[PDF] Introduction à Mathematica Maxima est un logiciel libre

View - Download Introduction à Mathematica

Previous PDF

Next PDF

Introduction à MathematicaUPMC, Paris.

Julien Toulouse (julien.toulouse@upmc.fr)

Introduction

Qu'est-ce-que Mathematica ?

Mathematica est un logiciel de calcul formel et numérique développé par Wolfram Research. Il permet essentiellement de faire

du calcul formel (manipulation d'expressions mathématiques sous forme symbolique, par exemple : calcul de dérivées, de

primitives, simplication d'expressions, etc...) et du calcul numérique (évaluation d'expressions mathématiques sous forme

numérique; par exemple : calcul des premières décimales du nombre p, évaluation approchée d'intégrales, etc...). Mathematica

incorpore un langage de programmation sophistiqué et permet aussi de faire des graphiques. C'est un logiciel très utilisé en

enseignement, dans la recherche scientifique et dans l'industrie.

Ou trouver Mathematica ?

L'UPMC a une licence globale permettant d'installer Mathematica sur tous les ordinateurs d'enseignement. En particulier, il est

disponible sur les ordinateurs du L'UTES (Bâtiment Atrium), y compris ceux en libre service. La licence globale permet égale-

ment aux enseignants et aux étudiants d'installer Mathematica sur n'importe quel ordinateur personnel (à la maison). Pour cela,

connectez vous sur le site https://mon.upmc.fr, allez dans la rubrique "Mes Outils", puis suivez les instructions pour télécharger

et installer Mathematica. L'activation se fait par un mot de passe et nécessite l'appartenance à l'UPMC.

Quelques autres outils et logiciels

Wolfram Alpha (www.wolframalpha.com) est un outil en ligne gratuit répondant à toutes sortes de questions (qui doivent être

posées en anglais) et qui utilise une grande base de donnée et des calculs Mathematica. Il permet d'accéder avec un simple

navigateur internet à beaucoup de fontionnalités de Mathematica. Par exemple, la demande "derivative of sin(x)" (dérivée de

sin(x)) calcule la réponse "cos(x)" et donne au passage d'autres informations utiles (propriétés de la fonction, courbes, développe-

ments limités, etc...). A essayer !

Un autre logiciel de calcul formel et numérique très utilisé est Maple. Il a des capacités similaires à celles de Mathematica. Il est

également installé sur les ordinateurs du L'UTES.

Maxima est un logiciel libre et gratuit constituant une alternative aux logiciels commerciaux que sont Mathematica ou Maple,

avec néanmoins une interface graphique moins conviviale.

Matlab est un logiciel commercial de calcul numérique très utilisé, mais ne permet pas de faire du calcul formel. Scilab est un

logiciel libre alternatif à Matlab.

Débuter en Mathematica

Noyau et interface graphique

Mathematica est composé de deux parties : le noyau ("kernel") et l'interface graphique ("front end"). Le noyau constitue le coeur

du logiciel; il interprète les instructions d'entrée (écrites en langage Mathematica), puis calcule et retourne le résultat. L'interface

graphique s'occupe de l'interaction avec l'utilisateur. Elle gère le fichier de travail (souvent appellé "feuille Mathematica" ou

"notebook"), permet de taper les instructions et de visualiser les résultats. Le logiciel dispose aussi d'un traitement de texte,

permettant ainsi d'inclure du texte parmi les calculs effectués; ce document a d'ailleurs été rédigé avec Mathematica. Plusieurs

palettes d'outils sont disponibles pour aider à l'édition aussi bien de textes que d'expressions mathématiques (voir menu

"Palettes").

Un fichier Mathematica

Un fichier Mathematica, aussi appelé "notebook", a une extension ".nb". Il est structuré en cellules ("cells"). Une cellule est

constitué d'une ou de plusieurs lignes et est repérée par un crochet à droite du fichier. On peut avoir des cellules contenant des

instructions Mathematica (cellule de type "In"), des résultats de calculs (cellule de type "Out"), du texte (cellule du type "Text"),

un titre de paragraphe (cellule de type "Section"), etc ...

