[PDF] Dérivées : les grands théorèmes





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mathématique. 3. Théorèmes : nous en utiliserons beaucoup également dans ce cours. Un théorème est une affirmation ou une proposition que l'on peut 





TOUTES LES MATHÉMATIQUES

Docteur ès mathématiques de l'université Paris 6. Assistant de mathématiques à l'université de Bâle (Suisse) Triangles semblables et théorème de Thalès.



Dérivées : les grands théorèmes

20 sept. 2013 Contributions en mathématiques (petit théorème de. Fermat) et en physique (principe de Fermat en optique). Page 8. Extrema (II). Définition. Si ...



Géométrie pure. Démonstration de divers théorèmes de géométrie

Annales de Mathématiques pures et appliquées 1827-1828





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Citons aussi le théorème fondamental de l'algèbre exposé en maths sup : « toute équation polynômiale de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans C admet 



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Principaux théorèmes dintégration

? f dµ. Théorème (Théorème de convergence dominée (de Lebesgue)). Soit (fn)n?0 une suite de fonctions mesurables 

Dérivées : les grands théorèmes

Analyse 1

20 septembre 2013

En bref

Les grands théorèmes

Conséquences importantes

Quelques preuves

Le rôle de la continuité dans les preuves

Les inserts historiques s"appuient sur wikipédia

Extrema (I)

Définition

Sif:A!R, alorsy2Aest un

Point de maximum sif(x)f(y),8x2A

Point de minimum sif(x)f(y),8x2A

Point d"extremum siyest soit point de minimum, soit point de maximum aetcsont des points de minimum,bun point de maximum. Les trois points sont des points d"extremum

Théorème de Fermat (I)

Théorème de Fermat (I)

Hypothèses

Iintervalle ouvert

f:I!Rdérivable xpoint d"extremum def

Conclusion

f

0(x) =0Ou encore

Sur un intervalle ouvert, la dérivée d"une fonction s"annule en un point d"extremum Interprétation graphique : en un point d"extremum, la tangente au graphe d"une fonction est horizontale, donc son coefficient directeurf0(x)vaut 0 Pierre de Fermat (160?-1665). Magistrat de métier. Homme de grande culture, latiniste, helléniste. Contributions en mathématiques (petit théorème de Fermat) et en physique (principe de Fermat en optique)

Extrema (II)

Définition

Sif:A!R, alorsy2Aest un

Point de maximum local, s"il existe un intervalle ouvertI contenantytel quef(x)f(y),8x2A\I

Point de minimum local si ......f(x)f(y).....

Point d"extremum local siyest soit point de minimum local, soit point de maximum local aetcsont des minima locaux.fest un maximum local.b etdsont des maxima globaux.eest un minimum global

Théorème de Fermat (II)

Théorème de Fermat (II)

Hypothèses

Iintervalle ouvert

f:I!Rdérivable xpoint d"extremum local def

Conclusion

f

0(x) =0Ou encore

Sur un intervalle ouvert, la dérivée d"une fonction s"annule en un point d"extremum localFermat (II)=)Fermat (I)

Théorème de Fermat

Le théorème de Fermat ne dit rien sur les extrema qui se situent " au bord » de l"intervalle. Ici,aetbsont les extrema defsur[a;b], maisf0(a)6=0 etf0(b)6=0

Démonstration.

Pour simplifier, on supposeI=R,xpoint de minimum

Alors f

0(x+) =limh!0+f(x+h)f(x)h

|{z} 00

De même

f

0(x) =limh!0f(x+h)f(x)h

|{z} 00

D"où 0f0(x+) =f0(x) =f0(x)0, càdf0(x) =0

Fonction de Rolle

Définition

Une fonctionf: [a;b]!Rest une fonction de Rolle si fest continue sur[a;b] fest dérivable sur]a;b[a vs b

Il est commode de ne pas supposera

Ainsi[1;0] = [0;1]et]1;0[=]0;1[

c2]a;b[(ou "cest entreaetb») signifie (1)ab (3)a=b=csia=b

Exemples

Une fonction dérivable sur[a;b]est une fonction de

Rolle sur[a;b]

Sif: [a;b]!Rest une fonction de Rolle et si

[x;y][a;b], alors (la restriction de)fest un fonction de Rolle sur[x;y]

La fonctionx7!px,x2[0;1], est une fonction de

Rolle, mais n"est pas dérivable

Michel Rolle (1652-1719). Mathématicien principalement connu pour le théorème de Rolle

