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Analyse 1
20 septembre 2013
En bref
Les grands théorèmes
Conséquences importantes
Quelques preuves
Le rôle de la continuité dans les preuves
Les inserts historiques s"appuient sur wikipédiaExtrema (I)
Définition
Sif:A!R, alorsy2Aest un
Point de maximum sif(x)f(y),8x2A
Point de minimum sif(x)f(y),8x2A
Point d"extremum siyest soit point de minimum, soit point de maximum aetcsont des points de minimum,bun point de maximum. Les trois points sont des points d"extremumThéorème de Fermat (I)
Théorème de Fermat (I)
Hypothèses
Iintervalle ouvert
f:I!Rdérivable xpoint d"extremum defConclusion
f0(x) =0Ou encore
Sur un intervalle ouvert, la dérivée d"une fonction s"annule en un point d"extremum Interprétation graphique : en un point d"extremum, la tangente au graphe d"une fonction est horizontale, donc son coefficient directeurf0(x)vaut 0 Pierre de Fermat (160?-1665). Magistrat de métier. Homme de grande culture, latiniste, helléniste. Contributions en mathématiques (petit théorème de Fermat) et en physique (principe de Fermat en optique)Extrema (II)
Définition
Sif:A!R, alorsy2Aest un
Point de maximum local, s"il existe un intervalle ouvertI contenantytel quef(x)f(y),8x2A\IPoint de minimum local si ......f(x)f(y).....
Point d"extremum local siyest soit point de minimum local, soit point de maximum local aetcsont des minima locaux.fest un maximum local.b etdsont des maxima globaux.eest un minimum globalThéorème de Fermat (II)
Théorème de Fermat (II)
Hypothèses
Iintervalle ouvert
f:I!Rdérivable xpoint d"extremum local defConclusion
f0(x) =0Ou encore
Sur un intervalle ouvert, la dérivée d"une fonction s"annule en un point d"extremum localFermat (II)=)Fermat (I)Théorème de Fermat
Le théorème de Fermat ne dit rien sur les extrema qui se situent " au bord » de l"intervalle. Ici,aetbsont les extrema defsur[a;b], maisf0(a)6=0 etf0(b)6=0Démonstration.
Pour simplifier, on supposeI=R,xpoint de minimum
Alors f0(x+) =limh!0+f(x+h)f(x)h
|{z} 00De même
f0(x) =limh!0f(x+h)f(x)h
|{z} 00D"où 0f0(x+) =f0(x) =f0(x)0, càdf0(x) =0
Fonction de Rolle
Définition
Une fonctionf: [a;b]!Rest une fonction de Rolle si fest continue sur[a;b] fest dérivable sur]a;b[a vs bIl est commode de ne pas supposera Ainsi[1;0] = [0;1]et]1;0[=]0;1[
c2]a;b[(ou "cest entreaetb») signifie (1)ab (3)a=b=csia=b Exemples
Une fonction dérivable sur[a;b]est une fonction de Rolle sur[a;b]
Sif: [a;b]!Rest une fonction de Rolle et si
[x;y][a;b], alors (la restriction de)fest un fonction de Rolle sur[x;y] La fonctionx7!px,x2[0;1], est une fonction de
Rolle, mais n"est pas dérivable
Michel Rolle (1652-1719). Mathématicien principalement connu pour le théorème de Rolle Théorème de Rolle
Théorème de Rolle
Hypothèses
f: [a;b]!Rfonction de Rolle f(a) =f(b) Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef0(c) =0" Il existe » = il existe au moins un, peut-être plusieurs " Il existe un unique » = il existe exactement un " Est unique » = il y en a 0 ou 1 Preuve " avec les mains » du théorème de Rolle :f(a)et f(b)étant à la même hauteur,fdoit avoir un point d"extremumcdans]a;b[. Le théorème de Fermat impliquef0(c) =0 Théorème des accroissements finis
Théorème de Lagrange; théorème des
accroissements finis; TAFHypothèse f: [a;b]!Rfonction de Rolle Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)ba=f0(c)
