Limites et continuité de fonctions
2 Limites d'une fonction. Limite en l'infini limite en un réel. Limite à gauche
Limite dune fonction à linfini
composées de fonctions polynômes trigonométriques
Limite dune fonction
4 Fonctions trigonométriques lim x?x0 sin x=sin x0 lim x?x0 cos x=cos x0. Remarque. Les fonctions sinus et cosinus n'ont pas de limite à l'infini.
GYOBEL
2/ Limite d'une fonction dans l'infini : limite finie Tant pour la fonction réelle que Fonctions trigonométriques - Partie 3 Limites et intégration I ...
COURS DE MATH´EMATIQUES Modules M 1201 & M 1302
Fonctions réciproques des fonctions trigonométriques . A l'infini la limite d'une fonction polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.
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Limite d'une fonction application des propriétés Lecture : Limite
Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes
26 jun 2013 1.3 Signe des lignes trigonométriques . ... 3 Étude des fonctions sinus et cosinus ... 3.2 Application aux calculs de limites .
Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriques
A.1 Limites de fonctions trigonométriques. Théorème des deux gendarmes. Le théorème suivant implique 3 fonctions f g et h dont l'une f est "prise.
Limites de fonctions
infini en restant dans le domaine de définition de la fonction. d'abord apprendre à calculer des limites de fonctions usuelles non trigonométriques.
Analyse de fonctions
Certaines limites `a l'infini n'existent pas car les valeurs de la fonction Les fonctions trigonométriques sont un exemple : leur périodicité entraine.
FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES I
2M renf - JtJ 2019 Annexe du chapitre 6: Fonctions trigonométriquesA.1 Limites de fonctions trigonométriques
Théorème des deux gendarmes
Le théorème suivant implique 3 fonctions f, g et h dont l'une f est "prise en sandwich" entre les deux autres. Si g et h ont la même limite lorsque x tend vers a, alors f doit avoir cette même limite. Ainsi : • soit l'intervalle ]b ; c[ contenant a; • soit h(x) f (x) g(x) pour tout x ]b ; c[ \ {a}.Si lim
xa g(x)=lim xa h(x)=L, alors lim xaf(x)=LOn acceptera ce théorème sans preuve
Exercice A6.1 :
Soit f une fonction telle que pour tout x on ait x 2 +x3 f(x)2x23x+1 .
a) Déterminer lim x2 f(x) b) Qu'en est-il si x 2 +x3f(x)2x2 3x+3 Remarque : Le théorème des deux gendarmes est un outil très souvent utilisé pour calculer des limites pour des fonctions trigonométriques. Observons ceci sur un exemple : Exemple : À l'aide du théorème des deux gendarmes, montrer que lim x0 xsin 1 x =0. xyy = f(x) y = g(x) y = h(x) a LII ANNEXE CHAPITRE 6
2M renf - JtJ 2019Exercice A6.2 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer lim x0 x 2 sin 1 x 2 Indications : -1 sin(angle) 1, puis constater que x 2 sin 1 x 2 est comprise entre deux paraboles.Exercice A6.3 :
On considère le quart de cercle trigonométrique de centre O et de rayon 1. • En comparant les aires des triangles OIM et OIT avec celle du secteur circulaire OIM, montrer que : sin(x) x tan(x) si 0 < x < /2 • En déduire que : cos(x) sin(x) x 1 • Puis montrer que lim x0 sin(x) x • Comment adapter cette preuve pour le calcul de lim x0 sin(x) xExercice A6.3 bis :
Que devient le raisonnement précédent si l'angle x est en degré et alors que vaut lim x0° sin(x) xExercice A6.4 :
Sachant que lim
x0 sin(x) x =1, en déduire les limites suivantes : a) lim x0 sin(2x) x b) lim x0 sin(3x) sin(2x) c) lim x0 tan(x) x d) lim xa 2sin xa 2 xaExercice A6.5 :
Calculer, si elles existent, les limites suivantes : a) lim x0 cos(x) x b) lim x0 1cos 2 (x) xtan(x) c) lim x01cos(x)
sin(x) 2Exercice A6.6 :
En amplifiant les fractions par 1 + cos(x), montrer que a) lim x01cos(x)
x=0 b) lim x01cos(x)
x 2 =1 2Exercice A6.7 :
Utiliser le théorème des deux gendarmes pour calculer : a) lim x+ sin(x) x b) lim x+ e x sin(x) c) lim x+2x+cos(x)
x+1FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES III
2M renf - JtJ 2019 A.2 Les preuves des règles de dérivation des fonctions trigonométriques Les règles de dérivation des fonctions trigo : 8ème
règle : Si f(x)=sin(x) ....................... 9ème
règle : Si f(x)=cos(x) ....................... 10ème
règle : Si f(x)=tan(x) ....................... ou .......................Exercice A6.8: Voici la preuve de la 8
ème
règle ci-dessus qu'il s'agit de compléter f (a)=lim xa f(x).......... ..................=lim xa Truc : on utilise la formule de soustraction d'angle (Formulaire page 31) f (a) = lim xa2cos..........
