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FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Jean Chanzy

Université de Paris-Sud

1 Définition de la fonction "ln» :

Définition 1On appellelogarithme népériendu réelm >0, l"unique solutionade l"équationex=m.

On note cette solutiona= ln(m).

Définition 2On appellefonction logarithme népérien la fonction qui, à tout réelx >0associe le réelln(x), tel que : x >0et y= ln(x)?ey=x

Propriétés de la fonctionln:

1.Relations fonctionnelles :

ln(1) = 0etln(e) = 1 ln(a×b) = ln(a) + ln(b) ln?1 b? =-ln(b), ln ?a b? = ln(a)-ln(b) ln(an) =nln(a) ln(p⎷a) =1pln(a).

2.Identités :

(a)?x?R,ln(ex) =x, (b)?x >0,eln(x)=x. On peut définir la fonctionlnd"une autre manière :

Conséquence de la définition 2 et définition 3Il existe une unique fonctionfdéfinie et dérivable

sur]0,+∞[telle que?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,f(a×b) =f(a) +f(b), etf?(1) = 1. Cette fonction

est la fonction logarithme népérien.

Démonstration

: Remarquons d"abord que?a?]0,+∞[,f(a×1) =f(a)+f(1), doncf(1) = 0. Soit la fonction définie sur]0,+∞[telle queg(x) =f(ax)-f(x), avec?a >0.g(x) =f(a)+f(x)-f(x), donc gest constante. Commegest dérivable,g?(x) =af?(ax)-f?(x) = 0, d"oùaf?(ax) =f?(x). Pourx= 1, on obtientaf?(a) =f?(1) = 1. Doncf?(a) =1 a,?a >0. Si on poseu(x) =f(x)-ln(x),?x?]0,+∞[, u ?(x) = 0, etuest une fonction constante. Commeu(1) =f(1)-ln(1) = 0,u= 0, et?x?]0,+∞[, f(x) = ln(x). Réciproquement, la fonctionlnvérifie les conditions de l"énoncé.?

2 Étude de la fonction logarithme népérien :

On considère la fonction :

ln : ]0,+∞[→R x?→y= ln(x)tel que x=ey ?Université de Paris-Sud,Bâtiment 425;F-91405 Orsay Cedex 1

1.Ensemble de définition :La fonctionlnest définie sur]0,+∞[.

2.Limites et asymptotes :

Pour la fonctionln, on a les limites suivantes,?n?N: lim x→0+ln(x) =-∞limx→+∞ln(x) = +∞ lim x→0+xln(x) = 0 limx→+∞ln(x) x= 0 lim x→0+xnln(x) = 0 limx→+∞ln(x) xn= 0

On retiendra la règle suivante : à l"infini, toute fonction puissance l"emporte toujours sur la fonction

logarithme népérien et impose sa limite.

On a aussilimx→0

x?=0ln(1 +x) x= 1, ce qui découle du calcul du nombre dérivé en0de la fonctionln. Pour xsuffisamment petit,ln(1 +x)est donc très proche dex, ce que l"on peut écrireln(1 +x)≂x. On constate également que l"axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe de la fonctionlnen-∞.

3.Sens de variation :

La fonctionlnest définie, continue et dérivable sur]0,+∞[. On aln?(x) =1x, ?x?]0,+∞[, donc?x?]0,+∞[,ln?(x)>0, etlnest une fonction strictement croissante sur ]0,+∞[. x ln ?(x) ln(x)0

4.La bijectionln:

Comme la fonctionlnest continue sur]0,+∞[, puisque dérivable sur]0,+∞[,

et qu"elle est strictement croissante sur]0,+∞[, c"est une bijection de]0,+∞[surR, et on a alors :

ln(x) = 0?x= 1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a) = ln(b)?a=b(bijection), ln(x)>0?x >1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)>ln(b)?a > b(croissance), ln(x)<0?0< x <1?a?]0,+∞[,?b?]0,+∞[,ln(a)5.Tangente particulière : Enx= 1, le nombre dérivé delnest1, donc l"équation de la tangente

à la courbe enx= 1esty=x-1.

6.Courbe représentative :

O? i? j xy y= ln(x) 2

3 Logarithme décimal :

Définition 4On appellefonction logarithme décimalla fonction notéelogqui, à tout réelx >0

associe le réellog(x) =ln(x) ln(10).

Propriétés de la fonctionlog:

1. La fonctionlogest définie et dérivable sur]0,+∞[, etlog?(x) =1

xln(10).

2. La fonctionlogest strictement croissante sur]0,+∞[, carln(10)>0.

3.Relations fonctionnelles :

log(1) = 0etlog(10) = 1 log(a×b) = log(a) + log(b) log?1 b? =-log(b), log ?a b? = log(a)-log(b) log(an) =nlog(a) log(p⎷a) =1plog(a).

5.Identités :

(a)?x?R,log(10x) =x, (b)?x >0,10log(x)=x.

4 Fonctions composées avecln:

Soituune fonction définie, dérivable et strictement positive surun intervalleIdeR. On considère

la fonction composéeg= ln◦u.

Propriétés

1. La fonctiongest définie, dérivable surIetg?(x) =u?(x)

u(x). Le signe deg?(x)est le même que celui deu?(x).

2. Les fonctionsuetg= ln◦uont les mêmes variations surI.

3. Soitaun nombre réel donné, ou+∞, ou-∞, et soitb?R+:

(a) Silimx→au(x) = +∞, alorslimx→aln(u(x)) = +∞, (b) Silimx→au(x) = 0+, alorslimx→aln(u(x)) =-∞, (c) Silimx→au(x) =b, alorslimx→aln(u(x)) = ln(b).

5 Fonctions exponentielles de basea:

Définition 5Soitaun réel strictement positif et différent de1.

On appellefonction exponentielle de base a

la fonctiongqui, à toutx?Rassocie le réelax= e xln(a).g(x) =ax=exln(a).

Propriétés

1. Pour tout réelx,ln(ax) =xln(a),

2. Pour tous réelsxety,ax×ay=ax+y,ax

ay=ax-y,(ax)y=axy,

3. La fonctiongest dérivable surRetg?(x) =axln(a),

4. (a) Sia >1,limx→+∞g(x) = +∞etlimx→-∞g(x) = 0,

3 (b) Si0< a <1,limx→+∞g(x) = 0etlimx→-∞g(x) = +∞.

5.Variations deg:

(a) Sia >1, x g ?(x) g(x)-∞+∞ 0 (b) Si0< a <1, x g ?(x) g(x)-∞+∞ 0- O?i? j xy y=ax a >1y=ax

0< a <1

6 Fonction " racine n-ième » :

Soientn?N?etx >0. Le réeln⎷xse note aussix1noue1nln(x). La fonctionhqui, à toutx >0 associe le réele1 nln(x)est la fonction " racine n-ième ».

Propriétés

1. la fonction " racine n-ième » est définie, dérivable et strictement croissante sur]0,+∞[, et sa

dérivée esth?(x) =1 nx1 n-1,

2.limx→+∞h(x) = +∞etlimx→0+h(x) = 0.

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