Aest le point du graphe defcorrespondant àa(càd A(a;f(a))). Idem pourB,C. La quotientf(b)f(a)baest le coefficient directeur du segmentAB.f0(c)est le coefficient directeur de la tangente enC. Le TAF affirme que pour uncconvenable la tangente est parallèle au segmentAB Giuseppe Lodovico de Lagrangia (en français Joseph Louis, comte de Lagrange) (1736-1813). Très grand mathématicien, mécanicien et astronome. Plus ici : LagrangeLe bicenténnaire de sa mort est commémoré cette année Application : IAF
Inégalité des accroissements finis; IAF
Hypothèses
f: [a;b]!Rfonction de Rolle j f0(x)j M,8x2]a;b[ Conclusion
jf(b)f(a)j MjbajDémonstration. Soitccomme dans le TAF. Alors
f 0(c) =f(b)f(a)ba=)f(b)f(a) =f0(c)(ba)
=) jf(b)f(a)j=jf0(c)jjbaj Mjbaj Exemple
On ajsinxsinyj jxyj,8x;y2RDémonstration.
Soitf: [y;x]!R,f(t) =sint. Alorsjf0(t)j=jcostj 1,
8t2]y;x[. On applique l"IAF aveca y,b xExemple
On aex1+xex,8x0Démonstration.
Soitf: [0;x]!R,f(t) =et. Soitc2]0;x[comme dans le
TAF (aveca 0,b x). Alors
e x1=xf0(t) =xetxex=)ex1+xex Application : monotonie
Proposition
Soitf:I!Rdérivable. Alors
fcroissante()f00 (càdf0(x)0,8x2I) Sif0(x)>0 sauf éventuellement en un nombre fini de points, alorsfest strictement croissante Variante :on peut remplacerf:I!Rdérivable par
f: [a;b]!Rfonction de Rolle Enoncé analogue pour les fonctions décroissantes Démonstration.
Pour simplifier :
On supposeI=R
Pour la deuxième propriété, on supposef0(x)>0 si x6=0 1.fcroissante=)f0(x) =limh!0f(x+h)f(x)h
|{z} 00 2. Si f00, soienta;b2Raveca tel que f(b)f(a) =f0(c)|{z} 0(ba)|{z}
>00;d"oùfcroissante Démonstration - suite.
3. On suppose f0(x)>0,8x6=0. Sia preuve du 2. montre que f(b)>f(a). De même si 0af(a)sia<0 Dans ce cas :
f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0 Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000 Conclusion
fconvexeDémonstration. Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0 OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d) Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z} 0(f0(c)f0(d))|{z}
00 Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[ Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps. Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
Sia Doncfinjective
On " voit » qu"une fonction continue et injective surIest (strictement) monotone Donc par exemplefcroissante
D"oùf00
D"oùf0>0; d"où la conclusion
La démonstration " avec les mains » devient rigoureuse une fois montrés (plus tard) les résultats suivantsProposition Toute fonction dérivablef:I!Rest continueProposition Toute fonction continue et injectivef:I!Rest
strictement monotone Jean Gaston Darboux (1842-1917). Analyste et géomètre Formule de Taylor
Motivation
f(x) =a0+a1x=)f(b) =f(0) +a1b=f(0) +f0(0)b f(x) =a0+a1x+a2x2=)f(b) =f(0) +a1b+a2b2= f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2 f(x) =a0+a1x++anxn=)f(b) = f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2+f(n)(0)n!bn=nX k=0f (k)(0)k!bkCes formules ne restent plus vraies sifn"est pas un polynôme. Mais le théorème de Taylor(-Lagrange) donne des variantes de ces formules, vraies pour toute fonction Formule de Taylor
Formule de Taylor; formule de Taylor-Lagrange;
formule de Taylor avec reste de LagrangeHypothèse f: [a;b]!Rnfois dérivable (l"hypothèse peut être affaiblie) Conclusion
