Chapitre 4 - Limites et Asymptotes PDF

Limites et asymptotes

Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes. Sarah Dégallier Rochat. Références Notes du cours donné par M. Gelsomino (2005-2008) Gymnase de Burier.

Chapitre 2: Limites et Asymptotes

La vitesse instantanée est donc une limite. "Pente d'une courbe" en un point. On a vu en géométrie analytique comment calculer la pente d'une droite

3 Limites et asymptotes de fonctions - 3.1 Introduction

Page 3-1. 3 Limites et asymptotes de fonctions. 3.1 Introduction : approche intuitive des limites. • Soit la fonction ( ) = 1. ( ?1)2 et son graphe :.

Compléments sur les limites asymptotes et continuité - Lycée d

27 févr. 2017 2 Limite en l'infini des polynômes et fonctions rationnelles ... La droite ? d'équation y = ? est dite asymptote horizontale à Cf en +?.

Limites et Asymptotes

Une asymptote est une droite vers laquelle se rapproche une courbe jusqu'à l'infini. Il y a trois sortes d'asymptotes : verticales horizontales et obliques.

CHAPITRE 2 – Limites et asymptotes

Il ne peut y avoir au maximum que deux asymptotes horizontales ou obliques une en -? et une en. +?. d) Extension de la notion d'asymptote. Si lim x ?. f

LIMITES ET ASYMPTOTES BTS CGO A

LIMITES ET ASYMPTOTES. BTS CGO A. 1. Page 2. LIMITES ET ASYMPTOTES. BTS CGO A. 2. Page 3. LIMITES ET ASYMPTOTES. BTS CGO A. 3. Page 4. LIMITES ET ASYMPTOTES.

Limites de fonctions

[. ]= 0 . Technique : pour déterminer si le graphique d'une fonction f admet des asymptotes obliques on utilise souvent les formules de CAUCHY

Limites de fonctions et asymptotes

Chercher la limite de f x quand x tend vers +? c'est étudier le La droite d'équation: y=l est alors appelée asymptote horizontale à la courbe ...

GYMNASE DE BURIER

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Sarah D´egallier Rochat

R´ef´erences

H. Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002

Notes du cours donn´e par M. Gelsomino (2005-2008), Gymnase de Burier1. Valeurs interdites et asymptotes verticales

Exemple 1.1Etudier la fonctionf(x) =x3-2x2x-2.La fonction est rationnelle etED(f) =R\{2}. Calculons les z´eros

de cette fonction : x

3-2x2= 0?x2(x-2) = 0

Les solutions de cette ´equation sont 0 et 2, mais 2 n"est pas dans l"ensemble de d´efinition, le seul z´ero est donc 0. On fait le tableau de signes :x x

2x-2x-2f(x)-∞02+∞+0++

+0++GYMNASE DE BURIER2MSt1 xf(x) -39 -24 -11 00 11

2ind´efini

39
xy

1-11xf(x)

1.52.25

1.93.61 1.993.9601

2.0014.004001

2.56.25En r´esum´e, plus on s"approche de 2, plus la

fonction s"approche de 4.On le notera lim x→2x

3-2x2x-2= 4

On dit que la fonction admet un

trou en x= 2.Par calcul, on a lim x→2x

3-2x2x-2=

23-2·222-2= "

00 ind´etermin´e=lim x→2x

2(x-2)x-2= lim

x→2x2= 4GYMNASE DE BURIER2MSt2 La limite `a droite de la valeur interdite n"est pas toujours la mˆeme que celle `a gauche. On distingue donc les deux limites :1.limite ` agauche : lim x→2-x

3-2x2x-2= 42.limite ` adroite :

lim x→2+x

3-2x2x-2= 4Si les limites `a gauche et `a droite sont identiques, on note

simplementlim x→2x

3-2x2x-2= 4Exercice 1.1Calculer les limites suivantes :

1.limx→3(x2-5x+ 2)=3

2-5·3+ 2 =-42.lim

x→-1x2-1x+ 1=(-1)2-1-1+1= " 00 "=lim x→-1(x-1)(x+ 1)x+ 1= lim x→-1(x-1) = (-1-1) =-2?Trou en(-1,-2)3.lim x→-3x2+x-6x+ 3=(-3)2+ (-3)-6-3+3= " 00 "=lim x→-3(x-2)(x+ 3)x+ 3= lim x→-3(x-2) = (-3-2) =-5?Trou en(-3,-5)GYMNASE DE BURIER2MSt3

Exemple 1.2Etudier la fonctionf(x) =xx-3.1.ED(f) =R\{3}2.Z´eros :x= 0?Z(0;0)3.Ordonn´ee `a l"origine :f(0) = 0?H(0;0)4.Etude de signesx

x x-3f(x)-∞03+∞-0++ +0-+ xy 11 ↓↑Asymptote enx= 3Etudier le comportement de la fonctionf(x) =xx-3autour de 3.? f(2) =-2? f(2.5) =-5? f(2.9) =-29? f(2.99) =-299? f(4) =4 f(3.5) =7 f(3.1) =31 f(3.01) =301 lim x→3-x x-3=- ∞

