factorisation) = lim x!2x(elimination du facteur en commun) = 2 (Toutes ces discontinuites sont apparentes.)

Exemple:

16

Est-ce quef(x) =x22x3x

2+ 5x+ 4est continue enx=1? Est-ce que la limite existe en

x=1? f(1) =00 , doncf(x) n'est pas denie enx=1. Cette fonction ne peut pas ^etre continue en ce point. lim x!1x 22x3x

2+ 5x+ 4

lim x!1(x3)(x+ 1)(x+ 1)(x+ 4) lim x!1x3x+ 4=4=3 donc oui, limx!1f(x) existe. Cette discontinuite est apparente { donc le graphe de la fonction va avoir un trou au point (1;4=3).

Introduction aux derivees

Revenons maintenant a ce dont on a discute en introduction de cette section. On a dit que le taux de changement instantane d'une fonctiony=f(x) au pointP= (a;f(a)), qui est la pentemde la droite tangente au graphe en ce point, peut ^etre approxime par la pente de la droite secante qui passe par les pointsPetQ= (a+h;f(a+h)). Ceci donne le quotient dierentielf(a+h)f(a)h =fx=yx, et cette approximation est meilleure lorsquehtend vers

0. On comprend maintenant que cela signie prendre la limite lorsqueh!0, donc

m= limh!0f(a+h)f(a)h . Notez que cette limite donne toujours une forme indeterminee 00 si on substitueh= 0. On doit donc faire quelques manipulations pour calculer ces limites. Le taux de changement instantane dey=f(x) enP= (a;f(a)) estegal a la pente de la droite tangente a la courbey=f(x) enx=aet est aussi appele la derivee dey=f(x) enx=a, notef0(a).

Ainsif0(a) = limh!0f(a+h)f(a)h

(on dira alors que la deriveef0(a) est calculee a partir de sa denition).

Exemple:

Considerez la fonctiony=f(x) =x2. Trouvez la derivee et les equations des droites 17 tangentes enx=1 etx= 2. f

0(1) = limh!0f(1 +h)f(1)h

= lim h!0(1 +h)2(1)2h = lim h!0(12h+h2)(1)h = lim h!02h+h2h = limh!02 +h =2 donc la droite tangente passe par (1;1) et a pour pentem=2. L'equation de la tangente est donnee paryy0=m(xx0) (forme pente au point), soity1 = (2)(x(1)) ou y=2x1. f

0(2) = limh!0f(2 +h)f(2)h

= lim h!0(2 +h)2(2)2h = lim h!0(4 + 4h+h2)(4)h = lim h!04h+h2h = limh!04 +h = 4 donc la droite tangente est donnee pary4 = (4)(x2) ouy= 4x4. Si on regarde le graphe dey=f(x) =x2, on peut voir qu'on serait capable de tracer la droite tangente a la courbe en tout point mais sa pente depend de la valeur dex. Donc 18 la derivee d'une fonctionest elle-m^eme une fonction dex. On peut la trouver comme suit: f

0(x) = limh!0f(x+h)f(x)h

Donc, pourf(x) =x2,

f

0(x) = limh!0f(x+h)f(x)h

= lim h!0(x+h)2(x)2h = lim h!0(x2+ 2xh+h2)(x2)h = lim h!02xh+h2h = limh!02x+h = 2x(est-ce que cela correspond a ce qu'on a obtenu dans l'exemple ci-dessus?) Il existe d' autres notations pour la derivee: soity=f(x), alorsf0(x) =y0etf0(x) =dfdx =dydx (cela vient dedydx = limx!0yx) etf0(x) =ddx f(x) (notation d'operateur). Si on evalue la derivee enx=a,f0(a) =y0(a) =dydxquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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