Il existec2]a;b[tel que
f(b) =f(a) +f0(a)1!(ba)+ +f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+f(n)(c)n!(ba)n Brook Taylor (1685-1731). Mathématicien connu pour les séries qui portent son nom (découvertes autour de 1715) Exemple
Montrer l"inégalité
sinxxx36 ;8x0 Taylor à l"ordre 4 (avecf=sin,a=0) :
sinx=xx36 +sincx424 ;pour unc2]0;x[ Six, alors sinc0, et donc sinxxx36
Six> , alorsxx36
<1
[PDF] liste des universités américaines
[PDF] liste des verbes du 3ème groupe au passé simple
[PDF] liste des verbes en hebreu
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[PDF] liste des verbes irréguliers en anglais
[PDF] liste des verbes irréguliers en espagnol pdf
[PDF] liste des verbes irréguliers français
[PDF] liste des verbes irréguliers français pdf
[PDF] liste des virus biologique
[PDF] liste dispositifs médicaux
[PDF] liste dispositifs médicaux classe 1
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Exemples
Une fonction dérivable sur[a;b]est une fonction deRolle sur[a;b]
Sif: [a;b]!Rest une fonction de Rolle et si
[x;y][a;b], alors (la restriction de)fest un fonction de Rolle sur[x;y]La fonctionx7!px,x2[0;1], est une fonction de
Rolle, mais n"est pas dérivable
Michel Rolle (1652-1719). Mathématicien principalement connu pour le théorème de RolleThéorème de Rolle
Théorème de Rolle
Hypothèses
f: [a;b]!Rfonction de Rolle f(a) =f(b)Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef0(c) =0" Il existe » = il existe au moins un, peut-être plusieurs " Il existe un unique » = il existe exactement un " Est unique » = il y en a 0 ou 1 Preuve " avec les mains » du théorème de Rolle :f(a)et f(b)étant à la même hauteur,fdoit avoir un point d"extremumcdans]a;b[. Le théorème de Fermat impliquef0(c) =0Théorème des accroissements finis
Théorème de Lagrange; théorème des
accroissements finis; TAFHypothèse f: [a;b]!Rfonction de RolleConclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)ba=f0(c)
Aest le point du graphe defcorrespondant àa(càd A(a;f(a))). Idem pourB,C. La quotientf(b)f(a)baest le coefficient directeur du segmentAB.f0(c)est le coefficient directeur de la tangente enC. Le TAF affirme que pour uncconvenable la tangente est parallèle au segmentAB Giuseppe Lodovico de Lagrangia (en français Joseph Louis, comte de Lagrange) (1736-1813). Très grand mathématicien, mécanicien et astronome. Plus ici : LagrangeLe bicenténnaire de sa mort est commémoré cette annéeApplication : IAF
Inégalité des accroissements finis; IAF
Hypothèses
f: [a;b]!Rfonction de Rolle j f0(x)j M,8x2]a;b[Conclusion
jf(b)f(a)j MjbajDémonstration.Soitccomme dans le TAF. Alors
f0(c) =f(b)f(a)ba=)f(b)f(a) =f0(c)(ba)
=) jf(b)f(a)j=jf0(c)jjbaj MjbajExemple
On ajsinxsinyj jxyj,8x;y2RDémonstration.
Soitf: [y;x]!R,f(t) =sint. Alorsjf0(t)j=jcostj 1,
8t2]y;x[. On applique l"IAF aveca y,b xExemple
On aex1+xex,8x0Démonstration.
Soitf: [0;x]!R,f(t) =et. Soitc2]0;x[comme dans le
TAF (aveca 0,b x). Alors
e x1=xf0(t) =xetxex=)ex1+xexApplication : monotonie
Proposition
Soitf:I!Rdérivable. Alors
fcroissante()f00 (càdf0(x)0,8x2I) Sif0(x)>0 sauf éventuellement en un nombre fini de points, alorsfest strictement croissanteVariante :on peut remplacerf:I!Rdérivable par
f: [a;b]!Rfonction de Rolle Enoncé analogue pour les fonctions décroissantesDémonstration.
