[PDF] FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)





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Fiche technique sur les limites

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0. En + ? lim x?+? ln(x) x. = 



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0



formulaire.pdf

lim x??? ex = 0 lim x?+? ex = +? lim x?0 ln(x) = ?? lim lim x?+? ln(x)/xn = 0. Dérivées. Fonctions usuelles Fonctions usuelles.



Développements limités usuels

Développements limités usuels. Les développements limités ci-dessous sont valables quand x tend vers 0 et uniquement dans ce cas. ln(1 + x) =.



FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)

4) Limites aux bornes. Propriétés : lim. ? ln = +? et lim. ?! ln = ??. On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :.



La fonction logarithme népérien

3 déc. 2014 Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0; +?[ et (ln x)? = 1 x . 3.2 Limite en 0 et en l'infini. Théorème 6 : On a les limites ...



Formule de Taylor développements limités

http://www.gm.univ-montp2.fr/spip/IMG/pdf/mathsTD4.pdf



FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

Lycée Blaise Pascal. TSI 1 année. FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS. Limites usuelles lnx x. ?????? x?+?. 0 x lnx ?????? x?0+. 0 ln(x).



Les Développements Limités

La fonction ln(x) n'admet pas de DL en 0 car lim x?0 ln(x) = ??. (4) Si f admet un DL à l'ordre n en x0



Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

à l'ordre 3 mais comme dans l'exercice précédent il va y avoir une simplification par « » donc on va faire un développement limité de ln(1 + ) à l'ordre 4 

1

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

- Chapitre 2/2 Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg Partie 1 : Étude de la fonction logarithme népérien

1) Continuité et dérivabilité

Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI

Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur

0;+∞

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

et ln()

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/wmysrEq4XIg

Rappel : /

En posant :

=ln(), on a : / =(ln())′

Or /

=1.

Donc : (ln())′

=1

Soit : (ln())′=

Méthode : Calculer une dérivée contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/yiQ4Z5FdFQ8

Dériver la fonction définie sur

0;+∞

par : ln() 2

Correction

ln()

Avec :

ln() =2× 1

×ln()

=1 2×

×ln()×-

ln() ×1

2ln()-

ln() ln()×(2-ln 2

2) Variations

Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel >0,

ln() >0

3) Convexité

Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel >0,

ln() ln() <0 Donc la fonction logarithme népérien est concave.

4) Limites aux bornes

Propriétés : lim

ln()=-∞ et lim ln()=+∞ On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :

0 +∞

ln() ln()

5) Tangentes en 1 et en

Rappel : Une équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse est de la forme :

Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : 1 +ln(). Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est = 1 1 -1 +ln(1) soit : =-1. Au point d'abscisse , l'équation de la tangente est = 1 +ln() soit : 1 3

6) Courbe représentative

Valeurs particulières : ln(1)=0, ln()=1

Partie 2 : Croissance comparée des fonctions logarithme et puissances

Propriétés (croissances comparées) :

a) lim ln() =0 et pour tout entier naturel non nul , lim ln() =0 b) lim ln()=0 et pour tout entier naturel , lim 0 ln()=0 Démonstration du b. dans les cas où =1 (au programme) :

Vidéo https://youtu.be/LxgQBYTaRaw

En posant =ln(), on a : =

1 Or, si tend vers 0, alors =ln() tend vers -∞.

Donc : lim

ln()=lim

1→2/

1 ×=0 par croissance comparée de la fonction exponentielle et des fonctions puissances. Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la fonction logarithme népérien. 4 Méthode : Déterminer une limite par croissance comparée

Vidéo https://youtu.be/lA3W_j4p-c8

Vidéo https://youtu.be/OYcsChr8src

)lim -ln())lim ln() -1 )lim 1 +1)ln()

Correction

a) Il s'agit d'une forme indéterminée de type "".

Levons l'indétermination :

-ln()=1- ln() F

Par croissance comparée : lim

ln() =0,

Donc : lim

1- ln() =1.

Et donc, comme limite d'un produit : lim

G1- ln()

H=+∞

Soit : lim

-ln()=+∞. b) Il s'agit d'une forme indéterminée de type "".

