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Professeur en classes préparatoires. Maths. Première année. M P S I. P C S I. P T S I HACHETTE LIVRE 2010 43 quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15.
Cours de Mathématiques
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Alain Soyeur - François Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron23 mars 2011
Table des matières1 Nombres complexes19
1.1 Le corpsCdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20
1.1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.2 Construction deC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.3 Propriétés des opérations surC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.1 Partie réelle, partie imaginaire d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 Représentation géométrique des complexes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Représentation d'Argand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2 Interprétation géométrique de quelques opérations .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4 Module d'un nombre complexe, inégalités triangulaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.1 GroupeUdes nombres complexes de module1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 Exponentielle imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Argument, fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.1 Argument d'un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6.2 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7 Racinesn-ièmes de l'unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 33
1.8 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.1 Racines carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9 Nombres complexes et géométrie plane . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 37
1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 37
1.9.3 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 38
1.10 Transformations remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.10.1 Translations, homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 38
1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11.1 Forme algébrique - Forme trigonométrique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.11.2 Polynômes, équations, racines de l'unité . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.11.3 Application à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.11.4 Application des nombres complexes à la géométrie . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11.5 Transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2 Géométrie élémentaire du plan62
2.1 Quelques notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.1.1 Addition vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.2 Produit d'un vecteur et d'un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.1.3 Vecteurs colinéaires, unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 64
2.2 Modes de repérage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.1 Repères Cartésiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.2 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 67
2Équation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 68
2.2.3 Repères polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 69
Équation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 70
2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 70
2.3.2 Interprétation en terme de projection . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.4 Interprétation en termes de nombres complexes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4 Déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 72
2.4.2 Interprétation en terme d'aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.3 Propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4.4 Interprétation en terme de nombres complexes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4.5 Applicationdudéterminant: résolutiond'unsystèmelinéairede Cramer dedeuxéquationsà deux
inconnues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 74
2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.1 Préambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.2 Lignes de niveau deMu.AM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.5.3 Lignes de niveau deMdet
u,AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.5.4 Représentation paramétrique d'une droite . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.5.5 Équation cartésienne d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.5.6 Droite définie par deux points distincts . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.7 Droite définie par un point et un vecteur normal . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.8 Distance d'un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.9 Équation normale d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.5.10 Équation polaire d'une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallèles . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6 Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 81
2.6.2 Équation cartésienne d'un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.6.3 Représentation paramétrique d'un cercle . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6.4 Équation polaire d'un cercle passant par l'origine d'un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.5 Caractérisation d'un cercle par l'équationMA.MB0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.6.6 Intersection d'un cercle et d'une droite . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.7.1 Produit scalaire et déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.7.2 Coordonnées cartésiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7.3 Géométrie du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 99
2.7.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.7.6 Lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Géométrie élémentaire de l'espace113
3.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.1 Combinaisons linéaires de vecteurs, droites et plansdans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.2 Vecteurs coplanaires, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.1.3 Orientation de l'espace, base orthonormale directe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2 Mode de repérage dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 116
Calcul algébrique avec les coordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 116
Norme d'un vecteur, distance entre deux points dans un repère orthonormé . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.2 Coordonnées cylindriques et sphériques . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 119
3.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.3.3 Propriétés du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.4 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.1 Définition du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4.2 Interprétation géométrique du produit vectoriel . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
33.4.3 Propriétés du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Interlude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 122
Quelques exemples d'applications linéaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . . . . . . . . . . 123
3.4.4 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Déterminant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 124
3.5.2 Expression dans une base orthonormale directe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.3 Propriétés du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.5.4 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6 Plans dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.6.1 Représentation paramétrique des plans . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.6.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Interprétation géométrique de l'équation normale . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Position relative de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 129
3.6.3 Distance d'un point à un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Deux méthodes de calcul de la distance d'un point à un plan . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.7 Droites dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7.1 Représentation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7.2 Représentation cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