Pour simplifier :
On supposeI=R
Pour la deuxième propriété, on supposef0(x)>0 si x6=01.fcroissante=)f0(x) =limh!0f(x+h)f(x)h
|{z} 00 2.Si f00, soienta;b2Raveca tel que f(b)f(a) =f0(c)|{z} 0(ba)|{z}
>00;d"oùfcroissante Démonstration - suite.
3. On suppose f0(x)>0,8x6=0. Sia preuve du 2. montre que f(b)>f(a). De même si 0af(a)sia<0 Dans ce cas :
f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0 Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000 Conclusion
fconvexeDémonstration. Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0 OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d) Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z} 0(f0(c)f0(d))|{z}
00 Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[ Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps. Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
Sia Doncfinjective
On " voit » qu"une fonction continue et injective surIest (strictement) monotone Donc par exemplefcroissante
D"oùf00
D"oùf0>0; d"où la conclusion
La démonstration " avec les mains » devient rigoureuse une fois montrés (plus tard) les résultats suivantsProposition Toute fonction dérivablef:I!Rest continueProposition Toute fonction continue et injectivef:I!Rest
strictement monotone Jean Gaston Darboux (1842-1917). Analyste et géomètre Formule de Taylor
Motivation
f(x) =a0+a1x=)f(b) =f(0) +a1b=f(0) +f0(0)b f(x) =a0+a1x+a2x2=)f(b) =f(0) +a1b+a2b2= f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2 f(x) =a0+a1x++anxn=)f(b) = f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2+f(n)(0)n!bn=nX k=0f (k)(0)k!bkCes formules ne restent plus vraies sifn"est pas un polynôme. Mais le théorème de Taylor(-Lagrange) donne des variantes de ces formules, vraies pour toute fonction Formule de Taylor
Formule de Taylor; formule de Taylor-Lagrange;
formule de Taylor avec reste de LagrangeHypothèse f: [a;b]!Rnfois dérivable (l"hypothèse peut être affaiblie) Conclusion
Il existec2]a;b[tel que
f(b) =f(a) +f0(a)1!(ba)+ +f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+f(n)(c)n!(ba)n Brook Taylor (1685-1731). Mathématicien connu pour les séries qui portent son nom (découvertes autour de 1715) Exemple
Montrer l"inégalité
sinxxx36 ;8x0 Taylor à l"ordre 4 (avecf=sin,a=0) :
sinx=xx36 +sincx424 ;pour unc2]0;x[ Six, alors sinc0, et donc sinxxx36
Six> , alorsxx36
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0(ba)|{z}
>00;d"oùfcroissanteDémonstration - suite.
