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Chapitre IV

Etude locale d"une fonctionA Fonctions

´equivalentesA.1 D

´efinitionOn consid`ere deux fonctionsfetgd´efinies sur un intervalleIdeRet `a valeurs dansRet on notea

un point deIou du bord de I,a´etant ´eventuellement infini. On suppose en outre queg(x)?= 0 pourx "proche»dea.A.1.1 D´efinition

On dit quefetgsont´equivalentesenaet on notef≂agouf(x)≂ag(x) si :f(x)g(x)---→x→a1.A.1.2 Exemples?On a sinx≂0tanxpuisquesinxtanx= cosx---→x→01.?On a sinx≂0xpuisquesinxx

=sinx-sin0x-0---→x→0sin?(0) = cos(0) = 1.?On ax-2x2≂0xpuisquex-2x2x = 1-2x---→x→01.?On ax-3x3+ 2x6≂+∞2x6puisquex-3x3+ 2x62x6= ?12x5-32x3+ 1?

---→x→01.Plus g´en´eralement, un polynˆome est ´equivalent en 0 `a son terme de plus bas degr´e et est ´equivalent en

+∞`a son terme de plus haut degr´e.

A.1.3 Remarques?Sif

≂agalorsg≂af.?Sif≂agetg≂ahalorsf≂ah.?Sif≂agalors, au voisinage dea, les fonctionsfetgont le mˆeme signe.

48Chapitre IV-´Etude locale d"une fonctionA.2 Op

´erations sur les´equivalentsA.2.1 Proposition

(a)Sif≂agetg(x)---→x→a?alors :f(x)---→x→a?.(b)Sif(x)---→x→a??= 0 alors :f≂a?.(c)Sif1≂af2etg1≂ag2alors :f1g1≂af2g2etf1g

1≂af

2g

2.(d)Sif≂aget siα?Ralors :fα≂agα.A.2.2 Exemple

On axsin3x≂0x4.En effet, sinx≂0xd"o`u sin3x≂0x3puisxsin3x≂0x4.?En revancheon ne peut pas additionner les ´equivalents.

Par exemple, sif(x) =x2+xetg(x) =-x2alorsf(x)≂+∞x2etg(x)≂+∞-x2maisf(x) +g(x)≂+∞x.

?Il n"y a pas non plus de r´esultat sur l"´el´evation `a une puissance d´ependant d"une fonction.

Par exemple, sif(x) =x2+xalorsf(x)≂+∞x2maisef(x)?≂ex2; en effet, on aef(x)e x2=ex?→1.A.3 Exemples classiques

On a vu plus haut les ´equivalents suivants :

sinx≂0xettanx≂0x.On a sin ?x2 ?≂0x2 puisquesin?x2 ?x =sin?x2 ?-sin(0)x-0---→x→0? sin?x2 x=0=12 sin?(0) =12 . On d´eduit que sin 2?x2 ?≂0x 24
puis cosx-1 =-2sin2?x2 ?≂0-2x24 i.e.1-cosx≂0x 22
.On a ´egalement ex-1x =ex-e0x-0---→x→0exp?(0) =e0= 1 d"o`ue x-1≂0x.Toujours en utilisant la d´eriv´ee, on a ln(1 +x)x =ln(1 +x)-ln(1)x-0---→x→0ln?(1) = 1 d"o`uln(1 +x)≂0x.

A- Fonctions´equivalentes49

On a (1 +x)α-1αx =1α (1 +x)α-1x-0---→x→01α (1 +x)α?? x=0=1α

α(1 +x)α-1??

x=0= 1 d"o`u(1 +x)α-1≂0αx.A.4 Application au calcul de limites

L"id´ee est que dans un calcul de limites ne faisant intervenir que des produits et des quotients, on peut

remplacer chaque fonction par une fonction ´equivalente.A.4.1 Exemples ?On a lim x→0sin

2xln(1 +x)xtan(x)= 0.En effet sin(x)≂0x, ln(1 +x)≂0xet tanx≂0xd"o`u

lim x→0sin

2xln(1 +x)xtan(x)= limx→0x

2×xx×x= limx→0x= 0.?On a lim

x→1?

21-x2-31-x3?

=-12 .En effet en posantu=x-1 on obtient lim x→1?

21-x2-31-x3?

= limu→0?

21-(u+ 1)2-31-(u+ 1)3?

= lim u→0?

2-u2-2u-3-u3-3u2-3u?