Limite `a gauchelim

x→3+x x-3=∞

Limite `a droite

Par calcul :

lim x→3-x x-3= " 30
-"=-∞lim x→3+x x-3= " 30
+"=∞Pour trouver le signe de la limite, on peut s"aider du tableau de signes.On dit quef(x)admet uneasymptote verticale en x= 3.GYMNASE DE BURIER2MSt4 Synth`ese 1.1Lorsque l"on ´etudie le comportement d"une fonction

rationnelle enses valeurs interdites, deux cas sont possibles :1.le trou : la limite tend vers un nomb re.

2. l" asymptote : la limite tend vers ±∞.Graphiquement, xy

11Trou en (2,1)

11Asymptote enx= 3Exercice 1.2D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction

f(x) =x+ 4(x+ 4)(x-4). Calculer sa limite en-4+,0+et4+.

Indiquer les asymptotes et les trous le cas ´ech´eant.On observe queED(f) =R\{-4,4}.Calculons la limite en-4+:

lim x→-4+x+ 4(x+ 4)(x-4)= " 00 "= lim x→-4+x+ 4(x+ 4)(x-4)= lim x→-4+1(x-4)=-18

On a un trou en

-4;-18 .Calculons la limite en0+: lim x→0+x+ 4(x+ 4)(x-4)=

4-16=-14

C"est un point normal du graphe (0n"est pasune valeur interdite).Calculons la limite en4+: lim x→4+x+ 4(x+ 4)(x-4)= " 80
+"=∞On a une asymptote verticale d"´equationx= 4.GYMNASE DE BURIER2MSt5 Exercice 1.3Indiquer sur le graphe suivant les trous et les asymptotes de la fonction repr´esent´ee. En d´eduire une expression possible de la fonction.xy

11Trou(-1,98

)Trou(4,67 )Asymptotex=-3Asymptotex= 3Les trous et les asymptotes apparaissent aux valeurs in- terdites :

ED(f) =R\{-3,-1,3,4}De plus,-1et4´etant

des trous, ce sont aussi des

z´eros du num´erateur.On a doncf(x) =(x+ 1)(x-4)(x+ 1)(x-4)(x-3)(x+ 3)Exemple 1.3Etudier la fonctionf(x) =4-x2x

2+ 3x+ 2et esquisser

son graphe.On commence par factoriser la fonction : f(x) =4-x2x

2+ 3x+ 2=

(2-x)(2 +x)(x+ 2)(x+ 1)1.ED(f)=R\{-2;-1}2.Z´eros :2?Z(2;0)(-2/?ED(f))3.Ordonn´ee `a l"origine :f(0)=

42= 2?H(0;2)4.Etude de signesx

2-x2 +xx+ 2x+ 1f(x)-∞-2-12+∞+++0-

-0+++ -0+++ --0++ --+0-GYMNASE DE BURIER2MSt6 V´erifions le comportement de la fonction en ses valeurs interdites 1.lim x→-24-x2x

2+ 3x+ 2=

4-44-6 + 2= "

00 "=lim x→-2(2-x)(2 +x)(x+ 2)(x+ 1)=lim x→-22-xx+1= (2-(-2))((-2) + 1)=-4?Trou en (-2;-4)2.lim x→-14-x2x

2+ 3x+ 2=lim

x→-12-xx+ 1= " 30
"Limite `a gauche :lim x→-1-2-xx+ 1=

2-(-1-)-1-+1=

3+0 -=-∞ ↓Limite `a droite :lim x→-1+2-xx+ 1=

2-(-1+)-1++1=

3-0 += +∞ ↑?Asymptote verticale d"´equationx=-1xy 1-11

-1Z´ero(2;0)Ordonn´ee `a l"origine(0;2)Trou(-2;-4)↓↑AV d"´equationx=-1GYMNASE DE BURIER2MSt7

2. Comportement `a l"infini et asymptotes horizontales

Exemple 2.1Calculer la limite suivante

lim x→∞x

3+x2+ 2x-3 =lim

x→∞x 3? 1+1x +2x 2-3x

3?Remarque 1.1A l"infini, une fonction polynomiale se comporte

comme son terme de plus haut degr ´e .Exercice 2.1Calculer les limites suivantes 1.lim x→∞2x3-4x2-25x3-3x2+x=lim x→∞2x 35x
3=lim x→∞2 5= 25

