Limites : exercices
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Exercices de mathématiques - Exo7
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Révisions fonctions rationnelles Deux exercices corrigés Exercice 1
Calculer la dérivée f' de la fonction f. 4. Déterminer son signe puis en déduire le sens des variations de f. 5. Déterminer les limites de f aux bornes de
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fonctions : limite continuité
Limites asymptotes EXOS CORRIGES
1 (cf exercice précédent) étudiez les limites en 0 des fonctions : que « la limite en +? ou en ?? d'une fraction rationnelle (quotient de deux.
Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés - AlloSchool
4) Déterminons. D'après le théorème sur les limites des fonctions rationnelles en l'infini. Donc
Cours danalyse 1 Licence 1er semestre
mais n'importe quelle fonction rationnelle (=quotient de deux polynômes) satisfaisant (limite d'une suite continuité d'une fonction) et de rappeler les ...
Fractions rationnelles
Corrections de Léa Blanc-Centi. 1 Fractions rationnelles. Exercice 1. Existe-t-il une fraction rationnelle F telle que. (F
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2 Limite en l'infini d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle. Calculer les limites des fonctions suivantes et préciser lorsque la courbe représentative.
Limites de fonctions - Lycée dAdultes
3 oct. 2014 Exercice 2. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions rationnelles suivantes puis déterminer les limites aux bornes de leur ensemble ...
Fractions rationnelles
Corrections de Léa Blanc-Centi.
1 Fractions rationnelles
Exercice 1Existe-t-il une fraction rationnelleFtelle queF(X)2= (X2+1)3?
SoitF=PQ
une fraction rationnelle écrite sous forme irréductible. On suppose qu"il existe une fraction rationnelleGtelle queGP(X)Q(X)
=X 1.Si G=anXn++a1X+a0b
nXn++b1X+b0, montrer quePdivise(a0b0X)et queQdivise(anbnX). 2.En déduire que F=PQ
est de la formeF(X) =aX+bcX+d. 3. Pour Y=aX+bcX+d, exprimerXen fonction deY. En déduire l"expression deG. Soitn2NetP(X) =c(Xa1)(Xan)(où lesaisont des nombres complexes et oùc6=0). 1. Exprimer à l"aide de Pet de ses dérivées les sommes suivantes: nå k=11Xaknå k=11(Xak)2å16k;`6n
k6=`1(Xak)(Xa`) 2.Montrer que si zest racine deP0mais pas deP, alors il existel1;:::;lndes réels positifs ou nuls tels
queånk=1lk=1 etz=ånk=1lkak. Si toutes les racines dePsont réelles, que peut-on en déduire sur les
racines deP0?Exercice 4Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR, par identification des coefficients.
1.F=XX
241
2.G=X33X2+X4X1
3.H=2X3+X2X+1X
22X+14.K=X+1X
4+1Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR, en raisonnant par substitution pour obtenir les
coefficients.1.F=X5+X4+1X
3X2.G=X3+X+1(X1)3(X+1)
3.H=X(X2+1)(X2+4)
4.K=2X4+X3+3X26X+12X3X2
Décomposer les fractions suivantes en éléments simples surR. 1. À l"aide de di visionseuclidiennes successi ves:F=4X62X5+11X4X3+11X2+2X+3X(X2+1)3
2. À l"aide d"une di visionselon les puissances croissantes :G=4X410X3+8X24X+1X
3(X1)2
3.Idem pour :
H=X4+2X2+1X
5X3 4. A l"aide du changement d"indéterminée X=Y+1 :K=X5+X4+1X(X1)4
1. Décomposer les fractions sui vantesen éléments simples sur C. (32i)X5+3iX2+iX+2X+iX
2+i2X(X+i)2
2. Décomposer les fractions sui vantesen éléments simples sur R, puis surC. X5+X+1X
41X23(X2+1)(X2+4)X
2+1X 4+13 Applications
Exercice 8On poseQ0= (X1)(X2)2,Q1=X(X2)2etQ2=X(X1). À l"aide de la décomposition en éléments
simples de1X(X1)(X2)2, trouver des polynômesA0;A1;A2tels queA0Q0+A1Q1+A2Q2=1. Que peut-on en
déduire surQ1,Q2etQ3?SoitTn(x) =cosnarccos(x)pourx2[1;1].