= lim

u→0-2u2-3uu(u+ 2)(u2+ 3u+ 3)or-2u2-3u≂0-3uetu(u+ 2)(u2+ 3u+ 3)≂06udonc la limite est limu→0-3u6u=-12

50Chapitre IV-´Etude locale d"une fonctionB D

´eveloppements limit´esB.1 D

´efinitions?D´efinition d"un d´eveloppement limit´eSoitIun intervalle deR,x0un ´el´ement deIetfune fonction d´efinie surIsauf ´eventuellement enx0.B.1.1 D´efinition

On dit quefadmet und´eveloppement limit´e `a l"ordrenenx0s"il existe des coefficients a

0,a1,a2...,an?Ret une fonctionε:I→Rtels que

f(x) =a0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+···+an(x-x0)n+ (x-x0)nε(x) avecε(x)---→x→x00.On dit que l"expressiona0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+···+an(x-x0)nest lapartie r´eguli`eredu

d´eveloppement limit´e et que le terme (x-x0)nε(x) en est lereste.En abr´eg´e, on noteraDLn(x0) pour signifier"d´eveloppement limit´e `a l"ordrenenx0».B.1.2 Exemples

?Posonsf(x) =11-xpourx?]1,+∞[.Il est tr`es facile de v´erifier que, pour toutn?N, on a

1 +x+x2+···+xn=1-xn+11-x=f(x)-xn+11-xi.e.on a

f(x) = 1 +x+x2+···+xn+xnε(x) o`uε(x) =x1-x.De plus, on a 1-x≂01 doncε(x)---→x→00.L"expression ci-dessus est donc bien un d´eveloppement limit´e `a l"ordrendefen 0.Il convient donc de retenir que

1

1-x= 1 +x+x2+···+xn+xnε(x) avecε(x)---→x→00.?De mˆeme, pour toutn?N, on a

11 +x= 1-x+x2-x3+···+ (-1)nxn+xnε(x) avecε(x)---→x→00.?Consid´erons une fonction polynomialePde degr´edi.e.on a

P(x) =a0+a1x+···+adxdo`ua0,a1,...,ad?R.Sin?dalors le d´eveloppement limit´e deP`a l"ordrenen 0 est

P(x) =a0+a1x+···+adxd+xnε(x)o`uεest la fonction nulle.

B- D´eveloppements limit´es51

B.1.3 Notation

Au lieu de l"´ecriture avec la fonctionε, on peut aussi noter de fa¸con plus concise f(x) =a0+a1(x-x0) +a2(x-x0)2+···+an(x-x0)n+o?(x-x0)n?. Le termeo?(x-x0)n?se lit"petit o dexmoinsx0`a la puissancen».

Il est conseill´e de n"utiliser la notation"...=...+o(...)»que pour r´esumer un r´esultat et d"´eviter de la

manipuler dans des calculs car des"petits o»ne s"additionnent pas! Il ne s"agit que d"une notation.

B.1.4 Remarque

En posantu=x-x0, on ax→x0si et seulement siu→0. Dans tout ce qui suit, l"´etude sera donc

faite pour le cas des d´eveloppements limit´es en 0 mais le cas g´en´eral d"un d´eveloppement limit´e enx0

s"en d´eduit par ce changement de variable.?Propri´et´es de la partie r´eguli`ereB.1.5 Proposition

Sifadmet un d´eveloppement limit´e enx0alorsf(x) est ´equivalent enx0au premier terme non nulde la partie r´eguli`ere.

Ainsi, si on a

f(x) =ak(x-x0)k+ak+1(x-x0)k+1+···+ak+?(x-x0)k+?+ (x-x0)k+?ε(x) avecε(x)---→x→x00

o`uak?= 0 alors on af(x)≂x0ak(x-x0)k.B.1.6 Proposition

Sifadmet unDLn(0) alorsfadmet unDLk(0), pour toutk?n, obtenu en tronquant la partier´eguli`ere duDLn(0).B.1.7 Proposition

Sifadmet unDLn(0) alors la partie r´eguli`ere est unique.En effet, ´ecrivons ?f(x) =a0+a1x+···+anxn+xnε1(x) avecε1(x)---→x→00 f(x) =b0+b1x+···+bnxn+xnε2(x) avecε2(x)---→x→00 alors en faisant la diff´erence, on obtient (a0-b0) + (a1-b1)x+···+ (an-bn)xn=xn?ε2(x)-ε1(x)? d"o`ua0=b0en prenant la limite en 0. En divisant ensuite parxpuis en consid´erant de nouveau la limite en 0, il vient alorsa1=b1. De proche en proche, on obtientak=bkpour toutkentre 0 etn.

52Chapitre IV-´Etude locale d"une fonctionB.1.8 Remarque

Une cons´equence importante de ce r´esultat est que si une fonctionfest paire et admet unDLn(0) alors

les termes de la partie r´eguli`ere sont tous pairsi.e.le d´eveloppement limit´e est de la forme

f(x) =a0+a2x2+a4x4+···+a2px2p+x2p+1ε(x) avecε(x)---→x→00.

De mˆeme, sifest impaire et admet unDLn(0) alors les termes de la partie r´eguli`ere sont tous impairs

i.e.le d´eveloppement limit´e est de la forme

f(x) =a1x+a3x3+a5x5+···+a2p+1x2p+1+x2p+2ε(x) avecε(x)---→x→00.?D´eveloppements asymptotiquesB.1.9 D´efinition

Soitfd´efinie sur un intervalle du type [a,+∞[. On dit quefadmet und´eveloppement asymptotique`a l"ordrenen+∞s"il existe des coefficientsa0,a1,a2...,an?Ret une fonctionε: [a,+∞[→Rtels que

f(x) =a0+a1x +a2x

2+···+anx

n+1x

nε(x) avecε(x)----→x→+∞0.On parlera encore de d´eveloppement asymptotique `a l"ordrenen +∞si, `a la place du coefficienta0, on

a un polynˆome enx.