3.7.3 Distance d'un point à une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.7.4 Perpendiculaire commune à deux droites . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.8 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 134
3.8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 134
3.8.2 Sphères et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8.3 Sphères et droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.9.1 Produits scalaire, vectoriel et mixte . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.9.2 Coordonnées cartésiennes dans l'espace . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.9.3 Sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 147
4 Fonctions usuelles151
4.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.1.1 Logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.1.2 Exponentielle népérienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.1.3 Logarithme de base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.1.4 Exponentielle de basea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.1.6 Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2 Fonctions circulaires réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.2.1 Rappels succincts sur les fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2.4 Fonction Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.3.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 166
Tangente hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 168
4.3.2 Formulaire de trigonométrie hyperbolique . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.3.3 Fonctions hyperboliquesinverses . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Fonction argument sinus hyperboliqueargsh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Fonction Argument cosinus hyperboliqueargch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Fonction Argument tangente hyperboliqueargth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.5 Fonction exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.6.1 Fonctions exponentielles, logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.6.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.6.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
45 Equations différentielles linéaires198
5.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.2 Deux caractérisations de la fonction exponentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.2.1 Caractérisation par une équation différentielle . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.2.2 Caractérisation par une équation fonctionnelle . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.3.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 199
5.3.2 Résolution de l'équation différentielle homogène normalisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.3.3 Résolution de l'équation différentielle normaliséeavec second membre . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.3.4 Détermination de solutions particulières . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Superposition des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 203
Trois cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 203
Méthode de variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 205
5.3.5 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 206
5.3.6 Méthode d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 209
5.4 Équations différentielles linéaires du second ordre . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.2 Résolution de l'équation différentielle homogène dusecond ordre dansC. . . . . . . . . . . . . . 210
5.4.3 Résolution de l'équation différentielle homogène dusecond ordre dansR. . . . . . . . . . . . . . 212
5.4.4 Équation différentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.5.1 Équations différentielles linéaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.5.2 Équations différentielles linéaires du second ordreà coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . 221
5.5.3 Résolution par changement de fonction inconnue . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.5.4 Résolution d'équations différentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
5.5.5 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord
des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 225
5.5.6 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 227
6 Étude des courbes planes230
6.1 Fonctions à valeurs dansR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 230
6.1.2 Dérivation du produit scalaire et du déterminant . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.2 Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.2 Étude locale d'un arc paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Étude d'un point stationnaire avec des outils de terminale,première période . . . . . . . . . . . . 234
Étude d'un point stationnaire avec les développements limités, seconde période . . . . . . . . . . 234
Branches infinies des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.2.3 Étude complète et tracé d'une courbe paramétrée . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.3 Etude d'une courbe polairef(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 244
6.3.2 Etude d'une courbef(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.3.3 La cardioïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 246
6.3.4 La strophoïde droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.4.1 Fonctions vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.4.2 Courbes en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.4.3 Courbes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 263
7 Coniques271
7.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.1.1 Définition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.1.2 Équation cartésienne d'une conique . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.1.3 Équation polaire d'une conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.2 Étude de la parabole :e1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.3 Étude de l'ellipse :0e1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.4 Étude de l'hyperbole :1e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7.5 Définition bifocale de l'ellipse et de l'hyperbole . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.6 Courbes algébriques dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 286
57.7.1 En général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 286
7.7.2 Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 286
7.7.3 Ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 288
7.7.4 Hyperboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 291
7.7.5 Coniques et coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.7.6 Courbes du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 295
8 Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements304
8.1 Ensemble des entiers naturels - Récurrence . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.1.1 Ensemble des entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.1.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.1.3 Suite définie par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
8.1.4 Notationset. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
8.1.5 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
8.2 Ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 308
8.2.2 Propriétés des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.2.3 Applications entre ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.3 Opérations sur les ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.4 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.4.1 Nombre dep-listes d'un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 312
8.4.2 Nombre d'applications d'un ensemble fini dans un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.4.3 Arrangement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 313
8.4.4 Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 313
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.5.1 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.5.2 Sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 323
8.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 325