3.On suppose f0(x)>0,8x6=0. Sia preuve du 2. montre que f(b)>f(a). De même si 0af(a)sia<0 Dans ce cas :
f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0 Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000 Conclusion
fconvexeDémonstration. Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0 OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d) Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z} 0(f0(c)f0(d))|{z}
00 Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[ Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps. Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
Sia Doncfinjective
On " voit » qu"une fonction continue et injective surIest (strictement) monotone Donc par exemplefcroissante
D"oùf00
D"oùf0>0; d"où la conclusion
La démonstration " avec les mains » devient rigoureuse une fois montrés (plus tard) les résultats suivantsProposition Toute fonction dérivablef:I!Rest continueProposition Toute fonction continue et injectivef:I!Rest
strictement monotone Jean Gaston Darboux (1842-1917). Analyste et géomètre Formule de Taylor
Motivation
f(x) =a0+a1x=)f(b) =f(0) +a1b=f(0) +f0(0)b f(x) =a0+a1x+a2x2=)f(b) =f(0) +a1b+a2b2= f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2 f(x) =a0+a1x++anxn=)f(b) = f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2+f(n)(0)n!bn=nX k=0f (k)(0)k!bkCes formules ne restent plus vraies sifn"est pas un polynôme. Mais le théorème de Taylor(-Lagrange) donne des variantes de ces formules, vraies pour toute fonction Formule de Taylor
Formule de Taylor; formule de Taylor-Lagrange;
formule de Taylor avec reste de LagrangeHypothèse f: [a;b]!Rnfois dérivable (l"hypothèse peut être affaiblie) Conclusion
Il existec2]a;b[tel que
f(b) =f(a) +f0(a)1!(ba)+ +f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+f(n)(c)n!(ba)n Brook Taylor (1685-1731). Mathématicien connu pour les séries qui portent son nom (découvertes autour de 1715) Exemple
Montrer l"inégalité
sinxxx36 ;8x0 Taylor à l"ordre 4 (avecf=sin,a=0) :
sinx=xx36 +sincx424 ;pour unc2]0;x[ Six, alors sinc0, et donc sinxxx36
Six> , alorsxx36
<1
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0af(a)sia<0 Dans ce cas :
f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0 Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000 Conclusion
fconvexeDémonstration. Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0 OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d) Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z} 0(f0(c)f0(d))|{z}
00 Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[ Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps. Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
Sia Doncfinjective
On " voit » qu"une fonction continue et injective surIest (strictement) monotone Donc par exemplefcroissante
D"oùf00
D"oùf0>0; d"où la conclusion
La démonstration " avec les mains » devient rigoureuse une fois montrés (plus tard) les résultats suivantsProposition Toute fonction dérivablef:I!Rest continueProposition Toute fonction continue et injectivef:I!Rest
strictement monotone Jean Gaston Darboux (1842-1917). Analyste et géomètre Formule de Taylor
Motivation
f(x) =a0+a1x=)f(b) =f(0) +a1b=f(0) +f0(0)b f(x) =a0+a1x+a2x2=)f(b) =f(0) +a1b+a2b2= f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2 f(x) =a0+a1x++anxn=)f(b) = f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2+f(n)(0)n!bn=nX k=0f (k)(0)k!bkCes formules ne restent plus vraies sifn"est pas un polynôme. Mais le théorème de Taylor(-Lagrange) donne des variantes de ces formules, vraies pour toute fonction Formule de Taylor
Formule de Taylor; formule de Taylor-Lagrange;
formule de Taylor avec reste de LagrangeHypothèse f: [a;b]!Rnfois dérivable (l"hypothèse peut être affaiblie) Conclusion
Il existec2]a;b[tel que
f(b) =f(a) +f0(a)1!(ba)+ +f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+f(n)(c)n!(ba)n Brook Taylor (1685-1731). Mathématicien connu pour les séries qui portent son nom (découvertes autour de 1715) Exemple
Montrer l"inégalité
sinxxx36 ;8x0 Taylor à l"ordre 4 (avecf=sin,a=0) :
sinx=xx36 +sincx424 ;pour unc2]0;x[ Six, alors sinc0, et donc sinxxx36
Six> , alorsxx36
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f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0Application : convexité
Proposition
Hypothèses
f:I!Rdeux fois dérivable f000Conclusion
fconvexeDémonstration.Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit
mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq
f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d)Démonstration - suite.
On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)
D"où
f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z}0(f0(c)f0(d))|{z}
00Théorème de Cauchy
Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[Conclusion
Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g
0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)
Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).
Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps.Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/
Augustin_Louis_Cauchy
Exemple
Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb Démonstration.
On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb Règle de L"Hôpital
Motivation
limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx 2=10+=1
limx!0e x1sinx=00 Limite " indéterminée » de la forme
00 Règle de L"Hôpital
Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de Bernoulli; cas 0=0Hypothèses
f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a La limitel:=limx!af
0(x)g 0(x)existe
Conclusion
La limite lim
x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom Exemple
lim x!0e x1sinx=? L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,
I=]=2;=2[,a=0
lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1 Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2
Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors
lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2 L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),
g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af 0(x)f0(a)2(xa)
Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On
trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2 D"où la conclusion
Théorème de Darboux
Théorème de Darboux
Hypothèses
f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I Conclusion
f 0garde un signe constant surI
Démonstration " avec les mains ».