Asymptote horizontale (AH) d"´equationy=25

2.lim x→∞4x4+ 77x5-12=lim x→∞4x 47x
5=lim x→∞4

7x=0AH d"´equationy= 03.lim

x→-∞x

5-3x+ 112x2+ 2=lim

x→-∞x 512x
2=lim x→-∞x

312=-∞Pas d"asymptote horizontale

Remarque 2.2Un fonction rationnellef(x) =N(x)D(x)a une asymptote horizontale en y=bsilim x→∞f(x) =b,b?R.Cette limite est la mˆeme `a droite et `a gauche.GYMNASE DE BURIER2MSt8 Exercice 2.1V´erifier si la fonction de l"Exercice 1.3 poss`ede une asymptote horizontale.On calcule la limitelim x→∞4-x2x

2+ 3x+ 2=lim

x→∞-x2x

2=-1La fonction poss`ede une asymptote horizontale eny=-1.xy

1-11 -1 ←y=-1On ´etudie la position relative de

la courbe :1.f(1000) =-0.997>-1?A droite en dessus2.f(-1000) =-1.003<-1?A gauche en dessous3. Comportement `a l"infini et asymptotes obliques

Soitf(x) =N(x)D(x)une fonction rationnelle. Dans le cas o`u la fonction n"a pasd"asymptote horizontale d"un cˆot´e ou d"un autre, elle peut avoir une asymptote obl ique(A O) .C"est le cas lorsque le degr´e deN(x)est ´egal audegr´e deD(x)+ 1.On trouve les

asymptotes oblique en effectuant la division euclidienne.Exemple 3.1Les fonctions suivantes admettent-elles une asymptote

oblique?

1.f(x) =x4+ 5x

2-1Degr´eN(x) =4 ?=2 + 1 = Degr´eD(x) + 1→pas d"AO.

2.f(x) =x3+ 2x2+ 1x

2+ 1Degr´eN(x) =3 = 2 + 1 = Degr´eD(x) + 1→AO!GYMNASE DE BURIER2MSt9

Exemple 3.2Calculer l"asymptote oblique qu"admet la fonction f(x) =x3+ 2x2+ 1x

2+ 1On fait la division euclidienne :

3+2x2+1x

2+ 1-x3-xx+ 2

02x2-x+10-2x2-200-x-1On peut donc ´ecrire

x3+ 2x2+ 1x

2+ 1=x+ 2 +-x-1x

2+ 1Il y a donc une asymptote oblique d"´equationy=x+ 2.4. Etudes de fonction avec asymptotes

R`egle des degr´esSoitf(x) =N(x)D(x)une fonction rationnelle. Soit de plus deg(N(x)) le degr´e du num´erateur et deg(D(x)) le degr´e du d´enominateur. Alors 1. Si deg( N(x))N(x)D(x). 4. Si deg( N(x))>deg(D(x))+1, la fonction n"admetpas d"asymptote .GYMNASE DE BURIER2MSt10

Plan d"´etude d"une fonction

a) ED( f), z´eros, ordonn´ee `a l"origine et signesb)Recherche des asymptotes i) Asym ptotesverticales ou trous aux valeurs interdites ii)

Asymptote ho rizontalelo rsquex→ ∞iii)Asymptote oblique lo rsquex→ ∞c)Hachurage des zones exclues de la fonction

Placement des asymptotes

e) Placements de p ointstrouv ´es(z ´eros,o rdonn´ee` al" origine) f)

Esquisse de la fonction

Remarque 4.1Contrairement aux asymptotes verticales qui sont infranchissables ", la courbe de la fonction p euttraverser les asymptotes horizontales et obliques .Exemple 4.1Etudier la fonctionf(x) =x3-1x

2-2x-3et esquisser

son graphe.On commence par factoriser la fonction : f(x) =x3-1x

2-2x-3=

(x-1)Δ=-3<0????

(x2+x+ 1)(x-3)(x+ 1)1.ED(f) =R\{-1;3}2.Z´ero :S={1}(x2+x+ 1pas plus factorisable)3.Ordonn´ee `a l"origine :f(0) =-1-3=13

.4.Tableau de signes :x x-1x

2+x+ 1x-3x+ 1f(x)-∞-113+∞--0++

-+0-+GYMNASE DE BURIER2MSt11 On v´erifie s"il y a des asymptotes verticales aux valeurs interdites : 1.lim x→3-x 3-1x

2-2x-3= "

260
-"=-∞?AV enx= 3`a gauche↓2.lim x→3+x 3-1x

2-2x-3= "

260
+"=∞?AV enx= 3`a droite↑3.lim x→-1-x 3-1x

2-2x-3= "

-20 +"=-∞?AV enx=-1`a gauche↓4.lim x→-1+x 3-1x

2-2x-3= "