Théorème de Rolle

Théorème de Rolle

Hypothèses

f: [a;b]!Rfonction de Rolle f(a) =f(b)

Conclusion

Il existec2]a;b[tel quef0(c) =0" Il existe » = il existe au moins un, peut-être plusieurs " Il existe un unique » = il existe exactement un " Est unique » = il y en a 0 ou 1 Preuve " avec les mains » du théorème de Rolle :f(a)et f(b)étant à la même hauteur,fdoit avoir un point d"extremumcdans]a;b[. Le théorème de Fermat impliquef0(c) =0

Théorème des accroissements finis

Théorème de Lagrange; théorème des

accroissements finis; TAFHypothèse f: [a;b]!Rfonction de Rolle

Conclusion

Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)ba=f0(c)

Aest le point du graphe defcorrespondant àa(càd A(a;f(a))). Idem pourB,C. La quotientf(b)f(a)baest le coefficient directeur du segmentAB.f0(c)est le coefficient directeur de la tangente enC. Le TAF affirme que pour uncconvenable la tangente est parallèle au segmentAB Giuseppe Lodovico de Lagrangia (en français Joseph Louis, comte de Lagrange) (1736-1813). Très grand mathématicien, mécanicien et astronome. Plus ici : LagrangeLe bicenténnaire de sa mort est commémoré cette année

Application : IAF

Inégalité des accroissements finis; IAF

Hypothèses

f: [a;b]!Rfonction de Rolle j f0(x)j M,8x2]a;b[

Conclusion

jf(b)f(a)j MjbajDémonstration.

Soitccomme dans le TAF. Alors

f

0(c) =f(b)f(a)ba=)f(b)f(a) =f0(c)(ba)

=) jf(b)f(a)j=jf0(c)jjbaj Mjbaj

Exemple

On ajsinxsinyj jxyj,8x;y2RDémonstration.

Soitf: [y;x]!R,f(t) =sint. Alorsjf0(t)j=jcostj 1,

8t2]y;x[. On applique l"IAF aveca y,b xExemple

On aex1+xex,8x0Démonstration.

Soitf: [0;x]!R,f(t) =et. Soitc2]0;x[comme dans le

TAF (aveca 0,b x). Alors

e x1=xf0(t) =xetxex=)ex1+xex

Application : monotonie

Proposition

Soitf:I!Rdérivable. Alors

fcroissante()f00 (càdf0(x)0,8x2I) Sif0(x)>0 sauf éventuellement en un nombre fini de points, alorsfest strictement croissante

Variante :on peut remplacerf:I!Rdérivable par

f: [a;b]!Rfonction de Rolle Enoncé analogue pour les fonctions décroissantes

Démonstration.

Pour simplifier :

On supposeI=R

Pour la deuxième propriété, on supposef0(x)>0 si x6=0

1.fcroissante=)f0(x) =limh!0f(x+h)f(x)h

|{z} 00 2.

Si f00, soienta;b2Raveca tel que f(b)f(a) =f0(c)|{z}

0(ba)|{z}

>00;d"oùfcroissante

Démonstration - suite.

3.

On suppose f0(x)>0,8x6=0. Sia preuve du 2. montre que f(b)>f(a). De même si

0af(a)sia<0

Dans ce cas :

f(b)f(a) =f(b)f(0)|{z} >0+f(0)f(a)|{z} >0>0

Application : convexité

Proposition

Hypothèses

f:I!Rdeux fois dérivable f000

Conclusion

fconvexeDémonstration.

Pourx;y2Iett2[0;1], soitz:=tx+ (1t)y. On doit

mqf(z)[tf(x) + (1t)f(y)]0

OPSxy. Soientc2]x;z[,d2]z;y[tq

f(x) =f(z)+(xz)f0(c)etf(y) =f(y)+(yz)f0(d)

Démonstration - suite.

On af000=)f0%. Doncf0(c)f0(d)(carcd)

D"où

f(z)[tf(x) + (1t)f(y)] = t(zx)f0(c)(1t)(yz)f0(d) = t(1t)(yx)|{z}

0(f0(c)f0(d))|{z}

00

Théorème de Cauchy

Théorème de Lagrange généralisé; théorème de CauchyHypothèses f;g: [a;b]!Rfonctions de Rolle g0(x)6=0,8x2]a;b[

Conclusion

Il existec2]a;b[tel quef(b)f(a)g(b)g(a)=f0(c)g

0(c)Cauchy=)Lagrange (prendreg(x) =x)

Augustin Louis, baron Cauchy (1789-1857).