Sia Doncfinjective
On " voit » qu"une fonction continue et injective surIest (strictement) monotone Donc par exemplefcroissante
D"oùf00
D"oùf0>0; d"où la conclusion
La démonstration " avec les mains » devient rigoureuse une fois montrés (plus tard) les résultats suivantsProposition Toute fonction dérivablef:I!Rest continueProposition Toute fonction continue et injectivef:I!Rest
strictement monotone Jean Gaston Darboux (1842-1917). Analyste et géomètre Formule de Taylor
Motivation
f(x) =a0+a1x=)f(b) =f(0) +a1b=f(0) +f0(0)b f(x) =a0+a1x+a2x2=)f(b) =f(0) +a1b+a2b2= f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2 f(x) =a0+a1x++anxn=)f(b) = f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2+f(n)(0)n!bn=nX k=0f (k)(0)k!bkCes formules ne restent plus vraies sifn"est pas un polynôme. Mais le théorème de Taylor(-Lagrange) donne des variantes de ces formules, vraies pour toute fonction Formule de Taylor
Formule de Taylor; formule de Taylor-Lagrange;
formule de Taylor avec reste de LagrangeHypothèse f: [a;b]!Rnfois dérivable (l"hypothèse peut être affaiblie) Conclusion
Il existec2]a;b[tel que
f(b) =f(a) +f0(a)1!(ba)+ +f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+f(n)(c)n!(ba)n Brook Taylor (1685-1731). Mathématicien connu pour les séries qui portent son nom (découvertes autour de 1715) Exemple
Montrer l"inégalité
sinxxx36 ;8x0 Taylor à l"ordre 4 (avecf=sin,a=0) :
sinx=xx36 +sincx424 ;pour unc2]0;x[ Six, alors sinc0, et donc sinxxx36
Six> , alorsxx36
<1
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Doncfinjective
On " voit » qu"une fonction continue et injective surIest (strictement) monotoneDonc par exemplefcroissante
D"oùf00
D"oùf0>0; d"où la conclusion
La démonstration " avec les mains » devient rigoureuse une fois montrés (plus tard) les résultats suivantsProposition Toute fonction dérivablef:I!Rest continuePropositionToute fonction continue et injectivef:I!Rest
strictement monotone Jean Gaston Darboux (1842-1917). Analyste et géomètreFormule de Taylor
Motivation
f(x) =a0+a1x=)f(b) =f(0) +a1b=f(0) +f0(0)b f(x) =a0+a1x+a2x2=)f(b) =f(0) +a1b+a2b2= f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2 f(x) =a0+a1x++anxn=)f(b) = f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2+f(n)(0)n!bn=nX k=0f (k)(0)k!bkCes formules ne restent plus vraies sifn"est pas un polynôme. Mais le théorème de Taylor(-Lagrange) donne des variantes de ces formules, vraies pour toute fonctionFormule de Taylor
Formule de Taylor; formule de Taylor-Lagrange;
formule de Taylor avec reste de LagrangeHypothèse f: [a;b]!Rnfois dérivable (l"hypothèse peut être affaiblie)Conclusion
Il existec2]a;b[tel que
f(b) =f(a) +f0(a)1!(ba)+ +f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+f(n)(c)n!(ba)n Brook Taylor (1685-1731). Mathématicien connu pour les séries qui portent son nom (découvertes autour de 1715)Exemple
Montrer l"inégalité
sinxxx36 ;8x0Taylor à l"ordre 4 (avecf=sin,a=0) :
sinx=xx36 +sincx424 ;pour unc2]0;x[Six, alors sinc0, et donc sinxxx36
Six> , alorsxx36
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