1. (a)Montrer que pour tout q2[0;p],Tn(cosq) =cos(nq).
(b)Calculer T0etT1.
(c) Montrer la relation de récurrence Tn+2(x) =2xTn+1(x)Tn(x), pour toutn>0. (d) En déduire que Tnune fonction polynomiale de degrén. 2. Soit P(X) =l(Xa1)(Xan)un polynôme, où lesaksont deux à deux distincts etl6=0. Montrer que1P(X)=nå
k=11P0(ak)Xak
3.Décomposer
1T nen éléments simples.Indication pourl"exer cice1 NÉcrireF=PQ
sous forme irréductible.Indication pourl"exer cice2 NÉcrireG=ABsous forme irréductible (on pourra choisir par exemplen=max(degA;degB)).Indication pourl"exer cice3 NConsidérerP0=Pet sa dérivée, et enfinP00=P.Indication pourl"exer cice4 NPourGetH, commencer par faire une division euclidienne pour trouver la partie polynomiale.Indication pourl"exer cice5 NLes fractionsF;Kont une partie polynomiale, elles s"écrivent
F=X2+X+1+X2+X+1X
3X K=X+1+4X26X+12X3X2Indication pourl"exer cice6 NPourF, commencer par écrireF=aX +F1oùF1=N(X2+1)3puis diviserNparX2+1. PourK, commencer par obtenirK=1+1X+K1, puis faire le changement d"indéterminée dansK1.Indication pourl"exer cice9 NPour 1. exprimer cos
(n+2)qet cos(nq)en fonction de cos(n+1)q. Pour 3. chercher les racines deTn: w k=cos(2k+1)p2n pourk=0;:::;n1.4Correction del"exer cice1 NÉcrivonsF(X)=P(X)Q(X)avecPetQdeuxpolynômespremiersentreeux, avecQunitaire. LaconditionF(X)2=
(X2+1)3devientP2= (X2+1)3Q2. AinsiQ2diviseP2. D"oùQ2=1, puisqueP2etQ2sont premiers entre eux. DoncQ=1 (ou1). AinsiF=Pest un polynôme etP2= (X2+1)3.En particulierP2est de degré 6, doncPdoit être de degré 3. ÉcrivonsP=aX3+bX2+cX+d, on développe
l"identitéP2= (X2+1)3: X6+3X4+3X2+1=
aOn identifie les coefficients : pour le coefficient deX6, on aa=1, puis pour le coefficient deX5, on ab=0
; pour le coefficient de 1, on ad=1, puis pour le coefficient deX, on ac=0. Mais alors le coefficient deX3
doit vérifier 2ad+2bc=0, ce qui est faux.Ainsi aucun polynôme ne vérifie l"équationP2= (X2+1)3, et par le raisonnement du début, aucune fraction
non plus.Correction del"exer cice2 N1.Posons G=AB etF=PQ (avecA;B;P;Qdes polynômes). On réécrit l"identitéG(F(X))=Xsous la forme A(F(X)) =XB(F(X)). Posonsn=max(degA;degB). Alorsn>1 car sinon,AetBseraient constants et G(PQ ) =Xaussi. On a doncA=ånk=0akXketB=ånk=0bkXk, où(an;bn)6= (0;0), et l"identité devient nå k=0a kPQ k =Xnå k=0b kPQ kEn multipliant parQn, cela donne
nå k=0a kPkQnk=nå k=0b kXPkQnk: Donc (a0b0X)Qn+ (+(akbkX)PkQnk+) + (anbnX)Pn=0où les termes dans la parenthèse centrale sont tous divisibles parPet parQ. CommeQdivise aussi le
premier terme, alorsQdivise(anbnX)Pn. D"après le lemme de Gauss, puisquePetQsont premiersentre eux, alorsQdivise(anbnX). De même,Pdivise tous les termes de la parenthèse centrale et le