8.5.4 Factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.5.5 Coefficients binomiaux, calculs de somme . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
8.5.6 Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 332
9 CorpsRdes nombres réels339
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
9.2 Le corps des réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.3 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.4 Majorant, minorant, borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
9.5 Droite numérique achevée
R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3439.6 Intervalles deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 344
9.7 Propriété d'Archimède . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.8 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.9 Densité deQdansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.10.1 Inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 347
9.10.2 Borne supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 348
9.10.3 Rationnels, irrationnels, densité . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
9.10.4 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 353
10 Suites de nombres réels354
10.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 354
10.1.2 Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.2 Convergence d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
10.2.1 Suites convergentes, divergentes . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
10.3 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.3.1 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.3.2 Limites et relations d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
10.3.3 Limites infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 361
10.4 Suite extraite d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.5 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
10.5.1 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
610.5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.5.3 Approximation décimale des réels . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.5.4 Segments emboités et théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10.6 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.7 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.7.2 Suite dominée par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.7.3 Suite négligeable devant une autre . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.7.4 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.8 Comparaison des suites de référence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 374
10.9.1 Avec les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 374
10.9.2 Convergence,divergence de suites . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
10.9.3 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
10.9.4 Suites monotones et bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
10.9.5 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 389
10.9.6 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 390
10.9.7 Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
10.9.8 Suites équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
10.9.9 Étude de suites données par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
10.9.10Étude de suites définies implicitement . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
11 Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles414
11.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.1.1 L'ensembleF(I,R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.1.2 Fonctions bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 415
11.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 416
11.1.4 Parité périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.1.5 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
11.2 Limite et continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.2.1 Voisinage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 418
11.2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 418
11.2.3 Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.2.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 423
11.2.5 Limite à gauche, à droite, continuité à gauche, à droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11.2.6 Limites et relation d'ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
11.2.7 Théorème de composition des limites . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
11.2.8 Image d'une suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
11.2.9 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
11.3 Étude locale d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
11.3.1 Domination, prépondérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 429
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 429
Opérations sur les relations de comparaison . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 430
11.3.2 Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 430
Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 431
11.4 Propriétés globales des fonctions continues . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.4.1 Définitions et propriétés de base . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 433
Opérations sur les fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 434
11.4.2 Les théorèmes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
Le théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 434
Fonction continue sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 436
Fonctions uniformément continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 438
Théorème de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 438
11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.5.1 Avec les définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.5.2 Limites d'une fonction à valeurs réelles . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.5.3 Comparaison des fonctions numériques . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
711.5.4 Continuité des fonctions numériques . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
11.5.5 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
11.5.6 Continuité sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
11.5.7 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
11.5.8 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
11.5.9 Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
11.5.10Bijection continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
12 Dérivation des fonctions à valeurs réelles469
12.1 Dérivée en un point, fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
12.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 469
12.1.2 Interprétations de la dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 470
Interprétation cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 471
Interprétation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 471
12.1.3 Dérivabilité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
12.1.4 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 472
12.2 Opérations sur les dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
12.3 Étude globale des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
12.3.1 Extremum d'une fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
12.3.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 475
Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 476
Interprétation cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 476
12.3.3 Égalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
12.3.4 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
12.3.5 Application : Variations d'une fonction . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
12.3.6 Condition suffisante de dérivabilité en un point . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
12.4 Dérivées successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
12.4.1 Dérivée seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 479
12.4.2 Dérivée d'ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
12.4.3 Fonctions de classeCn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
12.5 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
12.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 486
12.6.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 486
12.6.2 Dérivées d'ordren, formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494