On peut sélectionner la totalité d'une cellule en cliquant sur son crochet à droite. On peut ensuite effacer (Ü), copier (â+c),

couper (â+x), coller (â+v) la cellule, comme dans un logiciel de traitement de texte normal. Par défaut, les nouvelles cellules

créées sont des cellules d'instructions Mathematica. On peut changer le type d'une cellule, après l'avoir selectionée, par le menu

"Format > Style".

Une cellule peut contenir plusieurs sous-cellules, formant ainsi des groupes structurés de cellules. Pour faciliter la lecture du

fichier, on peut ouvrir ou fermer des groupes de cellules en double-cliquant sur le crochet correspondant (ou en cliquant sur le

triangle à gauche du titre).

Pensez à sauvergarder souvent votre fichier Mathematica (menu "File", puis "Save" ou "Save As"), les mauvaises manipula-

tions étant fréquentes...

Menu Aide

Mathematica inclut une documentation exhaustive (voir le menu "Help", puis "Documentation Center" ou "Virtual Book"),

incluant de nombreux exemples directement exécutables dans les pages d'aide.

La commande "Find Selected Function" (ou touche "F1") est très pratique : dans un fichier Mathematica, après avoir placé le

curseur sur une instruction Mathematica, appuyez sur F1 pour afficher la page d'aide correspondante à cette instruction.

Mon premier calcul en Mathematica

On tape une instruction (par exemple "1+2"), puis on l'exécute en maintenant enfoncé la touche "Maj" ou "Shift" (Ý) et en

appuyant sur la touche "Entrée" (¿), le résultat ("3") s'affichant sur une nouvelle ligne :

In[1]:=1+2

Out[1]=3

Après exécution, la ligne d'instruction est désignée par "In" suivi du numéro de l'instruction depuis le démarrage du noyau. La

ligne de résultat est désignée par "Out" suivi du numéro de l'instruction correspondante.

Le noyau ("kernel") de Mathematica est démarré lors du premier calcul. Si un calcul prend trop de temps et que l'on décide d'y

renoncer en cours d'évaluation, on peut utiliser le menu "Evaluation", puis "Abort Evaluation". Parfois, il peut être également

utile de quitter puis rédemarrer le noyau, afin d'effacer de la mémoire tous les résultats des calculs précédents. Pour cela, on

utilise le menu "Evaluation" puis "Quit Kernel". Le noyau sera alors redémarré lors du prochain calcul.

2 cours_mathematica.nb

Le noyau ("kernel") de Mathematica est démarré lors du premier calcul. Si un calcul prend trop de temps et que l'on décide d'y

renoncer en cours d'évaluation, on peut utiliser le menu "Evaluation", puis "Abort Evaluation". Parfois, il peut être également

utile de quitter puis rédemarrer le noyau, afin d'effacer de la mémoire tous les résultats des calculs précédents. Pour cela, on

utilise le menu "Evaluation" puis "Quit Kernel". Le noyau sera alors redémarré lors du prochain calcul.

Calculs arithmétiques simples

Comme avec une calculatrice, on peut bien sûr faire de simples calculs arithmétiques avec Mathematica. Nous avons déjà vu

l'exemple d'une addition. Voici un exemple d'un calcul avec une soustraction (-), une multiplication (*) et une division (/) sur

des nombres décimaux :

In[2]:=H10.2-3.1L*6.22.9

Out[2]=15.1793

Voici l'exemple d'un calcul avec une puissance :

In[3]:=2^4

Out[3]=16

Par défaut, Mathematica simplifie les fractions mais ne donne pas de valeur décimale :

In[4]:=46

Out[4]=

2 3

Pour avoir une valeur décimale approché d'une expression, on peut utiliser la fonction "N" en donnant l'argument entre crochets :

In[5]:=N@46D

Out[5]=0.666667

In[6]:=H2+3IL*H4-5IL

Définir des variables

Il est souvent pratique de définir des variables mathématiques contenant une valeur numérique. Par exemple, pour définir une

variable nommée "x" et lui donner la valeur "5", on tape cours_mathematica.nb 3

In[7]:=x=5

Out[7]=5

Le signe "=" réalise ce que l'on appelle en informatique une "affectation" (et on dit qu'on affecte à "x" la valeur 5). Dans tous les

calculs suivants, Mathematica replacera la variable "x" par sa valeur :

In[8]:=x^2

Out[8]=25

La ligne suivante change la valeur de "x" :

In[9]:=x=6+8

Out[9]=14

Le nom d'une variable peut être composé de plusieurs lettres et chiffres, par exemple

In[10]:=abc5=78

Out[10]=78

mais le nom d'une variable ne peut pas commencer par un chiffre.

