[PDF] Tutoriel Sage 16 mai 2022 Sage fournit é

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Tutoriel Sage

Version 10.1

The Sage Group

août 21, 2023

Table des matières

1 Introduction3

1.1 Installation

4

1.2 Les différentes manières d"utiliser Sage

4

1.3 Objectifs à long terme de Sage

5

2 Visite guidée7

2.1 Affectation, égalité et arithmétique

7

2.2 Obtenir de l"aide

9

2.3 Fonctions, indentation et itération

11

2.4 Algèbre de base et calcul infinitésimal

14

2.5 Graphiques

19

2.6 Problèmes fréquents concernant les fonctions

22

2.7 Anneaux de base

26

2.8 Polynômes

27

2.9 Parents, conversions, coercitions

31

2.10 Algèbre linéaire

37

2.11 Groupes finis, groupes abéliens

41

2.12 Théorie des nombres

42

2.13 Quelques mathématiques plus avancées

45

3 La ligne de commande interactive

55

3.1 Votre session Sage

56

3.2 Journal des entrées-sorties

57

3.3 Coller du texte ignore les invites

58

3.4 Mesure du temps d"exécution d"une commande

59

3.5 Trucs et astuces IPython

60

3.6 Erreurs et exceptions

61

3.7 Recherche en arrière et complétion de ligne de commande

62

3.8 Aide en ligne

63

3.9 Enregistrer et charger des objets individuellement

65

3.10 Enregister et recharger des sessions entières

67

4 Interfaces69

4.1 GP/PARI

69

4.2 GAP

71

4.3 Singular

71

4.4 Maxima

72 i

5 Sage, LaTeX et compagnie75

5.1 Vue d"ensemble

75

5.2 Utilisation de base

76

5.3 Personnaliser le code LaTeX produit

77

5.4 Personnaliser le traitement du code par LaTeX

79

5.5 Example : rendu de graphes avec tkz-graph

81

5.6 Une installation TeX pleinement opérationnelle

81

5.7 Programmes externes

82

6 Programmation83

6.1 Charger et attacher des fichiers Sage

83

6.2 Écrire des programmes compilés

84

6.3 Scripts Python/Sage autonomes

85

6.4 Types de données

85

6.5 Listes, n-uplets et séquences

87

6.6 Dictionnaires

89

6.7 Ensembles

90

6.8 Itérateurs

90

6.9 Boucles, fonctions, structures de contrôle et comparaisons

91

6.10 Profilage (profiling)

93

7 Utiliser SageTeX95

8 Postface97

8.1 Pourquoi Python?

97

8.2 Comment puis-je contribuer?

99

8.3 Comment citer Sage?

99

9 Annexe101

9.1 Priorité des opérateurs arithmétiques binaires

101

10 Bibliographie103

11 Index et tables105

Bibliographie107

Index109ii

Tutoriel Sage, Version 10.1

Sage est un logiciel mathématique libre destiné à la recherche et à l"enseignement en algèbre, géométrie, arithmétique,

théorie des nombres, cryptographie, calcul scientifique et dans d"autres domaines apparentés. Le modèle de dévelop-

pement de Sage comme ses caractéristiques techniques se distinguent par un souci extrême d"ouverture, de partage, de

coopération et de collaboration : notre but est de construire la voiture, non de réinventer la roue. L"objectif général de

Sage est de créer une alternative libre viable à Maple, Mathematica, Magma et MATLAB.

Ce tutoriel est la meilleure façon de se familiariser avec Sage en quelques heures. Il est disponible en versions HTML

et PDF, ainsi que depuis le notebook Sage (cliquez surHelp, puis surTutorialpour parcourir le tutoriel de façon

interactive depuis Sage).

Ce document est distribué sous licence

Creativ eCommons P aternité-Partagedes conditions initiales à l"identiq ue3.0

Unported

This work is licensed under a

Creativ eCommons A ttribution-ShareAlik e3.0 License .Table des matières1

Tutoriel Sage, Version 10.1

2Table des matières

CHAPITRE1Introduction

Explorer ce tutoriel en entier devrait vous prendre au maximum trois à quatre heures. Vous pouvez le lire en version

HTML ou PDF, ou encore l"explorer interactivement à l"intérieur de Sage en cliquant surHelppuis surTutorial

depuis lenotebook(il est possible que vous tombiez sur la version en anglais).

