[PDF] La fonction logarithme népérien

•lna=0?a=1

•lna

•lna<0?0

•lna>0?a>1

Remarque :Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéqua- tions. On veillera à mettre l"équation ou l"inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l"équation ou de l"inéquation.

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TABLE DES MATIÈRES

Exemples :

•Résoudre ln(2-2x) =1.

On met l"équation sous la forme : ln(2-2x) =lne l"équation est valide si, et seulement si, 2-2x>0 c"est à direx<1

On a alors :x<1 et 2-2x=esoitx=2-e

2 On a 2-e

2<1 car2-e2? -0,36.

On conclut alors :S=?2-e

2?

•Résoudre ln(2x+1)<-1

On met l"inéquation sous la forme : ln(2x+1)0 soitx>-1 2

On a alors :x>-1

2et 2x+1

On a :

e-1-1

2=1-e2e? -0,32 donc-12

On conclut par :S=?

-1

2;1-e2e?

2 Propriétés de la fonction logarithme népérien

2.1 Relation fonctionnelle

Théorème 3 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b

Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab

On conclut donc que lnab=lna+lnb.

Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme.

Exemple :ln2+ln3=ln6

2.2 Quotient, inverse, puissance et racine carrée

Théorème 4 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna

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2. PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

Démonstration :

•Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle.

On aelna

b=abetelna-lnb=elnaelnb=abd"où la propriété : ln a b=lna-lnb •Pour la deuxième propriété, on faita=1 •La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit.

•Pour la dernière propriété : on aa=⎷a×⎷adonc d"après la propriété du

produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=12lna Exemples :Voici 3 exemples d"utilisation de ces propriétés. •Exprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷12 avec ln2 et ln3

On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5

On a 12=22×3 donc ln⎷

12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3

Déterminer l"entierntel que 2n>10 000

On a donc : ln2

n>ln104soitnln2>4ln10

On obtient alors :n>4ln10

ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 Résoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6?

On a alors

1

2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)

soit lnx(2x-3) =2ln(6-x)

L"équation revient à :

x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2

2x2-3x=x2-12x+36

x

2+9x-36=0

On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15

2=3?Dfetx??=-9-152=-12 /?Df

on conclut par :S={3}

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TABLE DES MATIÈRES

3 Étude de la fonction logarithme népérien

3.1 Dérivée

Théorème 5 :La fonction logarithme népérien est dérivable sur]0;+∞[et : (lnx)?=1 x Démonstration :On admet que la fonction ln est continue sur]0;+∞[ On revient à la définition de la dérivée, c"est à dire on cherchelesa?]0;+∞[pour lesquels la limite suivante est finie : lim x→alnx-lna x-a Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable. Onpose alors X=lnxetA=lna. On a alorsx=eXeta=eAet six→a, comme la fonction ln est continue sur]0;+∞[, alorsX→lna. La limite devient alors : lim

X→lnaX-A

eX-eA Or la fonction exponentielle est dérivable surRet la dérivée en lnaestelna: lim

X→lnae

X-eA

X-A=elna=a

Cette limite est strictement positive poura?]0;+∞[. On en déduit que la limite suivante existe pour touta?]0;+∞[et : lim

X→lnaX-A

eX-eA=1a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur]0;+∞[et(lnx)?=1 x.

3.2 Limite en 0 et en l"infini

Théorème 6 :On a les limites suivantes :

lim x→+∞lnx= +∞et limx→0+lnx=-∞

Démonstration :

•Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition : Pour toutM>0, si lnx>Malors, comme la fonction exp est croissante, x>eM. Il existe donc un réelA=eMtel que six>Aalors lnx>M.

Conclusion : lim

x→+∞lnx= +∞.

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