Mathématicien très important et prolifique. Son oeuvre couvre l"ensemble des mathématiques de son temps.

Plus ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/

Augustin_Louis_Cauchy

Exemple

Si 0 pbpa 3 pb3pa 32
6pb

Démonstration.

On applique le théorème de Cauchy avecf(x) px, g(x) 3px. Avecccomme dans le théorème : pbpa 3 pb3pa =32 6pc32 6pb

Règle de L"Hôpital

Motivation

limx!0e xcosx=11 =1 limx!0e xx

2=10+=1

limx!0e x1sinx=00

Limite " indéterminée » de la forme

00

Règle de L"Hôpital

Règle de L"Hôpital; règle de L"Hospital; règle de

Bernoulli; cas 0=0Hypothèses

f;g:I!Rdérivables (1)Ou bi ena2Ietf(a) =g(a) =0 (2) Ou bie naest une extrémité deIet limx!af(x) =0 et lim x!ag(x) =0 g0(x)6=0 six6=a

La limitel:=limx!af

0(x)g

0(x)existe

Conclusion

La limite lim

x!af(x)g(x)existe et vautl Guillaume François Antoine de L"Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d"Entremont, seigneur d"Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704). Mathé- maticien connu pour la règle qui porte son nom

Exemple

lim x!0e x1sinx=?

L"Hôpital avecf(x) =ex1,g(x) =sinx,

I=]=2;=2[,a=0

lim x!0x2]=2;=2[e xcosx=1=)limx!0x2]=2;=2[e x1sinx=1 =)limx!0e x1sinx=1

Exemple : formule de Taylor à l"ordre 2

Soitf:R!Rtrois fois dérivable. Alors

lim x!af(x)f(a)f0(a)(xa)(xa)2=f00(a)2

L"Hôpital avecf f(x)f(a)f0(a)(xa),

g (xa)2,I R,a a. On doit calculer l=limx!af

0(x)f0(a)2(xa)

Re-L"Hôpital avecf f0(x)f0(a),g 2(xa). On

trouve (commef00est dérivable, donc continue)l=f00(a)2

D"où la conclusion

Théorème de Darboux

Théorème de Darboux

Hypothèses

f:I!Rdérivable f0(x)6=0,8x2I

Conclusion

f

0garde un signe constant surI

Démonstration " avec les mains ».

Sia

Doncfinjective

On " voit » qu"une fonction continue et injective surIest (strictement) monotone

Donc par exemplefcroissante

D"oùf00

D"oùf0>0; d"où la conclusion

La démonstration " avec les mains » devient rigoureuse une fois montrés (plus tard) les résultats suivantsProposition Toute fonction dérivablef:I!Rest continueProposition

Toute fonction continue et injectivef:I!Rest

strictement monotone Jean Gaston Darboux (1842-1917). Analyste et géomètre

Formule de Taylor

Motivation

f(x) =a0+a1x=)f(b) =f(0) +a1b=f(0) +f0(0)b f(x) =a0+a1x+a2x2=)f(b) =f(0) +a1b+a2b2= f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2 f(x) =a0+a1x++anxn=)f(b) = f(0) +f0(0)b+f00(0)2 b2+f(n)(0)n!bn=nX k=0f (k)(0)k!bkCes formules ne restent plus vraies sifn"est pas un polynôme. Mais le théorème de Taylor(-Lagrange) donne des variantes de ces formules, vraies pour toute fonction

Formule de Taylor

Formule de Taylor; formule de Taylor-Lagrange;

formule de Taylor avec reste de LagrangeHypothèse f: [a;b]!Rnfois dérivable (l"hypothèse peut être affaiblie)

Conclusion

Il existec2]a;b[tel que

f(b) =f(a) +f0(a)1!(ba)+ +f(n1)(a)(n1)!(ba)n1+f(n)(c)n!(ba)n Brook Taylor (1685-1731). Mathématicien connu pour les séries qui portent son nom (découvertes autour de 1715)

Exemple

Montrer l"inégalité

sinxxx36 ;8x0

Taylor à l"ordre 4 (avecf=sin,a=0) :

sinx=xx36 +sincx424 ;pour unc2]0;x[

Six, alors sinc0, et donc sinxxx36

Six> , alorsxx36

<1