[PDF] BTS Electrotechnique Cours de Mathématiques

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BTS Electrotechnique

Cours de Mathématiques

François THIRIOUX

francois.thirioux@ac-grenoble.fr

Lycée René Perrin, Ugine

Mai 2003

Table des matières

Présentation du programme v

1 Préliminaires 1

1.1 Dé...nitions préalables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Intégration8

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Dé...nition de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.3 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Méthodes d"intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Fonctions à valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Séries numériques 14

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Dé...nition d"une série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

i

TABLE DES MATIÈRESii3.1.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.3 Condition nécessaire de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 Séries de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.1 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3.2 Séries à termes de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Séries de Fourier 17

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 Joseph Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.2 Première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Coe¢ cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.1 Formes exponentielle et réelle; somme de Fourier . . . . . . . . . . . . . 18

4.2.2 Propriétés des coe¢ cients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Théorèmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.1 Egalité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3.2 Convergence des séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4 Sommes de Fourier de signaux usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.4.1 Signal en créneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4.2 Signal en triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.1.2 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2.1 Dé...nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2.2 Résolution de l"équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2.3 Recherche d"une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 31

5.2.4 Utilisation d"une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3.1 Dé...nitions et structure des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.2 Résolution de l"équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3.3 Recherche d"une solution particulière et solution générale . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATIÈRESiii5.3.4 Utilisation d"une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Développements limités 38

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.1.2 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6.2 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.2 Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.2.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.1 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6.3.4 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.3.5 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4 Développements limités usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6.4.3 Puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.4.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Transformation de Laplace 44

7.1 Introduction et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.1 Pierre Simon de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.2 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.1.3 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.4 Intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.1.5 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2 Transformée de Laplace d"une fonction causale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.1 Dé...nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.2 Résultats essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

7.2.3 Transformées fondamentales usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7.2.4 Théorèmes complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

7.3 Applications à l"analyse du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3.1 Transformée inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.3.3 Circuit RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bibliographie 56

Présentation du programme

Ce cours traitegrosso mododes items suivants composant le programme :

1. Nombres complexes 2.

2. Suites numériques 2.

3. Fonctions d"une variable réelle.

5. Séries numériques et séries de Fourier.

6. Transformation de Laplace

7. Transformation enz.

9. Fonctions de deux ou trois variables.

10. Calcul matriciel.

11. Calcul des probabilités 1.

12. Calcul vectoriel.

v

Chapitre 1

Préliminaires

1.1 Dé...nitions préalables

1.1.1 Factorielle

1.1.1.1 Dé...nitionSoitnun entier naturel. Lafactorielleden, notéen!;est le nombre

entier : n! = 1:2:3::nsin>1;

0! = 1, par convention.

1.1.1.2 ExempleOn a :5! = 1:2:3:4:5 = 120:

1.1.1.3 RemarqueIl est souvent utile de noter que(n+ 1)! = (n+ 1):n!.

1.1.1.4 RemarqueLa croissance den!est extrêmement rapide. Par exemple,50! = 3;0414

10 64:

1.1.2 Sommations

1.1.2.1 NotationSi lesaisont des objets (nombres, matrices, fonctions...) que l"on peut

sommer, on dé...nit : nX k=1a k=a1+a2++an, oùnpourra être+1:

1.1.2.2 PropositionLa somme est unopérateur, i.e.C-linéaire :

X k(ak+bk) =X ka k+X kb k, X k(ak) =X ka k, pour tout2C. 1

1. Préliminaires21.1.2.3 ExempleOn a, pourz2C:

3 X p=0i:(zp+ 1)p!=i3X p=0z pp!+i3X p=01p! =i+iz+iz22 +iz36 +i+i+i2 +i6

1.1.2.4 ExerciceMontrer que :nX

k=1k=n(n+ 1)2

1.1.2.5 ExerciceMontrer que :

n X k=1k 2=13 (n+ 1)312 (n+ 1)2+16 n+16 =16 n(n+ 1)(2n+ 1):

1.1.3 Combinaisons

1.1.3.1 Dé...nitionOn appellecoe¢ cient binômialun nombre entier donné, pourk6n;

par : C kn=n!k!(nk)!:

1.1.3.2 RemarquePlusieurs observations sont nécessaires. D"abord, c"est bien un entier, ce

qui sera démontré dans la suite. Ensuite, ce nombre est parfois noté aussin k. En...n, plus

concrètement, il représente le nombre de façons de prendre (sans ordre)kéléments parmin.

Son rôle est très important en probabilités, mais aussi de manière générale dans les autres

domaines.