-20

-"=∞?AV enx=-1`a droite↑Par la r`egle des degr´es, il n"y a pas d"asymptote horizontale, mais il

y a une asymptote oblique ( deg(N(x))=deg(D(x))+1) :x 3-1x

2-2x-3-x3+ 2x2+ 3xx+ 2

02x2+3x-10-2x2+4x+600 7x+5AO d"´equationy=x+ 2Position relative de la courbe :

1.f(1000) = 1002.007>y= 1000 + 2 = 1002?A droite au-dessus!2.f(-1000) =-998.006 xy
11AVx=-1Z´eroZ(1,0)Ordonn´ee `a l"origineH(0;13
)AVx= 3→ ←AOy=x+ 2↓↑ ↓↑GYMNASE DE BURIER2MSt13quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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GYMNASE DE BURIER

Chapitre 4 - Limites et Asymptotes

Sarah D´egallier Rochat

R´ef´erences

H. Bovet, "Analyse", Polymaths, 2002

3-2x2= 0?x2(x-2) = 0

2x-2x-2f(x)-∞02+∞+0++

2ind´efini

1-11xf(x)

1.52.25

1.93.61

1.993.9601

2.0014.004001

2.56.25En r´esum´e, plus on s"approche de 2, plus la

3-2x2x-2= 4

On dit que la fonction admet un

3-2x2x-2=

23-2·222-2= "

2(x-2)x-2= lim

3-2x2x-2= 42.limite ` adroite :

3-2x2x-2= 4Si les limites `a gauche et `a droite sont identiques, on note

3-2x2x-2= 4Exercice 1.1Calculer les limites suivantes :

1.limx→3(x2-5x+ 2)=3

2-5·3+ 2 =-42.lim

Limite `a gauchelim

Limite `a droite

Par calcul :

11Trou en (2,1)

11Asymptote enx= 3Exercice 1.2D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction

On a un trou en

4-16=-14

11Trou(-1,98

ED(f) =R\{-3,-1,3,4}De plus,-1et4´etant

2+ 3x+ 2et esquisser

2+ 3x+ 2=

42= 2?H(0;2)4.Etude de signesx

2-x2 +xx+ 2x+ 1f(x)-∞-2-12+∞+++0-

2+ 3x+ 2=

4-44-6 + 2= "

2+ 3x+ 2=lim

2-(-1-)-1-+1=

2-(-1+)-1++1=

2. Comportement `a l"infini et asymptotes horizontales

Exemple 2.1Calculer la limite suivante

3+x2+ 2x-3 =lim

3?Remarque 1.1A l"infini, une fonction polynomiale se comporte

Asymptote horizontale (AH) d"´equationy=25

7x=0AH d"´equationy= 03.lim

5-3x+ 112x2+ 2=lim

312=-∞Pas d"asymptote horizontale

2+ 3x+ 2=lim

2=-1La fonction poss`ede une asymptote horizontale eny=-1.xy

1.f(x) =x4+ 5x

2-1Degr´eN(x) =4 ?=2 + 1 = Degr´eD(x) + 1→pas d"AO.

2.f(x) =x3+ 2x2+ 1x

2+ 1Degr´eN(x) =3 = 2 + 1 = Degr´eD(x) + 1→AO!GYMNASE DE BURIER2MSt9

2+ 1On fait la division euclidienne :

3+2x2+1x

2+ 1-x3-xx+ 2

02x2-x+10-2x2-200-x-1On peut donc ´ecrire

2+ 1=x+ 2 +-x-1x

2+ 1Il y a donc une asymptote oblique d"´equationy=x+ 2.4. Etudes de fonction avec asymptotes

Plan d"´etude d"une fonction

Placement des asymptotes

Esquisse de la fonction

2-2x-3et esquisser

2-2x-3=

2+x+ 1x-3x+ 1f(x)-∞-113+∞--0++

2-2x-3= "

2-2x-3= "

2-2x-3= "

2-2x-3= "

2-2x-3-x3+ 2x2+ 3xx+ 2

02x2+3x-10-2x2+4x+600 7x+5AO d"´equationy=x+ 2Position relative de la courbe :

1.f(1000) = 1002.007>y= 1000 + 2 = 1002?A droite au-dessus!2.f(-1000) =-998.006 xy 11AVx=-1Z´eroZ(1,0)Ordonn´ee `a l"origineH(0;13 )AVx= 3→ ←AOy=x+ 2↓↑ ↓↑GYMNASE DE BURIER2MSt13quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

11AVx=-1Z´eroZ(1,0)Ordonn´ee `a l"origineH(0;13

1.f(1000) = 1002.007>y= 1000 + 2 = 1002?A droite au-dessus!2.f(-1000) =-998.006 xy
11AVx=-1Z´eroZ(1,0)Ordonn´ee `a l"origineH(0;13
)AVx= 3→ ←AOy=x+ 2↓↑ ↓↑GYMNASE DE BURIER2MSt13quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47