12.6.3 Applications de la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
12.6.4 Recherche d'extrémums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 501
12.6.5 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 501
12.6.6 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
12.6.7 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord
des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 508
12.6.8 Études de suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
12.6.9 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 512
12.6.10Équations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
13 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles517
13.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
13.1.1 Subdivision d'un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
13.1.2 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
13.1.3 Intégrale d'une fonction en escaliers . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
13.1.4 Propriétés de l'intégrale d'une fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
13.2 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
13.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
13.2.2 Approximation des fonctions continues par morceauxpar les fonctions en escalier . . . . . . . . . 522
13.2.3 Intégrale d'une fonction continue par morceaux . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
13.2.4 Propriétés de l'intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
13.2.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
13.2.6 Nullité de l'intégrale d'une fonction continue . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
13.2.7 Majorations fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
13.2.8 Valeur moyenne d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
13.2.9 Invariance de l'intégrale par translation . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
813.3 Primitive et intégrale d'une fonction continue . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
13.4 Calcul de primitives et d'intégrales . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
13.4.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
13.4.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
13.4.3 Changement de variable affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
13.4.4 Étude d'une fonction définie par une intégrale . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
13.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
13.5.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
13.5.2 Inégalité de Taylor-Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
13.5.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 539
13.5.4 Utilisation des trois formules de Taylor . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
13.6 Méthode des rectangles, Sommes de Riemann . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
13.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 546
13.7.1 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
13.7.2 Calcul d'intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
13.7.3 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 547
13.7.4 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
13.7.5 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
13.7.6 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 554
13.7.7 Calcul de primitives et d'intégrales - Techniques mélangées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
13.7.8 Propriétés de l'intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
13.7.9 Majorations d'intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
13.7.10Limite de fonctions définies par une intégrale . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
13.7.11Théorème fondamental, étude de fonctions définies par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
13.7.12Suites dont le terme général est défini par une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
13.7.13Algèbre linéaire et intégration . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
13.7.14Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 590
13.7.15Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 592
14 Développements limités596
14.1 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
14.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 596
14.1.2 DL fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 596
14.1.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 597
14.1.4 DL et régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 598
14.2 Développement limité des fonctions usuelles . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
14.2.1 Utilisation de la formule de Taylor-Young . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
14.3 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
14.3.1 Combinaison linéaire et produit . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
14.3.2 Composée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 600
14.3.3 Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 601
14.3.4 Développement limité d'une primitive . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 605
14.4.1 Calcul de développements limités . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
14.4.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 615
14.4.3 Applications à l'étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
14.4.4 Branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 627
14.4.5 Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
14.4.6 Applications à l'étude de suites . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
14.4.7 Applications à l'étude locale des courbes paramétrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
14.4.8 Application aux équations différentielles linéaires du premier ordre avec problèmes de raccord
des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 637
15 Propriétés métriques des arcs639
15.0.9 Difféomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 639
15.0.10Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 640
15.1 Propriétés métriques des courbes planes . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
15.1.1 Longueur, abscisse curviligne d'un arc paramétré . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
15.1.2 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 642
15.1.3 Calcul pratique de la courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
15.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 650
915.2.1 Calcul de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 650
15.2.2 Calcul de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 650
15.2.3 Développée, développante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
15.2.4 Exercices divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 653
16 Suites et fonctions à valeurs complexes655
16.1 Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
16.2 Continuité des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
16.3 Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
16.4 Intégration des fonctions à valeurs complexes . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
16.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 661
16.5.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 661
16.5.2 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 661
16.5.3 Intégrales et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
17 Notions sur les fonctions de deux variables réelles664
17.1 Continuité des fonctions à deux variables . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
17.2 Dérivées partielles, fonctionsC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 668
17.3 Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672
17.4 Extremum d'une fonction à deux variables . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673
17.5 Dérivées partielles d'ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676
17.6 Exemples d'équations aux dérivées partielles . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
17.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 683
17.7.1 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
17.7.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
17.7.3 Fonctions de classeC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
17.7.4 Dérivées de fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
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