[PDF] Écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles

View - Download Écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles

Previous PDF

Next PDF

Mécanique des fluides

Écoulement de Poiseuille plan de deux liquides

non misciblesÉnoncé

On réalise un écoulement de Poiseuille plan de deux liquides non miscibles, considérés tous deux

comme incompressibles, entre deux plaques planes horizontales. Les masses volumiques des liquides sont1et2. Ils sont tous deux newtoniens, de viscosités dynamiques1et2. L"écoulement est

stationnaire. On travaille dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, dans lequel les deux plaques

sont fixes. L"axe(Oz)du repère cartésien est vertical ascendant. Le liquide indicé 2 occupe la zone

comprise entrez=b=2etz= 0. Le liquide indicé 1, celle comprise entrez= 0etz=b=2. On néglige

les effets de bord c"est-à-dire qu"on suppose ces deux zones infiniment étendues selon(Ox)et(Oy).

On néglige aussi l"influence de la gravité. On impose une pressionPeuniforme dans le planx= 0, et

une pressionPs< Pedans le planx=L.1.Quelle est la relation d"ordre entre1et2? Justifier2.On néglige désormais l"effet du poids. On admet que le champ des vitesses est de la forme :

v1=v1(z)!exet!v2=v2(z)!ex(1)

Montrer que la pression ne dépend que dex.3.(a)Quelles sont les valeurs de vitesse au contact des plaques?

(b)Quelles est la condition de vitesse à l"interface entre les deux fluides?

(c)Quelle est la dernière condition à l"interface quil faut prendre en compte? L"expliciter.4.Après avoir explicité la valeur des forces dues à la friction visqueuse, établir les expressions des

deux champs des vitesses.5.Donner les allures possibles du champ des vitesses en fonction de z selon la valeur du rapport

1=2.

Corrigé1.On a1< 2sinon le fluide le plus dense serait au-dessus, ce qui génèrerait un système instable.2.Considérons une particule de fluide dans un des deux fluides. Comme les lignes de courant sont

parallèles, et que l"écoulement est stationnaire, les particules restent sur des lignes de courant

correspondant à la même vitesse. Leur accélération est donc constante. La particule de fluide de

volumedsubit alors les forces de pression et les forces visqueuses colinéaires au mouvement. Le PFD appliqué à cette particule donne alors : gradPdfv!ex=!0:(2) Par conséquent, le gradient de pression est uniquement suivant !exet donc la pression ne dépendra que dex.3.(a)Au contact des plaques, la condition de non-glissement impose une vitesse nulle, soit : v

1(b=2) = 0 etv2(b=2) = 0:(3)Olivier Liot, 10 février 20191 sur 2

(b)A l"interface, la vitesse doit être continue :v1(0) =v2(0). (c)Il y a aussi continuité de la contrainte de cisaillement à l"interface :

1dv1dz

jz=0=2dv2dz

jz=0:(4)4.La force de friction due à la viscosité s"écrit, pour une particule de fluide de volumed=dxdydz,

est la somme des forces de friction venant de la particule enzet de celle enz+dz: f v=dvdz (z)dxdy+dvdz (z+dz)dxdy=d2vdz

2dxdydz:(5)

Le PFD projeté suivant

!exdonne alors : d2vdz 2dPdx = 0:(6) Le premier terme ne dépend que dez, le second que dex. Par conséquent, pour que la relation

soit valable pour tout couple(x;z), il est nécessaire que chacun des deux membres soient égale à

un même constanteK. Cela nous amène àP(x) =Kx+C. Avec les conditions aux limites sur la pression, on aC=PeetK= (PsPe)=L.

Pour le fluide 1 on a alors

d2v1dz 2=K

1. On intègre deux fois cette équations, et avec un choix de

constantes permettant une résolution plus aisée, on a : v

1(z) =K21

zb2 2 +A1 zb2 +B1:(7)

De la même façon, pour le fluide 2 :

v

2(z) =K22

z+b2 2 +A2 z+b2 +B2:(8) Les conditions de non glissement aux parois permettent d"écrireB1=B2= 0. La condition de continuité de vitesse impose : A

1+A2=bK4

1 11 2 :(9) La dernière condition permet enfin d"écrire : 1

Kb21+A1

=2Kb22+A2 :(10)

On en déduit finalement :

v

1=PsPe21L

zb2 2 +b(PsPe)(31+2)41L(1+2) zb2 (11) v

2=PsPe22L

z+b2 2 b(PsPe)(1+ 32)42L(1+2) z+b2 (12)5.Voici quelques allures de profils.

Olivier Liot, 10 février 20192 sur 2

Olivier Liot, 10 février 20193 sur 2

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Liquides ou solides

[PDF] Lire

[PDF] lire bible lingala

[PDF] lire en allemand débutant

[PDF] Lire et analyser le texte "je t 'aime" de Paul Eluard

[PDF] Lire et comprendre

[PDF] Lire et comprendre un document scientifique (puissance d'outils de production d'électricité

[PDF] lire et comprendre un énoncé de problème ce2

[PDF] lire et comprendre une consigne

[PDF] Lire et Construire un algorithme

[PDF] lire et construire un graphique cm1

[PDF] lire et construire un graphique cm2

[PDF] lire et construire un tableau cm2

[PDF] lire et écrire les nombres entiers cm1

[PDF] lire et interpréter un graphique cm1 exercices