B.1.10 Remarques?Pour obtenir un tel d´eveloppement, il suffit de faire le changement de variableu=1x

pour se ramener

`a un d´eveloppement limit´e en 0i.e.on cherche unDLn(0) de la fonctiongd´efinie parg(u) =f?1u

?.?On d´efinit de fa¸con analogue la notion ded´eveloppement asymptotique en-∞.B.1.11 Exemple

On cherche le d´eveloppement asymptotique def(x) =?x+ 1x .On verra plus loin que leDL2(0) de⎷1 +uest ⎷1 +u= 1 +12 u-18 u2+u2ε(u) avecε(u)---→u→00.On en d´eduit que f(x) =?x+ 1x =?1 + 1x = 1 +12x-18x2+1x

2ε?1x

avecε?1x ----→x→+∞0.

B- D´eveloppements limit´es53

B.2 Obtention des exemples de r

´ef´erenceB.2.1 Th´eor`eme (formule de MacLaurin) Sifadmet une d´eriv´ee `a l"ordrenen 0 alors on a pourxproche dea: f(x) =f(0) +xf?(0) +x22!

f??(0) +···+xnn!f(n)(0) +xnε(x) avecε(x)---→x→00.Pour la plupart des fonctions usuelles qui vont suivre, il est facile de connaˆıtre l"expression des d´eriv´ees

successives en 0. On obtient donc facilement :e x= 1 +x+x22 +···+xnn!+xnε(x) avecε(x)---→x→00cos(x) = 1-x22 +x44! +···+ (-1)px2p(2p)!+x2pε(x) avecε(x)---→x→00sin(x) =x-x33! +x55!

+···+ (-1)px2p+1(2p+ 1)!+x2p+1ε(x) avecε(x)---→x→00(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2

x2+···+α(α-1)···(α-n+ 1)n!xn+xnε(x) avecε(x)---→x→00B.2.2 Remarques

?En ne consid´erant que les termes d"indice pair ou les termes d"indice impair dans leDLn(0) de l"exponentielle, on obtient ´egalement : ch(x) = 1 +x22 +x44! +···+x2p(2p)!+x2pε(x) avecε(x)---→x→00 et sh(x) =x+x33! +x55!

+···+x2p+1(2p+ 1)!+x2p+1ε(x) avecε(x)---→x→00.?LeDLn(0) de (1 +x)αdonne par exemple pourα=12

⎷1 +x= 1 +x2 -x28 +x2ε(x) avecε(x)---→x→00.B.3 Op ´erations sur les d´eveloppements limit´esB.3.1 Proposition (combinaison lin´eaire)

Sifetgadmettent desDLn(0) de parties r´eguli`eresF(x) etG(x) et siλ,μ?Ralorsλf+μgadmetunDLn(0) dont la partie r´eguli`ere estλF(x) +μG(x).

54Chapitre IV-´Etude locale d"une fonctionB.3.2 Exemple

Cherchons leDL6(0) def(x) = sh(x)-sin(x).On commence par ´ecrire leDL6(0) de sh(x) et celui de sin(x) :

sh(x) =x+x33! +x55! +x6ε1(x) avecε1(x)---→x→00 sin(x) =x-x33! +x55! +x6ε2(x) avecε2(x)---→x→00.D"o`u sh(x)-sin(x) = 2x33! +x6?ε1(x)-ε2(x)?i.e.on posantε(x) =ε1(x)-ε2(x) f(x) = sh(x)-sin(x) =x33 +x6ε(x) avecε(x)---→x→00.B.3.3 Proposition (d´erivation) On suppose quefadmet une d´eriv´eeneen 0 et leDLn(0) suivant

f(x) =a0+a1x+a2x2+···+anxn+xnε(x) avecε(x)---→x→00.Alorsf?admet unDLn-1(0) qui est donn´e par

f ?(x) =a1+ 2a2x+···+nanxn-1+xn-1η(x) avecη(x)---→x→00.B.3.4 Exemple

LeDLn+1(0) dex?→11-xest

11-x= 1 +x+x2+···+xn+1+xn+1ε1(x) avecε1(x)---→x→00donc leDLn(0) dex?→1(1-x)2est

1(1-x)2= 1 + 2x+ 3x2+···+ (n+ 1)xn+xnε2(x) avecε2(x)---→x→00.B.3.5 Proposition (int´egration)

On suppose quefest une fonction d´erivable dont la d´eriv´eef?admet leDLn(0) suivant f

?(x) =a0+a1x+a2x2+···+anxn+xnε(x) avecε(x)---→x→00.Alorsfadmet unDLn+1(0) qui est donn´e par

f(x) =f(0) +a0x+a12 x2+a23

x3+···+ann+ 1xn+1+xn+1η(x) avecη(x)---→x→00.?Il ne faut pas oublier le terme constantf(0) quand on int`egre.

B- D´eveloppements limit´es55

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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