1.1.3.3 ThéorèmeSoientk6n:On a les relations très importantes suivantes :

C kn=Cnkn; C kn+Ck+1n=Ck+1n+1: Preuve.La première relation est évidente. La deuxième nécessite juste un calcul simple

(partir du membre de gauche).1.1.3.4 RemarqueLa deuxième relation estfondamentale. Elle prouve, de proche en proche,

que les coe¢ cients binômiaux sont bien des entiers. Mais aussi et surtout, elle fournit un moyen

bien simple de calculer et de représenter ces coe¢ cients : le triangle de Pascal (il semble en fait

que ce soit plus ancien...).

1. Préliminaires3nk012345678

01 111
2121
31331

414641

515101051

61615201561

7172135352171

818285670562881

Bien observer les propriétés de ce tableau (en particulier celles données par le théorème)

n"est pas une perte de temps!

1.2 Polynômes

1.2.1 Rappels

1.2.1.1 Dé...nitionOn dit qu"une fonctionP:C!Cest unpolynôme de degré ns"il

existe des coe¢ cients complexesa0;;an,anétant non nul, tels que :

P(z) =nX

k=0a k:zk=a0+a1:z++an:zn:

1.2.1.2 ExempleLes trinômes du second degré à coe¢ cients réels sont des polynômes de

degré 2. Les polynômes de degré 0 sont les nombres complexes.

1.2.1.3 PropositionSin2Net sizetasont deux complexes, alors :

z nan= (za)n1X k=0z n1kak= (za)(zn1+zn2:a++z:an2+an1): Preuve.Développer le membre factorisé; les termes s"annulent presque tous.1.2.2 Factorisation

1.2.2.1 ThéorèmeSoitP(z)un polynôme de degrén. AlorsP(b) = 0ssiP(z) = (zb)Q(z)

, oùQest un polynôme de degré(n1).

1. Préliminaires4Preuve.SiP(z) = (zb)Q(z);alors il est évident queP(b) = 0:

Réciproquement, notonsP(z) =a0+a1:z++an:zn:PuisqueP(b) = 0;on a0 = a

0+a1:b++an:bn:Ainsi, en utilisant la proposition précédente :

P(z)0 = (a0+a1:z++an:zn)(a0+a1:b++an:bn)

=a1:(zb) ++an:(znbn) =a1:(zb) ++an:(zb)(zn1+zn2:b++z:bn2+bn1) = (zb)Q(z), oùQest un polynôme de degré(n1):

C"est ce qu"il fallait montrer.1.2.2.2 RemarqueCe théorème estfondamental, mais aussi très utile dans des cas simples.

Il ne faut pas oublier qu"il est bien sûr aussi valable pour des nombres réels (puisqueRC)!

1.2.2.3 ExempleSupposons qu"une parabolefcoupe l"axe des abscisses aux points1et5,

et que son minimum soit de1:On trouve facilement la forme factorisée de l"équation de cette parabole. On applique 2 fois le théorème : f(x) = (x1):g(x),gde degré 1 s"annulant en 5 = (x1)(x5):h(x),hde degré 0, i.e.h(x)est une constante:

Ensuite, l"extremum d"une parabole se situe au milieu de ses 2 racines (éventuelles), c"est-à-dire

ici en3. Ainsi,1 =f(3) = (31)(35):=4:Soit=14 ;i.e.f(x) =14 (x1)(x5).

1:pdf:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfwidthbp0:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfwidth:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfheightbp0:=windows=TEMP=graphics=swp00011:pdfheight1.2.2.4 ExempleSupposons que l"on sache que la fonctionf(x) =x33x2+2x6s"annule

pourx= 3(par exemple en le devinant graphiquement et en le véri...ant algébriquement). On

sait par le théorème quef(x)se factorise en(x3)g(x), oùgest un trinôme du second degré.

On poseg(x) =ax2+bx+c:Puis, en développant(x3)g(x)et en identi...ant avecf(x);on obtientf(x) = (x3)(x2+ 2):

1. Préliminaires5x

33x2+2x6:/windows/TEMP/graphics/swp0001

2:pdf:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfwidthbp0:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfwidth:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfheightbp0:=windows=TEMP=graphics=swp00012:pdfheight1.2.2.5 RemarqueAu lieu d"identi...er les termes pour trouver les coe¢ cients polynômiaux,

1.2.3 Formule du binôme

1.2.3.1 ThéorèmeSiaetbsont deux nombres complexes, et sinest un entier, alors :

(a+b)n=nX k=0C kn:akbnk: Preuve.Supposer que la formule est vraie au rangn, puis la démontrer au rang(n+ 1),

en utilisant la relation(a+b)n+1= (a+b)(a+b)n.1.2.3.2 ExempleDéveloppons(a+b)4:On lit la ligne n4 du triangle de Pascal (correspondant

