( ) ( ) Exercices avec solutions : LIMITE ET CONTINUITE
Prof/ATMANI NAJIB. Année Scolaire 2018-2019 Semestre1. 1. Exercices avec solutions : Limite et continuité. Exercices d'applications et de réflexions.
Limite continuité
dérivabilité
Limites et continuité des fonctions
Exercice 6 : [corrigé]. Soit f une fonction T périodique définie sur R possédant une limite finie en. +?. (Q
Cours danalyse 1 Licence 1er semestre
4.1 Limite et continuité . 7 Corrigé des exercices ... (limite d'une suite continuité d'une fonction) et de rappeler les définitions élémentaires de la.
LIMITES ET CONTINUITÉ
21 sept. 2015 3 Règles opératoires concernant les limites ... 9 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) ... Chapitre : Limites et continuité.
Terminale S Exercices limites et continuité 2011-2012 1 Exercice 1
Terminale S. Exercices limites et continuité. 2011-2012. 1. Exercice 1 : limite finie en l'infini. Soit f la fonction définie sur]0;+ ?[ par f(x) = 3 +.
livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques
fonctions : limite continuité
limites et continuité de fonctions
LIMITES ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS. Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako. Exercice 1: Calculer les limites suivantes :.
Limites. Continuité en un point
Correction ?. [005387]. Exercice 7 ****. Etudier l'existence d'une limite et la continuité éventuelle en chacun de ses points de la fonction définie sur.
Université de Marseille Licence de Mathématiques 1ere année
Analyse (limites continuité
Limites. Continuité en un point
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1***ISoitfune fonction réelle d"une variable réelle définie et continue sur un voisinage de+¥. On suppose que
la fonctionf(x+1)f(x)admet dansRune limite`quandxtend vers+¥. Etudier l"existence et la valeur eventuelle de lim x!+¥f(x)x =0. Montrer que lim x!0f(x)x =0. (Indication. Considérerg(x) =f(2x)f(x)x tout point deR. ]0;+¥[parf(x)=0 sixest irrationnel etf(x)=1p+qsixest rationnel égal àpq , la fractionpqétant irréductible.
parf(x) =xE(1x )six6=0 et 1 six=0. Exercice 9**Trouverfbijective de[0;1]sur lui-même et discontinue en chacun de ses points. +¥. Montrer quefest constante. Correction del"exer cice1 NIl existea>0 tel quefest définie et continue sur[a;+¥[.1er cas. Supposons que`est réel. Soite>0.
9A1>a=8X2[a;+¥[;(X>A1)`e2
On aX=xE(xA1)>x(xA1) =A1et doncn(`e2
)1A1+1x
=xA11x 6nx =E(xA1)x 6xA1x =1A1x et comme 1A1+1x et 1A1x tendent vers 1 quandxtend vers+¥, on en déduit quenx tend vers 1 quandxtend vers+¥. Puis, puisquefest continue sur le segment[A1;A1+1],fest bornée sur ce segment. Orn6xA1SoitA=Max(A1;A2;A3)etx>A. On a`e < `+e. On a montré que8e>0;(9A>a=8x> A; `e < `+eet donc limx!+¥=`. 2ème cas. Supposons`= +¥(si`=¥, remplacerfparf).
SoitB>0.9A1>a=8X>A1;f(X+1)f(X)>2B.
PourX>A1etn2N, on a :f(X+n)f(X) =ån1k=0(f(X+k+1)f(X+k))>2nB. Soientx>1+A1,n=E(xA1)etX=xn. On af(x)f(xn)>2nBet donc, f(x)x >f(xn)x +2nBx qui tend vers 2Bquandxtend vers+¥(démarche identique au 1er cas). Donc9A>A1>atel quex>A)f(xn)x
+2nBx >B. Finalement : (8B>0;9A>a=(8x>A;f(x)x