sin.......... xa = lim xa cos..........2sin..........
xa = lim xa cos.......... sin.......... = lim xa cos.......... lim xa sin.......... = cos2a 21=cos(a)
En changeant la variable de a en x, on obtient bien : f (x)=...............Reprendre cette preuve en utilisant la définition équivalente de dérivée vue dans l'annexe du
chapitre 4: f(x)=lim x0 f(x+x)f(x) x Exercice A6.9: Démontrer les 2 dernières règles de dérivation.IV ANNEXE CHAPITRE 6
2M renf - JtJ 2019 A.3 Les fonctions trigonométriques réciproquesIntroduction
(à compléter) Nous avons vu dans le chapitre 1 que pour définir la fonction réciproque ...... d'une fonction f, il faut que celle-ci soit ..............., c'est-à-dire: • que si a b dans l'ensemble de ............ de f, alors f(a)......f(b). • tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont atteints.On peut alors résumer ceci par :
y=f(x) x = .........On a les propriétés suivantes :
(1) l'ensemble de définition de r f = ....................................... (2) l'ensemble image de r f = ....................................... (3) f r f(x) =...... pour tout x ...... (4) r ff(x)()=...... pour tout x ...... (5) les graphes de r f et f sont ............... l'un de l'autre par rapport à la droite d'équation ............ • La fonction arcsinus, notée arcsin (ou sin -1 ), est définie par : x arcsin(x)De même, on peut définir :
• La fonction arccosinus, notée arccos (ou cos -1 ), est définie par : [ -1 ; 1 ] [...... : ......] x arccos(x)FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES V
2M renf - JtJ 2019Introduction
(à compléter) • La fonction arctangente, notée arctan (ou tan -1 ), est définie par :IR ]...... : ......[
x arctan(x)Exemple : Déterminer :
sin sin 1 1 2 , cos 1 cos 5 4 et sin 1 sin 2 3 Exercice A6.10 : Déterminer sans calculatrice : a) cos cos 1 1 2 b) sin 1 sin 4 3 c) cos 1 cos 5 6 d) tan 1 tan 7 4VI ANNEXE CHAPITRE 6
2M renf - JtJ 2019 A.4 Les dérivées des fonctions réciproques Exercice A6.11 : On considère la fonction f : IR IR définie par f(x)=x 2 +3 et le point P(1 ; f (1)). a) Déterminer r f. b) Tracer simultanément le graphe de f, celui de r f ainsi que le point P. c) Calculer la dérivée de f et celle de r f. d) Calculer f (1) et r f f(1) (), puis représenter ces valeurs sur le graphique. e) Que constatez-vous ? f) Cette constatation reste-t-elle vraie pour la fonction f définie par: f(x)=x+2 x4 pour x[2,5 ;2,5] et le point P(2 ; f (2)) Dont on propose ci-dessous une représentation graphique : g) En déduire r f (0) x -2-112 y -2 -1 1 2 f r f PFONCTIONS TRIGONOMETRIQUES VII
2M renf - JtJ 2019 Théorème : Dérivée d'une fonction réciproque Si f est dérivable sur un intervalle I et si f ne s'annule pas sur I alors : • f possède une fonction inverse r f dérivable en tout point (f (x) ; x) où x I. r f (x)=1 f r f(x)Justification :
VIII ANNEXE CHAPITRE 6
2M renf - JtJ 2019Exemple : Soit la fonction f définie sur IR
par f(x)=x 2 Déterminer la dérivée de sa réciproque r f a) À l'aide de la formule ci-dessus. b) À l'aide du calcul " traditionnel », comparer. Exercice A6.12 : Effectuer la même démarche pour les fonctions f définies par : a) f(x)=x 3 4 et r f(x)=4x 3 b) f(x)=mx (m0) et r f(x)=.......... Les règles de dérivation des fonctions trigo inverses: 15ème
règle : Si f(x)=sin 1 (x) f (x)=1 1x 2 16ème
règle : Si f(x)=cos 1 (x) f (x)=1 1x 2 17ème
règle : Si f(x)=tan 1 (x) f (x)=1 1+x 2FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES IX
2M renf - JtJ 2019Exercice A6.13: Voici la preuve de la 15
ème
règle ci-dessus qu'il s'agit de compléter :Posons f(x)=sin(x) et ainsi
r f(x)=........... r f (x) 1 =1 cos(..................) 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Limites des suites
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