àn= 4). On y trouve les coe¢ cients binômiaux qui nous intéressent ici, i.e. lesCk4. Ainsi :

(a+b)4= 1:a4+ 4:a3b+ 6:a2b2+ 4:ab3+ 1:b4:

1.2.3.3 RemarqueLes coe¢ cient binômiaux jouent un rôle important en dénombrement. Ici,

observons la formule du théorème. Notons que : (a+b)n= (a+b)(a+b)(a+b)|{z} n fois: Trouver (dans le développement) le coe¢ cient deakbnk, c"est compter le nombre de facons de prendre, dans le membre de droite ci-dessus,ktermes\a"parmin. DoncCknreprésente bien le nombre de manières de prendrekéléments parmin.

1.2.3.4 ExercicePourquoi le raisonnement précédent est-il aussi valable si l"on compte les

\b"au lieu des\a"?

1. Préliminaires61.3 Rappels sur les nombres complexes et la trigonomé-

trie

1.3.1 Nombres complexes

complexes privé de0. La lettreidésigne le complexe de carré1(en électricité ce nombre est

notéj, a...n d"éviter la confusion avec l"intensité).

1.3.1.2 PropositionUn nombre complexezpeut s"écrire :

1.z=x+iy, oùxetysont deux réels (forme algébrique);

2. sizest non nul,z=ei, où >0et2R(forme trigonométrique).

1.3.1.3 RemarqueOn rappelle que, par dé...nition,ei= cos+isin. De plus, le nombre0

n"a pas de forme trigonométrique (on ne peut dé...nir son argument).

1.3.1.4 Dé...nitionDans ces conditions :

1.xest lapartie réelledez, notéeRe(z), etyest lapartie imaginairedez, notée

Im(z).

2.est lemoduledez(notéjzj), etl"argumentdez(notéarg(z)). Cet angle (en

radians) est dé...ni à2kprès,kappartenant àZ.

1.3.1.5 Dé...nitionLamesure principaled"un angle est celle comprise dans];].

1.3.1.6 PropositionSiz=a+ib=ei2C, alors=pa

2+b2,cos() =a

etsin() =b

Propriétés élémentaires1.3.1.7 Dé...nitionSiz=a+ib2C, on appelle conjugué dezle nombrez=aib.

1.3.1.8 PropositionOn azz=jzj2.

Preuve.Poserz=a+ib, puis faire tout simplement le calcul.1.3.1.9 PropositionSoientz1=1ei12Cetz2=2ei22C. On a les relations suivantes :

1.z1z2=12ei(1+2);

1. Préliminaires72.

z1z 2=1

2ei(12);

3.z

1=1ei1.

Formules remarquables1.3.1.10 ThéorèmeSiest un réel, et sinest un entier naturel, alors on a laformule de

Moivre:

(ei)n=ein, c"est-à-dire(cos+isin)n= (cosn+isinn):

1.3.1.11 ThéorèmeSixest un réel, alors on a lesformules d"Euler:

cosx=eix+eix2 etsinx=eixeix2i.

1.3.1.12 RemarqueCes formules sont des outils essentiels, elles permettent par exemple de

linéariser un polynôme trigonométrique.

1.3.2 Trigonométrie

1.3.2.1 RemarqueLes formules essentielles se trouvent dans le formulaire, il ne s"agit pas de

les recopier ici... Il faut revoir les cosinus et sinus des angles remarquables. On donne juste une formule, dans le but d"observer sa démonstration.

1.3.2.2 PropositionSiaetbsont deux réels, on a les formules suivantes :

cos(a+b) = cosacosbsinasinb; sin(a+b) = sinacosb+ cosasinb. Preuve.On remarque queei(a+b)= cos(a+b) +isin(a+b), et on calcule : cos(a+b) +isin(a+b) =ei(a+b) =eiaeib = (cosa+isina)(cosb+isinb) = (cosacosbsinasinb) +i(sinacosb+ cosasinb): En identi...ant parties réelles et imaginaires, on a montré d"un coup les deux formules.

Chapitre 2

IntégrationSoientfetgdeux fonctionscontinuessur un intervalleIdeR, et soientaetbdansI.2.1 Généralités

2.1.1 Dé...nition de l"intégrale

2.1.1.1 Dé...nitionUneprimitivedefest une fonctionFdérivable surIet véri...antF0=f.

2.1.1.2 ThéorèmeLa fonctionfpossède des primitives.

Preuve.Hors programme, et admise. Remarquons qu"en terminale, ce résultat n"était additive.

2.1.1.4 Dé...nitionLa fonctionF:x7!Rx

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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