>Bet donc, limx!+¥f(x)x = +¥.Correction del"exer cice2 NPourx6=0, posonsg(x) =f(2x)f(x)x .fest définie sur un voisinage de 0 et donc il existea>0 tel que ]a;a[Df. Mais alors,]a2 ;a2 [nf0g Dg. Soitx2]a2
;a2 [nf0getn2N. f(x) =n1å k=0(f(x2 k)f(x2 k+1))+f(x2 n) =n1å k=0x2 k+1g(x2 k+1)+f(x2 n): Par suite, pourx2]a2
;a2 [nf0getn2N, on a : 3 f(x)x 6n1å
k=012 k+1g(x2 k+1)+f(x=2n)x Soite>0. Puisque par hypothèse,gtend vers 0 quandxtend vers 0, 9a2]0;a2
[=8X2]a;a[;jg(X)jOr, pourx2]a;a[nf0get pourkdansN,x2
kest dans]a;a[nf0get par suite, n1å k=012 k+1g(x2 k+1)6e2 n1å k=012 k+1=e2 12 112
n112 =e2 (112 n) +f(x=2n)x . On a ainsi montré que 8x2]a;a[nf0g;8n2N;f(x)x
6e2
+f(x=2n)x Mais, àxfixé,f(x=2n)x
tend vers 0 quandntend vers+¥. Donc, on peut choisirntel quef(x=2n)x 8e>0;9a>0=(8x2Df;0 généraux.Correction del"exer cice4 NSoit(x;y)2R2etz2A.jxzj6jxyj+jyzj. Or,forallz2A;jxzj>d(x;A)et doncd(x;A)jxyj est un minorant defjyzj;z2Ag. Par suite,d(x;A)jxyj6d(y;A). On a montré que 8(x;y)2R2;d(x;A)d(y;A)6jyxj:
En échangeant les roles dexety, on a aussi montré que8(x;y)2R2;d(y;A)d(x;A)6jyxj. Finalement,8(x;y)2R2;kf(y)f(x)j6jyxj. Ainsi,fest donc 1-Lipschitzienne et en particulier continue surR.Correction del"exer cice5 NSoitx02Rnf5g. Pourx6=5, jf(x)f(x0)j=3x1x53x01x 05 =14jxx0jjx5j:jx05j: Puis, pourx2]x0jx05j2
;x0+jx05j2 [, on ajx5j>jx05j2 [(>0), et donc, 8x2]x0jx05j2
;x0+jx05j2 [;jf(x)f(x0)j=28(x05)2jxx0j: Soiente>0 puisa=Minfjx05j2
;(x05)2e28 g(>0). jxx0j0;9a>0=(8x2Rnf5g;jxx0jRnf5g.Correction del"exer cice6 NSoitcla fonction caractéristique deQ. Soitx0un réel. On note que x 02Q, 8n2N;x0+1n
2QQ, 8n2N;x0+pn
=2Q: Donc, lim
n!+¥c(x0+1n )existe, limn!+¥c(x0+pn )existe etlimn!+¥c(x0+1n )6=limn!+¥c(x0+pn )(bien que lim n!+¥x0+1n =limn!+¥x0+pn =x0. Ainsi, pour tout réelx02R, la fonction caractéristique deQn"a pas de limite enx0et est donc discontinue enx0.Correction del"exer cice7 NSoitaun réel strcitement positif. On peut déjà noter que limx!a;x2RnQf(x) =0. Donc, sifa une limite quand
xtend versa, ce ne peut être que 0 etfest donc discontinue en tout rationnel strictement positif. adésigne toujours un réel strictement positif fixé. Soite>0. Soit x un réel strictement positif tel quef(x)>e. xest nécessairement rationnel, de la formepq oùpetqsont des entiers naturels non nuls premiers entre eux vérifiant 1p+q>eet donc
26p+q61e
Mais il n"y a qu"un nombre fini de couples d"entiers naturels non nuls(p;q)vérifiant ces inégalités et donc, il
n"y a qu"un nombre fini de réels strictement positifsxtels quef(x)>e. Par suite,9a>0 tel que aucun des réelsxde]x0a;x0+a[ne vérifief(x)>e. Donc, 8a>0;8e>0;9a>0=8x>0;(0 ou encore 8a>0;limx!a;x6=af(x) =0:
Ainsi,fest continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.Correction del"exer cice8 NDonnons tout d"abord une expression plus explicite def(x)pour chaque réelx.
Six>1, alors1x
2]0;1[et donc,f(x) =0.
Si9p2N=x2]1p+1;1p
];f(x) =px. f(0) =1 (et plus généralement,8p2Z;f(1p ) =1). Six61, alors1x
2[1;0[et donc,f(x) =x.
Enfin, si9p2Znf1gtel quex2]1p+1;1p
], alors1p+1Etude en 0.8x2R;1x
A; `e < `+eet donc limx!+¥=`. 2ème cas. Supposons`= +¥(si`=¥, remplacerfparf).
SoitB>0.9A1>a=8X>A1;f(X+1)f(X)>2B.
