[PDF] FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)





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FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la fonction logarithme népérien. Propriétés : ( ). 0 ln 1 lim. 1 x x x. →. +. = Démonstration 



FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

I × =0 par croissance comparée de la fonction exponentielle et des fonctions puissances. Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la 



La fonction logarithme népérien

03‏/12‏/2014 Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et (ln x)′ = 1 x . 3.2 Limite en 0 et en l'infini. Théorème 6 : On a les limites ...



Fiche technique sur les limites

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +∞ et en 0. En + ∞ lim x→+∞ ln(x) x. = 



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites aux bornes. Propriété : lim x→+∞ lnx = +∞ et lim x→0 x>0 lnx = −∞. On peut justifier ces ...



FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME

Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. La fonction logarithme népérien



Limites dans la fonction logarithme népérien Techniques de

On peut se dire (mais pas l'écrire) en cas de forme indéterminée



La fonction Logarithme népérien

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+∞[. La fonction est négative sur ]0 ;1[ et positive. ]1 ;+∞[. Sa limite en + 



Exponentielle et logarithme

logarithme (népérien) sont des fonctions réciproques : leurs courbes ... Croissance comparée et limites particulières lim x→−∞ xex = 0 lim x→+∞ ex x = + ...



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN EXERCICES CORRIGES

Déterminer les limites suivantes : 1). (. ) 2 lim ln x x x. →+∞. +. 2). ( ) lim En utilisant les propriétés de la fonction logarithme népérien puisque ...



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

La fonction ln est continue sur 0;+????? donc pour tout réel a > 0



Fiche technique sur les limites

Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +? et en 0. En + ? lim x?+? ln(x) x. = 



FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN (Partie 2)

Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la fonction logarithme népérien. Méthode : Déterminer une limite par croissance comparée. Vidéo 



Limites dans la fonction logarithme népérien Techniques de

On peut se dire (mais pas l'écrire) en cas de forme indéterminée



La fonction logarithme népérien

3 déc. 2014 Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0; +?[ et (ln x)? = 1 x . 3.2 Limite en 0 et en l'infini. Théorème 6 : On a les limites ...



FONCTION LOGARITHME NEPERIEN (Partie 2)

0;+????? et donc la fonction logarithme népérien est concave sur cet intervalle. 4) Limites aux bornes. Propriété : lim x?+? lnx = +? et lim.



Fonction logarithme népérien

Calculer les limites de fonctions comportant des logarithmes `A l'aide de la dérivée de la fonction ln en 1 on obtient la limite suivante :.



formulaire.pdf

Logarithme et Exponentielle : eln x = ln(ex) = x ln 1 = 0 ln(ab) = ln(a) + ln(b) ln(a/b) = ln(a) ? ln(b) ln(1/a) = ? ln(a) ln(. ?a) = ln(a)/2 ln(a?) = ? 



FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME

Remarque : Dans le cas de limites infinies la fonction exponentielle impose sa limite La fonction logarithme népérien



La fonction Logarithme népérien

La fonction ln est strictement croissante sur ]0 ;+?[. La fonction est négative sur ]0 ;1[ et positive. ]1 ;+?[. Sa limite en +? est :.

1

FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN

- Chapitre 2/2 Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/VJns0RfVWGg Partie 1 : Étude de la fonction logarithme népérien

1) Continuité et dérivabilité

Vidéo https://youtu.be/3KLX-ScJmcI

Propriété : La fonction logarithme népérien est continue sur

0;+∞

Propriété : La fonction logarithme népérien est dérivable sur

0;+∞

et ln()

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/wmysrEq4XIg

Rappel : /

En posant :

=ln(), on a : / =(ln())′

Or /

=1.

Donc : (ln())′

=1

Soit : (ln())′=

Méthode : Calculer une dérivée contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/yiQ4Z5FdFQ8

Dériver la fonction définie sur

0;+∞

par : ln() 2

Correction

ln()

Avec :

ln() =2× 1

×ln()

=1 2×

×ln()×-

ln() ×1

2ln()-

ln() ln()×(2-ln 2

2) Variations

Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel >0,

ln() >0

3) Convexité

Propriété : La fonction logarithme népérien est concave sur

0;+∞

Démonstration :

Pour tout réel >0,

ln() ln() <0 Donc la fonction logarithme népérien est concave.

