[PDF] MATH´EMATIQUES Logarithmes exercices et corrigés

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MATHEMATIQUES

Logarithmesexercices et corriges

Compile le 29 octobre 2002R. Lefevre28/10/2002Logarithmes

LogarithmesCONTENU DU DOCUMENTContenu du document

1 EXERCICES 2

1.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.3 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.4 Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.5 Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.6 Exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.7 Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.8 Exercice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.9 Exercice 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.10 Exercice 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 CORRIGES 7

2.1 Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.2 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.3 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.4 Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.5 Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.6 Exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92.7 Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.8 Exercice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.9 Exercice 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152.10 Exercice 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Exercices & corriges-1/16 -

Logarithmes1 EXERCICES

1.1 Simplier manuellement le plus possible, puis verier avec une calculatrice :

6;234p6;2

3p45 1.2 Il y a au moins deux approches dierentes pour calculer manuellement 64 23.

Proposer celle qui vous semble la plus simple.

1.3 Dans les calculs, il est souvent utile de passer de la forme exponentielle a la forme logarithmique, et inversement.

Quelques exemples :

x n=y,logxy=n 7

2= 49,log749 = 2

log(x1) =a,10a=x1 lnx= 1;26,e1;26=x Changer les formes exponentielles, en formes logarithmiques :

3p8 = 2

61=163;6p91;84

Changer les formes logarithmiques, en formes exponentielles : log381 = 4 log51625=4 log927 =32Exercices & corriges-2/16 -

Logarithmes1.4 Exercice 41.4

Calculer, a l'aide des logarithmes decimaux, les nombres : log4346 log667 log948 1.5

Resoudre les equations

1: 2x= 7

100n= 1428

ln(x+ 1) = 0 ln2x= ln(x+ 1) 1.6

Tracer les graphes des fonctions :

f(x)= log3x g(x)= log2x 1.7 Le montant d'un capital, place a inter^et compose, est donne par : C n=Ci

1 +t100

n Ou : 8 :C nest le montant du capital place au bout denannees C iest le capital initial

test le taux, exprime en pour cent.Calculer le taux auquel il faudrait placer un capital initial de 3000, pour

qu'il soit double au bout de 10 ans.Avec le taux ci-dessus, calculer le nombre d'annees qu'il faudrait attendre

pour que le capital soit le triple du capital initial.Tracer la courbeC=f(n), avecn2[0 ; 20] .1La fonction exponentielle est denie sur l'ensemble des nombres reelsR, mais la fonc-

tion logarithme n'est denie que pourx2]0; +1[.Exercices & corriges-3/16 -

Logarithmes1.8 Exercice 81.8

Charge d'un condensateur

La tension aux bornes d'un condensateur sous tension constanteUsuit une loi de croissance exponentielle (Fig- 1). La valeur instantanee de cette tensionuCest une fonction du tempstet sa forme depend de la constante de temps du circuit=RC. Plus la constante de temps sera faible, plus le condensateur sera charge rapidement : u C=U0

1etRC1

ACuCURFig.1 {On considere en pratique, qu'un condensateur est completement charge (uCU), au bout d'un temps egal a 5RC. En eet, le produitRCetant exprime en secondes, on a : t=RC)uC=U1e10;63U t= 2RC)uC=U1e20;86U t= 3RC)uC=U1e30;95U t= 4RC)uC=U1e40;98U t= 5RC)uC=U1e50;99U On voit bien, qu'au bout d'un temps egal a 5RC, le condensateur est charge a plus de 99% de sa valeur nale.

Application numerique

Un condensateurC= 1000Fest charge, au travers d'une resistance

R= 68k

, par une source de tension continueU= 20V.Calculer le temps necessaire pour que la tension aux bornes du conden-

sateur soit egale a 15V.Tracer la courbeuC=f(t)Exercices & corriges-4/16 -

Logarithmes1.9 Exercice 91.9

La loi de Fechner

L'oreille humaine presente une particularite remarquable. Il faut doubler la puissance sonore, la pression acoustique, pour qu'elle percoive une augmenta- tion. Celle-ci est percue comme continue si la puissance initiale est multipliee successivement par 2, puis 4, 8, etc... Autrement dit, la sensation auditive n'est pas proportionnelle a l'exitation, mais a son logarithme : C'est la loi de Fechner

2. Ceci a conduit a exprimer

les accroissements, ou les attenuations, de telle sorte qu'ils varient assez peu alors que les rapports eux-m^emes varient dans des proportions beaucoup plus grandes, d'ou l'utilisation du logarithme decimal. Par convention, on exprime le rapport de deux grandeurs, puissance ou tension, en decibels (dB). On a ainsi :{Le gain en puissance : G

P= 10logPSPE{Le gain en tension :

G

V= 20logVSVE

Application numerique

Le gain en tension d'un amplicateur (Fig- 2), estGV= 47dB:VVA E

SFig.2 {Calculer la valeur du rapport des tensionsAV=VSVEQuelle est la valeur de la tension de sortie, avecVE= 25mV?2Dans une cha^ne de reproduction sonore, par exemple, le potentiometre est souvent

remplace par un commutateur a plots qui, d'une position a la suivante, permet d'obtenir une puissance double en sortie. Ainsi, a une rotation continue de la commande de volume

de l'amplicateur correspond, a l'oreille, une sensation d'accroissement continu.Exercices & corriges-5/16 -