PourX>A1etn2N, on a :f(X+n)f(X) =ån1k=0(f(X+k+1)f(X+k))>2nB. Soientx>1+A1,n=E(xA1)etX=xn. On af(x)f(xn)>2nBet donc, f(x)x >f(xn)x +2nBx qui tend vers 2Bquandxtend vers+¥(démarche identique au 1er cas). Donc9A>A1>atel quex>A)f(xn)x
+2nBx >B. Finalement : (8B>0;9A>a=(8x>A;f(x)x
>Bet donc, limx!+¥f(x)x = +¥.Correction del"exer cice2 NPourx6=0, posonsg(x) =f(2x)f(x)x .fest définie sur un voisinage de 0 et donc il existea>0 tel que ]a;a[Df. Mais alors,]a2 ;a2 [nf0g Dg. Soitx2]a2
;a2 [nf0getn2N. f(x) =n1å k=0(f(x2 k)f(x2 k+1))+f(x2 n) =n1å k=0x2 k+1g(x2 k+1)+f(x2 n): Par suite, pourx2]a2
;a2 [nf0getn2N, on a : 3 f(x)x 6n1å
k=012 k+1g(x2 k+1)+f(x=2n)x Soite>0. Puisque par hypothèse,gtend vers 0 quandxtend vers 0, 9a2]0;a2
[=8X2]a;a[;jg(X)jOr, pourx2]a;a[nf0get pourkdansN,x2
kest dans]a;a[nf0get par suite, n1å k=012 k+1g(x2 k+1)6e2 n1å k=012 k+1=e2 12 1122ème cas. Supposons`= +¥(si`=¥, remplacerfparf).
SoitB>0.9A1>a=8X>A1;f(X+1)f(X)>2B.
PourX>A1etn2N, on a :f(X+n)f(X) =ån1k=0(f(X+k+1)f(X+k))>2nB. Soientx>1+A1,n=E(xA1)etX=xn. On af(x)f(xn)>2nBet donc, f(x)x >f(xn)x +2nBx qui tend vers 2Bquandxtend vers+¥(démarche identique au 1er cas).Donc9A>A1>atel quex>A)f(xn)x
+2nBx >B.Finalement : (8B>0;9A>a=(8x>A;f(x)x
>Bet donc, limx!+¥f(x)x = +¥.Correction del"exer cice2 NPourx6=0, posonsg(x) =f(2x)f(x)x .fest définie sur un voisinage de 0 et donc il existea>0 tel que ]a;a[Df. Mais alors,]a2 ;a2 [nf0g Dg.Soitx2]a2
;a2 [nf0getn2N. f(x) =n1å k=0(f(x2 k)f(x2 k+1))+f(x2 n) =n1å k=0x2 k+1g(x2 k+1)+f(x2 n):Par suite, pourx2]a2
;a2 [nf0getn2N, on a : 3 f(x)x6n1å
k=012 k+1g(x2 k+1)+f(x=2n)x Soite>0. Puisque par hypothèse,gtend vers 0 quandxtend vers 0,9a2]0;a2
[=8X2]a;a[;jg(X)jn112 =e2 (112 n)
8x2]a;a[nf0g;8n2N;f(x)x
6e2+f(x=2n)x
Mais, àxfixé,f(x=2n)x
tend vers 0 quandntend vers+¥. Donc, on peut choisirntel quef(x=2n)x8(x;y)2R2;d(x;A)d(y;A)6jyxj:
En échangeant les roles dexety, on a aussi montré que8(x;y)2R2;d(y;A)d(x;A)6jyxj. Finalement,8(x;y)2R2;kf(y)f(x)j6jyxj. Ainsi,fest donc 1-Lipschitzienne et en particulier continue surR.Correction del"exer cice5 NSoitx02Rnf5g. Pourx6=5, jf(x)f(x0)j=3x1x53x01x 05 =14jxx0jjx5j:jx05j:Puis, pourx2]x0jx05j2
;x0+jx05j2 [, on ajx5j>jx05j2 [(>0), et donc,8x2]x0jx05j2
;x0+jx05j2 [;jf(x)f(x0)j=28(x05)2jxx0j:Soiente>0 puisa=Minfjx05j2
;(x05)2e28 g(>0). jxx0j0;9a>0=(8x2Rnf5g;jxx0jRnf5g.Correction del"exer cice6 NSoitcla fonction caractéristique deQ. Soitx0un réel. On note que x02Q, 8n2N;x0+1n
2QQ, 8n2N;x0+pn
=2Q:Donc, lim
n!+¥c(x0+1n )existe, limn!+¥c(x0+pn )existe etlimn!+¥c(x0+1n )6=limn!+¥c(x0+pn )(bien que lim n!+¥x0+1n =limn!+¥x0+pn =x0. Ainsi, pour tout réelx02R, la fonction caractéristique deQn"apas de limite enx0et est donc discontinue enx0.Correction del"exer cice7 NSoitaun réel strcitement positif. On peut déjà noter que limx!a;x2RnQf(x) =0. Donc, sifa une limite quand
xtend versa, ce ne peut être que 0 etfest donc discontinue en tout rationnel strictement positif. adésigne toujours un réel strictement positif fixé. Soite>0. Soit x un réel strictement positif tel quef(x)>e. xest nécessairement rationnel, de la formepq oùpetqsont des entiers naturels non nuls premiers entre eux vérifiant1p+q>eet donc
26p+q61e
Mais il n"y a qu"un nombre fini de couples d"entiers naturels non nuls(p;q)vérifiant ces inégalités et donc, il
n"y a qu"un nombre fini de réels strictement positifsxtels quef(x)>e. Par suite,9a>0 tel que aucun des réelsxde]x0a;x0+a[ne vérifief(x)>e. Donc,8a>0;8e>0;9a>0=8x>0;(0 ou encore 8a>0;limx!a;x6=af(x) =0:
Ainsi,fest continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.Correction del"exer cice8 NDonnons tout d"abord une expression plus explicite def(x)pour chaque réelx.