dernier, doncPdivise aussi(a0b0X)Qn, doncPdivise(a0b0X). 2.Supposons de plus qu"on a écrit G=AB
sous forme irréductible, c"est-à-dire avec pgcd(A;B) =1. Vu queanetbnne sont pas tous les deux nuls, alorsanbnXn"est pas le polynôme nul. CommeQdivise a nbnXalors nécessairementQest de degré au plus 1 ; on écritQ(X) =cX+d. Par ailleurs,a0b0X n"est pas non plus le polynôme nul, car sinon on auraita0=b0=0 et doncAetBseraient tous les deux sans terme constant, donc divisibles parX(ce qui est impossible puisqu"ils sont premiers entre eux).DoncPest aussi de degré au plus 1 et on écritP(X) =aX+b. Conclusion :F(X) =aX+bcX+d. Notez quea
etbne sont pas tous les deux nuls en même temps (de même pourbetd). 3. Si Y=aX+bcX+davec(a;b)6= (0;0), alorsX=dYbcYa. Autrement dit si on notef(X) =aX+bcX+d, alors sa bijection réciproque estf1(Y) =dYbcYa. Nous avons prouvé queGaX+bcX+d=X. Cette identité s"écritGf(X)=X. Appliquée enX=f1(Y)elle devientGf(f1(Y))=f1(Y), c"est-à-direG(Y) =f1(Y). AinsiG(Y) =dYbcYa.Correction del"exer cice3 N5
1.(a) Puisque P(X) =c(Xa1)(Xan):
P0(X) =c(Xa2)(Xan)+c(Xa1)(Xa3)(Xan)
++c(Xa1)(Xak1)(Xak+1)(Xan) ++c(Xa1)(Xan1) La dérivée est donc la somme des termes de la forme : c(Xa1)(Xan)Xak=P(X)Xak. Ainsi P0(X) =P(X)Xa1++P(X)Xak++P(X)Xan:
Donc :
P0P =nå k=11Xak (b)Puisque
ånk=11(Xak)2est la dérivée deånk=11Xak, on obtient par dérivation deP0P P02PP00P
2=nå
k=11(Xak)2 (c) On a remarqué que la déri véede P0est la somme de facteursc(Xa1)(Xan)avec un des facteurs en moins, donc de la forme c(Xa1)(Xan)Xak=PXak. De mêmeP00est la somme de facteurs c(Xa1)(Xan)avecdeuxfacteursenmoins, c"est-à-diredelaformec(Xa1)(Xan)(Xak)(Xa`)=P(Xak)(Xa`): P00=å
16k;`6n
k6=`P(Xak)(Xa`)doncP00P16k;`6n
k6=`1(Xak)(Xa`) 2.On applique l"identité
P0(X)P(X)=ånk=11Xakenzavec les hypothèsesP(z)6=0 etP0(z) =0. On en déduit nå k=11zak=0. L"expression conjuguée est aussi nulle : nå k=11zak=nå k=1zakjzakj2=0Posonsmk=1jzakj2. Alors
nå k=1m k(zak) =0 donc nå k=1m k! z=nå k=1m kakPosonslk=mk=(ånk=1mk), alors :
Les lksont des réels positifs.
ånk=1lk=1
Et z=ånk=1lkak.
En particulier si lesaksont tous des nombres réels, alorszest aussi un nombre réel. On vient de prouver
que si un polynômePa toutes ses racines réelles, alorsP0a aussi toutes ses racines réelles. On a même
plus : si on ordonne les racines réelles dePena16a266analors une racinezdeP0est réelle et vérifiea16z6an.Plus généralement, l"interprétation géométrique de ce que l"on vient de prouver s"appelle le théorème de
Gauss-Lucas : "Les racines deP0sont dans l"enveloppe convexe des racines (réelles ou complexes) de
P.»
6Correction del"exer cice4 N1.F=XX
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