Logarithmes1.10 Exercice 101.10

La magnitudeMd'un seisme d'intensiteI, est mesuree sur l'echelle de

Richter parM= logII0

ouI0est une intensite de reference. L'energieE (en joules) liberee au foyer du seisme, est liee a la magnitude par la formule, logE=a+bM

ouaetbsont des constantes.Placer sur l'echelle de Richter les seismes :{San Francisco, en 1906 :I= 1;78108I0{Los Angeles, en 1971 :I= 5;01106I0Determiner les valeurs deaetb, sachant qu'un seisme de magnitude 8

met en jeu environ 30 000 fois plus d'energie qu'un seisme de magnitude

5, lui-m^eme liberant une energie de 0;21020J.Exercices & corriges-6/16 -

Logarithmes2 CORRIGES

2.1

6;234p6;2 = 6;2(3+14)

= 6;2134 = 6;23;25376;0743p45=3p210

3p293p2

= 2 33p2
= 8

3p210;082.2

6423=3p642=3p212= 24= 166423=

6413

2=3p642= 42= 162.3

3p8 = 2,813= 2,log82 =1361=16,log616

=13;6p91;84,913;61;84,log91;8413;6log381 = 4,34= 81Exercices & corriges-7/16 -

Logarithmes2.4 Exercice 4log51625

=4,54=1625log927 =32,932= 272.4 log4346 =y,4y= 346 ,log4y= log346 ,ylog4 = log346 ,y=log346log4,log43464;2173log667 =y,6y= 67 ,ylog6 = log67 ,y=log67log6,log6672;3467log948 =y,9y= 48 ,ylog9 = log48 ,y=log48log9,log9481;76192.5

2x= 7,log2x= log7

,xlog2 = log7 ,x=log7log2,x2;807Exercices & corriges-8/16 - Logarithmes2.6 Exercice 6100n= 1428,log100n= log1428 ,nlog100 = log1428 ,n=log14282,n1;5773ln(x+ 1) existe ssi :x+ 1>0,x >1

D'ou :Df= ]1; +1[

Ainsi : ln(x+ 1) = 0,x+ 1 =e0

,x+ 1 = 1,x= 0

D'ou :S=f0gln2xexiste ssi : 2x >0,x >0

ln(x+ 1) existe ssi :x+ 1>0,x >1

D'ou :Df= ]0; +1[

Ainsi : ln2x= ln(x+ 1),2x=x+ 1

,x= 1

D'ou :S=f1g2.6

Pour tracer les graphes des fonctionsf(x)= log3xetg(x)= log2x, il n'est pas possible d'utiliserdirectementun traceur de fonctions, qui ne dispose ge- neralement que des fonctions log

10xet lnx, voire que de cette derniere. Il y a

deux methodes pour y parvenir :

2.6.1 Manuellement

Fonctions reciproques :Les fonctions a tracer sont un cas particulier de la fonction generale log ax, ouaest un nombre entier quelconque, et il faut revenir sur la notion defonction reciproque: La fonction reciproque d'une fonctionf(x)donnee, est une nouvelle fonction notee 3f1 (x), et obtenue en permutant variable et fonction, dans l'ecriture de la

fonction initiale. Deux exemples (Fig- 3) :3C'est cette notation de la fonction reciproque qui la fait souvent appeleeinverse. Ce

terme, bien que largement employe (calculatrices), ne semble pourtant pas tres approprie...Exercices & corriges-9/16 -

Logarithmes2.6 Exercice 6O

OFig.3 { Les fonctionsf(x)=x2,f1

(x2)=pxet,f(x)=ex,f1 (ex)= lnxf(x)=x2,y=x2f1!x=y2,y=px f (x)=ex,y=exf1!x=ey,y= lnx Graphes des fonctions reciproques :Les graphes de deux fonctions reci- proques,dans l'intervalle ou elles sont denies ensemble, est symetrique par rapport a la premiere bissectrice du systeme d'axes. On trace alors point par point les fonctions reciproquesf1 (x)= 3xetg1 (x)= 2xpuis, par symetrie, les fonctionsf(x)= log3xetg(x)= log2x. Autre approche :En utilisant la denition de deux fonctions reciproques, faire un tableau (1) de valeurs pour les fonctionsf1 (x)= 3xetg1 (x)= 2x. (1) xf1x= 3xg1x= 2x1;50;190;35

10;330;5

0;50;580;7

011

0;51;731;4

132

1;55;22;8Exercices & corriges-10/16 -

Logarithmes2.6 Exercice 6Faire ensuite un tableau de valeurs par fonction a tracer, en permutant variable et fonction (2 et 3), puis construire point par point chacun des graphes (Fig- 4 et 5). (2) xf(x)= log3x0;191;5 0;331

0;580;5

10

1;730;5

31

5;21;5

(3) xg(x)= log2x0;351;5 0;51

0;70;5

10

1;40;5

21
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