[PDF] I. Multiples et diviseurs (rappels)

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2.ch13_arithmétique

I. Multiples et diviseurs (rappels)

Définition : a et b sont deux nombres entiers relatifs

On dit que : - b est un diviseur de a ou que

- a est un multiple de b ou que - a est divisible par b

Lorsqu'il le reste de la division euclidienne de a par b est nul c'est-à-dire que a = b x q avec q

nombre entier.

Exemple 1: 60 = 5 x 12 donc :

5 est un diviseur de 60; de même 12 est un diviseur de 60.

60 est un multiple de 12 et de 5

60 est divisible par 12 et par 5

Donner la liste des diviseurs positifs de 60: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.

Remarques:

- Un nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs: 1 et lui-même. (

46 se divise par 1 et par 46 ; 53 se divise par 1 et par 53.)

Propriété : On considère 3 entiers relatifs a, n et m. Si les entiers ݊ et ݉ sont des multiples

de a alors la somme (݊൅݉) ; la différence (݊െ݉) et le produit ݊ൈ݉sont aussi des

multiples de a

Démonstration pour la somme :

comme ݊ est un multiple de ܽ, il existe un entier relatif k tel que : ݊ൌ݇ൈܽ

comme ݉ est un multiple de ܽ, il existe un entier relatif l tel que : ݉ൌ݈ൈܽ ݇൅݈ est la somme de deux entiers relatifs donc cest un entier relatif. est un multiple de a.

Vidéo https://youtu.be/4an6JTwrJV4 (avec ܽ

Exemple 2: Montrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.

Vidéo https://youtu.be/7nU2M-zhAjk

:n, n +1 et n + 2, oҒ n est un entier quelconque. Leur somme est S = n + (n + 1) + (n + 2) = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n + 1).

Soit k k = n + 1.

Donc S = 3k, avec k entier. On en déduit que S est un multiple 3.

II. Nombres premiers

Définition: Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs positifs (1 et lui même) est un nombre premier.

Exemples 3 :

46 n'est pas un nombre premier car il admet d'autres diviseurs que 1 et 46 (par ex 2 )

53 est un nombre premier car ses seuls diviseurs sont 1 et 53, il en possède 2 exactement.

Donner la liste des nombres premiers inférieurs à 20: 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 Est-ce que 21 est un nombre premier? Pourquoi? Non, 21 est divisible par1 ; 21 ; 3 et 7

Remarques :

1 n'est pas un nombre premier car il admet un unique diviseur1

0 n'est pas un nombre premier car il admet une infinité de diviseurs : tous les nombres

entiers, sauf 0.

Critères de divisibilité (rappels)

Propriétés 2 : Un nombre est divisible par :

2 s'il est pair (se termine par 0; 2; 4; 6 ou 8).

3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

4 si le nombre composé de ses 2 derniers chiffres est divisible par 4

5 s'il se termine par 0 ou 5.

9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

10 s'il se termine par 0.

Définition : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Propriété : Tout nombre non premier peut se décomposer en produits de facteurs premiers.

Exemples 4:

- 20 = 2 x 2 x 5 est une décomposition du nombre 20 en produits de facteurs premiers. En effet, chaque facteur de la décomposition est un nombre premier. - 231 = 3 x 7 x 11 - 225 = 3 x 3 x 5 x 5 Méthode : Décomposer un nombre en produits de facteurs premiers

Vidéo https://youtu.be/RBE2wPIKagI

Exemple 5 : Décomposer 300 en produits de facteurs premiers. Pour le faire, il est important de bien connaître le début de la liste des nombres premiers : On commence par tester si 300 est divisible par 2 (1er nombre premier). La réponse est " oui » car 300 se termine par un chiffre pair.

Et on a : 300 : 2 = 150

On recommence, en testant si 150 est divisible par 2.

La réponse est " oui » et 150 : 2 = 75

On recommence, en testant si 75 est divisible par 2.

La réponse est " non » !

On teste alors le nombre premier suivant dans la liste.

Est-ce que 75 est divisible par 3.

La réponse est " oui » car 7+5=12 est divisible par 3.

Et on a : 75 : 3 = 25

On recommence, en testant si 25 est divisible par 3.

La réponse est " non » !

On teste alors le nombre premier suivant dans la liste.

Est-ce que 25 est divisible par 5 ?

La réponse est " oui » et on a 25 : 5 = 5. 5 On recommence, en testant si 5 est divisible par 5.

La réponse est " oui » et on a 5 : 5 = 1.

1 ! 300
150
75
25
5 1 2 2 3 5 5 La décomposition en facteurs premiers de 300 se lit dans la colonne de droite.

Définition :

dénominateur sont premiers entre eux.

Méthode : Rendre une fraction irréductible

Vidéo https://youtu.be/qZaTliAWkA0

Pour rendre une fraction irréductible, il faut décomposer son numérateur et son

Dénominateur en produits de facteurs premiers.

ଽ La calculatrice permet de vérifier le résultat

III. Nombres pairs, impairs

Définition : - Un nombre pair est un multiple de 2. - Un nombre impair

Exemple 7 :

34, 68, 9756786 et 0 sont des nombres pairs ; 567, 871 et 1 sont des nombres impairs.

Propriétés : - ʹ݇ǡ avec ݇ entier. - ʹ݇൅ͳ, avec ݇ entier.

Démonstration :

on considère un entier relatif n.

On effectue la division euclidienne de n par 2 : on obtient : ݊ൌʹൈ݇൅ݎܽݒ݁ܿ

ݎ étant entier, on a ݎൌͲouݎൌͳ

- si ݊ est pair : par définition, 2 divise ݊donc ݎൌͲ donc ݊ൌʹൈ݇

- si ݊ est impair : par définition, 2 ne divise pas ݊donc ݎ്Ͳ݀݋݊ܿ Propriétés : - La somme de deux nombres pairs est un nombre pair. - La somme de deux nombres impairs est un nombre pair. La somme dun nombre pair et dun nombre impair est un nombre impair. Démonstration pour la somme de deux entiers pairs : Daprès la propriété du I. la somme de deux multiples de 2 est un multiple de 2 Démonstration pour la somme de deux entiers impairs :

Soient ݊݁ݐ݌ deux entiers impairs

on peut alors déterminer deux entiers relatifs k et l tels que : ݊ൌʹൈ݇൅ͳ et ݉ൌʹൈ݈൅ͳ alors : La somme ݊൅݉ est divisible par 2 donc est bien paire.

Propriété : - Le carrғ pair est pair.

- Le carrғ Démonstration avec un nombre impair : Vidéo https://youtu.be/eKo1MpX9ktw Soit n ݊ൌʹ݇൅ͳ, avec k entier. avecܮ L est entier car somme de deux entiers, donc ݊; ݊;ൌʹܮ

݊; est impair.

Propriété : La réciproque est vraie

- Si le carré dun nombre n² est pair alors n est pair - Si le carré dun nombre n² est impair alors n est impairquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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