Six>1, alors1x
2]0;1[et donc,f(x) =0.
Si9p2N=x2]1p+1;1p
];f(x) =px. f(0) =1 (et plus généralement,8p2Z;f(1p ) =1). Six61, alors1x
2[1;0[et donc,f(x) =x.
Enfin, si9p2Znf1gtel quex2]1p+1;1p
], alors1p+1Etude en 0.8x2R;1x
8a>0;limx!a;x6=af(x) =0:
Ainsi,fest continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.Correction del"exer cice8 NDonnons tout d"abord une expression plus explicite def(x)pour chaque réelx.
Six>1, alors1x
2]0;1[et donc,f(x) =0.
Si9p2N=x2]1p+1;1p
];f(x) =px. f(0) =1 (et plus généralement,8p2Z;f(1p ) =1).Six61, alors1x
2[1;0[et donc,f(x) =x.
Enfin, si9p2Znf1gtel quex2]1p+1;1p
], alors1p+11 )61x et donc 1x0 et 16f(x)<1xsix<0. Par suite, 8x2R;jf(x)16jxj;
et lim x!0f(x) =1.fest donc continue en 0. fest affine sur chaque intervalle de la forme]1p+1;1p ]pourpélément deZnf1;0get donc est continue sur ces intervalles et en particulier continue à gauche en chaque 1p .fest affine sur]¥;1]et aussi sur]1;+¥[ et est donc continue sur ces intervalles. Il reste donc à analyser la continuité à droite en
1p , pourpentier relatif non nul donné. Mais, 5 f(1p ) =lim x!1p ;x>1p (x(p1)) =11p 6=1=f(1p
fest donc discontinue à droite en tout1p oùpest un entier relatif non nul donné. Graphe def:1-1-2
1 ?Correction del"exer cice9 NSoitf(x) =8 :xsix2(Q\[0;1])nf0;12 g 1xsix2(RnQ)\[0;1]
0 six=12
et12 six=0.fest bien une application définie sur[0;1]à valeurs dans[0;1]. De plus, six2(Q\[0;1])nf0;12
g, alorsf(f(x)) =f(x) =x. Six2(RnQ)\[0;1], alors 1x2(RnQ)\[0;1]et doncf(f(x)) =f(1x) =1(1x) =x. Enfin,f(f(0)) =f(12
) =0 etf(f(12 )) =f(0) =12 Finalement,ff=Id[0;1]etf, étant une involution de[0;1], est une permutation de[0;1]. Soitaun réel de[0;1]. On note que limx!a;x2(RnQ)f(x)=1aet limx!a;x2Qf(x)=a. Donc, sifa une limitequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
8x2R;jf(x)16jxj;
et lim x!0f(x) =1.fest donc continue en 0. fest affine sur chaque intervalle de la forme]1p+1;1p ]pourpélément deZnf1;0get donc est continue sur ces intervalles et en particulier continue à gauche en chaque 1p .fest affine sur]¥;1]et aussi sur]1;+¥[et est donc continue sur ces intervalles. Il reste donc à analyser la continuité à droite en
1p , pourpentier relatif non nul donné. Mais, 5 f(1p ) =lim x!1p ;x>1p (x(p1)) =11p6=1=f(1p
fest donc discontinue à droite en tout1p oùpest un entier relatif non nul donné.Graphe def:1-1-2
1 ?Correction del"exer cice9 NSoitf(x) =8 :xsix2(Q\[0;1])nf0;12 g1xsix2(RnQ)\[0;1]
0 six=12
et12 six=0.fest bien une application définie sur[0;1]à valeurs dans[0;1].De plus, six2(Q\[0;1])nf0;12
g, alorsf(f(x)) =f(x) =x. Six2(RnQ)\[0;1], alors 1x2(RnQ)\[0;1]et doncf(f(x)) =f(1x) =1(1x) =x.Enfin,f(f(0)) =f(12
) =0 etf(f(12 )) =f(0) =12 Finalement,ff=Id[0;1]etf, étant une involution de[0;1], est une permutation de[0;1]. Soitaun réel de[0;1]. On note que limx!a;x2(RnQ)f(x)=1aet limx!a;x2Qf(x)=a. Donc, sifa une limitequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] Limites et étude de fonctions
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