Levons l'indétermination :

ln() -1 #2+ 1- I lim ln =0,parcroissancecomparée. lim 1- 1 =1

Donc, comme limite d'un quotient : lim

ln() 1- 1 0 1 =0

Soit : lim

ln() -1 =0. 1 +1)ln() 1 ln()+ln() S lim ln =0,parcroissancecomparée lim ln

Donc, comme limite d'une somme : lim

ln +ln()=-∞ Et donc, comme limite d'un quotient (inverse) : lim 1 2 ln()+ln() =0 5

Soit : lim

1 2 +1)ln() =0

Partie 3 : Études de fonctions

1) Cas de fonctions contenant la fonction ⟼ln()

Méthode : Étudier les variations d'une fonction contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y

a) Déterminer les variations de la fonction définie sur

0;+∞

par =3-+2ln() b) Étudier la convexité de la fonction .

Correction

=-1+ 2

2-

Comme >0,

est du signe de 2-. La dérivée ′ est donc positive sur 0;2 et négative sur

2;+∞

On dresse le tableau de variations :

2 =3-2+2ln(2)=1+2ln(2) -1×-

2-

×1 --2+ -2 <0 On en déduit que la fonction est concave sur

0;+∞

Méthode : Étudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite d'équation =

Vidéo https://youtu.be/0hQnOs_hcss

Étudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite d'équation

0 2 +∞

+ 0 -

1+2ln(2)

6

Correction

On considère la fonction définie sur

0;+∞

par =-ln(). =1- 1 -1

Comme >0,

est du signe de -1. La dérivée ′ est donc négative sur 0;1 et positive sur

1;+∞

On dresse ainsi le tableau de variations :

1 =1-ln(1)=1

On en déduit que pour tout de

0;+∞

, on a =-ln()≥1>0 soit >ln(). La fonction logarithme est située en dessous de la droite d'équation =.

2) Cas de fonctions contenant la fonction composée ⟼ln(

Fonction Dérivée

ln()

Démonstration :

On pose :

=ln(), donc : ln() 1

Donc :

ln( , selon la dérivée d'une fonction composée. 1 Méthode : Dériver des fonctions du type ln()

Vidéo https://youtu.be/-zrhBc9xdRs

Dériver la fonction définie sur

0;2 par =ln

2-

Correction

=ln

2-

=ln(

0 1 +∞

- 0 + 1 7

Avec :

=2- =2-2

2-2

2-

Méthode : Étudier une fonction du type ln()

Vidéo https://youtu.be/s9vyHsZoV-4

Vidéo https://youtu.be/3eI4-JRKYVo

Vidéo https://youtu.be/CyOC-E7MnUw

On considère la fonction définie sur

-2;1 par : =ln +2

1-

F a) Calculer les limites de aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les

équations des asymptotes à la courbe.

b) Déterminer le sens de variations de la fonction . c) Tracer la courbe représentative de .

Correction

a) lim #→2* X lim #→2* +2=0 lim #→2*

1-=3

Donc, comme limite d'un quotient : lim

#→2* +2

1-

=0 Et donc, comme limite d'une fonction composée : lim #→2* ln +2

1-

F=-∞

En effet, si →-2, on a : =

+2

1-

→0 et donc : lim

1→-

ln()=-∞. lim S lim +2=3 lim

1-=0

,car<1

Donc, comme limite d'un quotient : lim

+2

1-

Et donc, comme limite d'une fonction composée : lim ln +2

1-

F=+∞

En effet, si →1, on a : =

+2

1-

→+∞ et donc : lim

1→./

ln()=+∞. La courbe de fonction admet deux asymptotes verticales d'équations : =-2 et =1. 8 b) =lnG +2

1-

H=ln(

), avec +2

1-

1×

1-

-(+2)×(-1)

1-

1-++2

1-

3

1-

Donc :

3 +2#

La fonction est strictement positive sur

-2;1 et 0 !1" >0.

Donc

>0. On présente le sens de variations de dans le tableau : c) -2 1quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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