Sage est écrit en grande partie en Python, mais aucune connaissance de Python n"est nécessaire pour lire ce tutoriel.

Par la suite, vous souhaiterez sans doute apprendre Python, et il existe pour cela de nombreuses ressources libres

d"excellente qualité : le Python Beginner"s Guide [ PyB ] répertorie de nombreuses options. Mais si ce que vous voulez

est découvrir rapidement Sage, ce tutoriel est le bon endroit où commencer. Voici quelques exemples :sage:2+ 2

4 sage:factor(-2007) -1 * 3^2 * 223 sage:A= matrix( 4,4,range (16)); A [ 0 1 2 3] [ 4 5 6 7] [ 8 9 10 11] [12 13 14 15] sage:factor(A.charpoly()) x^2 * (x^2 - 30*x - 80) sage:m= matrix(ZZ, 2,range (4)) sage:m[0,0]= m[ 0,0]- 3 sage:m [-3 1] [ 2 3] sage:E= EllipticCurve([ 1,2,3,4,5]); sage:E Elliptic Curve defined by y^2 + x*y + 3*y = x^3 + 2*x^2 + 4*x + 5 (suite sur la page suivante)3

Tutoriel Sage, Version 10.1

(suite de la page précédente) over Rational Field sage:E.anlist(10) [0, 1, 1, 0, -1, -3, 0, -1, -3, -3, -3] sage:E.rank() 1 sage:k= 1 /(sqrt(3)*I+ 3 /4+ sqrt( 73)*5/9); k

36/(20*sqrt(73) + 36*I*sqrt(3) + 27)

sage:N(k)

0.165495678130644 - 0.0521492082074256*I

sage:N(k,30)# 30 "bits"

0.16549568 - 0.052149208*I

sage:latex(k) \frac{36}{20 \, \sqrt{73} + 36 i \, \sqrt{3} + 27} 1.1

Inst allation

Si Sage n"est pas installé sur votre ordinateur, vous pouvez essayer quelques commandes en ligne à l"adresse

http: //sagecell.sagemath.org

Des instructions pour installer Sage sur votre ordinateur sont disponibles dans le guide d"installation (Installation

Guide), dans la section documentation de la page web principale de Sage [SA]. Nous nous limiterons ici à quelques

remarques. 1.

La v ersiontéléc hargeablede Sag evient a vecses dépendances. A utrementdit, bien q ueSag eutilise Python,

IPython, PARI, GAP, Singular, Maxima, NTL, GMP, etc., vous n"avez pas besoin de les installer séparément,

ils sont fournis dans la distribution Sage. En revanche, pour utiliser certaines des fonctionnalités de Sage, par

2.

La v ersionbinaire pré-compilée de Sag e(disponible sur le site w eb)es tsouv entplus f acileet plus rapide à

installer que la distribution en code source. Pour l"installer, décompressez l"archive et lancez simplement le

programmesage. 3.

Si v oussouhaitez utiliser Sag eTeX(q uiper metd"insérer automatiq uementdans un document LaT eXles résul-

tats de calculs effectués avec Sage), vous devrez faire en sorte que votre distribution LaTeX le trouve (et, plus

précisément, en trouve la version correspondant à la version de Sage que vous utilisez). Pour ce faire, consultez

la section " Make SageTeX known to TeX » dans le guide d"installation (

Sage installation guide

ce lien de vrait

pointer vers une copie locale). L"installation est facile : il suffit de copier un fichier dans un répertoire que TeX

examine, ou de régler une variable d"environnement. La documentation de SageTeX se trouve dans le répertoire$SAGE_ROOT/venv/share/texmf/tex/latex/

sagetex/, où "$SAGE_ROOT» est le répertoire où vous avez installé Sage, par exemple/opt/sage-9.6.

1.2

Les différ entesmanièr esd"utiliser Sag e

Il y a plusieurs façons d"utiliser Sage.