4) Limites aux bornes

Propriétés : lim

ln()=-∞ et lim ln()=+∞ On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :

0 +∞

ln() ln()

5) Tangentes en 1 et en

Rappel : Une équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse est de la forme :

Dans le cas de la fonction logarithme népérien, l'équation est de la forme : 1 +ln(). Au point d'abscisse 1, l'équation de la tangente est = 1 1 -1 +ln(1) soit : =-1. Au point d'abscisse , l'équation de la tangente est = 1 +ln() soit : 1 3

6) Courbe représentative

Valeurs particulières : ln(1)=0, ln()=1

Partie 2 : Croissance comparée des fonctions logarithme et puissances

Propriétés (croissances comparées) :

a) lim ln() =0 et pour tout entier naturel non nul , lim ln() =0 b) lim ln()=0 et pour tout entier naturel , lim 0 ln()=0 Démonstration du b. dans les cas où =1 (au programme) :

Vidéo https://youtu.be/LxgQBYTaRaw

En posant =ln(), on a : =

1 Or, si tend vers 0, alors =ln() tend vers -∞.

Donc : lim

ln()=lim

1→2/

1 ×=0 par croissance comparée de la fonction exponentielle et des fonctions puissances. Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la fonction logarithme népérien. 4 Méthode : Déterminer une limite par croissance comparée

Vidéo https://youtu.be/lA3W_j4p-c8

Vidéo https://youtu.be/OYcsChr8src

)lim -ln())lim ln() -1 )lim 1 +1)ln()

Correction

a) Il s'agit d'une forme indéterminée de type "".

Levons l'indétermination :

-ln()=1- ln() F

Par croissance comparée : lim

ln() =0,

Donc : lim

1- ln() =1.

Et donc, comme limite d'un produit : lim

G1- ln()

H=+∞

Soit : lim

-ln()=+∞. b) Il s'agit d'une forme indéterminée de type "".

Levons l'indétermination :

ln() -1 #2+ 1- I lim ln =0,parcroissancecomparée. lim 1- 1 =1

Donc, comme limite d'un quotient : lim

ln() 1- 1 0 1 =0

Soit : lim

ln() -1 =0. 1 +1)ln() 1 ln()+ln() S lim ln =0,parcroissancecomparée lim ln

Donc, comme limite d'une somme : lim

ln +ln()=-∞ Et donc, comme limite d'un quotient (inverse) : lim 1 2 ln()+ln() =0 5

Soit : lim

1 2 +1)ln() =0

Partie 3 : Études de fonctions

1) Cas de fonctions contenant la fonction ⟼ln()

Méthode : Étudier les variations d'une fonction contenant des logarithmes

Vidéo https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y

a) Déterminer les variations de la fonction définie sur

0;+∞

par =3-+2ln() b) Étudier la convexité de la fonction .

Correction

=-1+ 2

2-

Comme >0,

est du signe de 2-. La dérivée ′ est donc positive sur 0;2 et négative sur

2;+∞

On dresse le tableau de variations :

2 =3-2+2ln(2)=1+2ln(2) -1×-

2-

×1 --2+ -2 <0 On en déduit que la fonction est concave sur

0;+∞

Méthode : Étudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite d'équation =

Vidéo https://youtu.be/0hQnOs_hcss

Étudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite d'équation

0 2 +∞

+ 0 -

1+2ln(2)

6

Correction

On considère la fonction définie sur

0;+∞

par =-ln(). =1- 1 -1

Comme >0,

est du signe de -1. La dérivée ′ est donc négative sur 0;1 et positive sur

1;+∞

On dresse ainsi le tableau de variations :

1 =1-ln(1)=1

On en déduit que pour tout de

0;+∞

, on a =-ln()≥1>0 soit >ln(). La fonction logarithme est située en dessous de la droite d'équation =.

2) Cas de fonctions contenant la fonction composée ⟼ln(

Fonction Dérivée

ln()

Démonstration :

On pose :

=ln(), donc : ln() 1

Donc :

ln( , selon la dérivée d'une fonction composée. 1 Méthode : Dériver des fonctions du type ln()

Vidéo https://youtu.be/-zrhBc9xdRs

Dériver la fonction définie sur

0;2 par =ln

2-

Correction

=ln

2-

=ln(

0 1 +∞

- 0 + 1 7

Avec :

=2- =2-2

2-2

2-

Méthode : Étudier une fonction du type ln()

Vidéo https://youtu.be/s9vyHsZoV-4

Vidéo https://youtu.be/3eI4-JRKYVo

Vidéo https://youtu.be/CyOC-E7MnUw

On considère la fonction définie sur

-2;1 par : =ln +2

1-

F a) Calculer les limites de aux bornes de son ensemble de définition et en déduire les

équations des asymptotes à la courbe.

b) Déterminer le sens de variations de la fonction . c) Tracer la courbe représentative de .

Correction

a) lim #→2* Xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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