-Interface graphique (" notebook ») :démarrersage -n jupyter; lireJup yterdocumentation on-line ;

-Ligne de commande :voirLa ligne de commande interactive;

-Programmes :en écrivant des programmes interprétés ou compilés en Sage (voirCharger et attacher des

fichiers SageetÉcrire des programmes compilés);

-Scripts :en écrivant des programmes Python indépendants qui font appel à la bibliothèque Sage (voirScripts

Python/Sage autonomes).4Chapitre 1. Introduction

Tutoriel Sage, Version 10.1

1.3

Objectifs à long t ermede Sag e

-Étre utile :le public visé par Sage comprend les étudiants (du lycée au doctorat), les enseignants et les cher-

cheurs en mathématiques. Le but est de fournir un logiciel qui permette d"explorer toutes sortes de construc-

tions mathématiques et de faire des expériences avec, en algèbre, en géométrie, en arithmétique et théorie des

nombres, en analyse, en calcul numérique, etc. Sage facilite l"expérimentation interactive avec des objets ma-

thématiques.

-Être efficace :c"est-à-dire rapide. Sage fait appel à des logiciels matures et soigneusement optimisés comme

GMP, PARI, GAP et NTL, ce qui le rend très rapide pour certaines opérations.

-Être libre/open-source :le code source doit être disponible librement et lisible, de sorte que les utilisateurs

puissent comprendre ce que fait le système et l"étendre facilement. Tout comme les mathématiciens acquièrent

une compréhension plus profonde d"un théorème en lisant sa preuve soigneusement, ou simplement en la par-

courant, les personnes qui font des calculs devraient être en mesure de comprendre comment ceux-ci fonc-

tionnent en lisant un code source documenté. Si vous publiez un article dans lequel vous utilisez Sage pour

faire des calculs, vous avez la garantie que vos lecteurs auront accès librement à Sage et à son code source, et

vous pouvez même archiver et redistribuer vous-même la version de Sage que vous utilisez.

-Être facile à compiler :le code source de Sage devrait être facile à compiler pour les utilisateurs de Linux,

d"OS X et de Windows. Cela rend le système plus flexible pour les utilisateurs qui souhaiteraient le modifier.

-Favoriser la coopération :fournir des interfaces robustes à la plupart des autres systèmes de calcul formel,

notamment PARI, GAP, Singular, Maxima, KASH, Magma, Maple et Mathematica. Sage cherche à unifier et

étendre les logiciels existants.

-Être bien documenté :tutoriel, guide du programmeur, manuel de référence, guides pratiques, avec de nom-

breux exemples et une discussion des concepts mathématiques sous-jacents.

-Être extensible :permettre de définir de nouveaux types de données ou des types dérivés de types existants, et

d"utiliser du code écrit dans différents langages.

-Être convivial :il doit être facile de comprendre quelles fonctionnalités sont disponibles pour travailler avec un

objet donné, et de consulter la documentation et le code source. Également, arriver à un bon niveau d"assistance

utilisateur.1.3. Objectifs à long terme de Sage 5

Tutoriel Sage, Version 10.1

6Chapitre 1. Introduction

CHAPITRE2Visite guidée

àSage Constructions(" Construction d"objets en Sage »), dont le but est de répondre à la question récurrente du type

" Comment faire pour construire ...? ».

supplémentaires. Notez également que vous pouvez explorer interactivement ce tutoriel - ou sa version en anglais -

en cliquant surHelpà partir du notebook de Sage.

(Si vous lisez ce tutoriel à partir dunotebookde Sage, appuyez surmaj-enterpour évaluer le contenu d"une cellule.

Vous pouvez même éditer le contenu avant d"appuyer surmaj-entrée. Sur certains Macs, il vous faudra peut-être

appuyer surmaj-returnplutôt quemaj-entrée). 2.1

Affect ation,ég alitée tarithmé tique

A quelques exceptions mineures près, Sage utilise le langage de programmation Python, si bien que la plupart des

ouvrages d"introduction à Python vous aideront à apprendre Sage. Sage utilise=pour les affectations. Il utilise==,<=,>=,pour les comparaisons.sage:a= 5 sage:a 5 sage:2== 2 True sage:2== 3 False sage:2< 3 True sage:a== 5 True Sage fournit toutes les opérations mathématiques de base :7

Tutoriel Sage, Version 10.1

sage:2**3# ** désigne l"exponentiation 8 sage:2^3# ^ est un synonyme de ** (contrairement à Python) 8 sage:10% 3 # pour des arguments entiers, % signifie mod, i.e., le reste dans la␣

˓→division euclidienne

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