On peut taper des équations avec les variables que l'on a définies de la même manière qu'en mathématiques, par exemple :

In[11]:=H2x+abc5L4

Out[11]=

53
2 le signe de la multiplication (*) entre "2" et "x" n'est pas nécessaire. Pour effacer la valeur numérique d'une variable, on utilise la fonction "Clear" :

In[12]:=Clear@xD

On peut vérifier que la variable n'a alors plus de valeur numérique :

In[13]:=x

Out[13]=x

Quelques constantes mathématiques

4 cours_mathematica.nb

Quelques constantes mathématiques

Mathematica dispose de quelques variables déjà définies (constantes) et prêtes à être utilisées, par exemple :

- le nombre p

In[14]:=Pi

Out[14]=p

- le nombre e

In[15]:=E

Out[15]=ã

- le nombre imaginaire i

In[16]:=I

- l'infini ¥ :

In[17]:=Infinity

Out[17]=¥

Rappellons que pour forcer l'affichage d'une valeur décimale approchée, on peut utiliser la fonction "N". Voici les 100 premiers

chiffres de p :

In[18]:=N@Pi,100D

034825342117068

Définir des fonctions

On peut définir ses propres fonctions en Mathematica. Par exemple, pour définir la fonction f(x) = x2 , on tape :

In[19]:=f@x_D:=x^2

Dans la définition d'une fonction, on utilise habituellement le signe ": =" qui signifie une "affectation retardée", c'est-à-dire que

le membre de droite n'est pas évalué et affecté à f(x) lors de la définition de la fonction ci-dessus mais il sera évalué plus tard à

chaque utilisation de la fonction après substitution de "x" par une valeur. Parfois, on peut vouloir forcer l'évaluation du membre

de droite lors de la définition de la fonction et on utilise alors le signe de l'affection "="; mais il faut alors s'assurer que la

variable "x" ne contient pas de valeur. cours_mathematica.nb 5

Dans la définition d'une fonction, on utilise habituellement le signe ": =" qui signifie une "affectation retardée", c'est-à-dire que

le membre de droite n'est pas évalué et affecté à f(x) lors de la définition de la fonction ci-dessus mais il sera évalué plus tard à

chaque utilisation de la fonction après substitution de "x" par une valeur. Parfois, on peut vouloir forcer l'évaluation du membre

de droite lors de la définition de la fonction et on utilise alors le signe de l'affection "="; mais il faut alors s'assurer que la

variable "x" ne contient pas de valeur.

Dans le membre de gauche, l'argument "x" de la fonction est donné entre crochets et doit obligatoirement être suivi d'un tiret bas

"_" (ou "underscore"), ce qui informe Mathematica que "x" est une variable muette qui devra être remplacée par l'argument avec

lequel la fonction sera appelée. On peut alors appeler la fonction f avec comme argument "3" par exemple

In[20]:=f@3D

Out[20]=9

ou n'importe quelle expression, par exemple "2+4 z"

In[21]:=f@2+4zD

Out[21]=H2+4zL2

La fonction f peut être utilisée dans une expression quelconque

In[22]:=3+2y+5f@yD

Out[22]=3+2y+5y2

On peut définir des fonctions à plusieurs variables

In[23]:=g@x_,y_D:=x+yx^2

Comme pour les variables, on peut effacer les fonctions qui viennent d'être définies par la fonction "Clear" :

In[24]:=Clear@fD

In[25]:=Clear@gD

Quelques fonctions mathématiques

Mathematica dispose de nombreuses fonctions déjà définies.Voici quelques fonctions mathématiques courantes :

- racine carrée : x

6 cours_mathematica.nb

In[26]:=Sqrt@xD

Out[26]=x

- exponentielle :ex

In[27]:=Exp@xD

Out[27]=ãx

- logarithme népérien : ln(x)

In[28]:=Log@xD

Out[28]=Log@xD

- logarithme en baseb : logbHxL (le plus souvent, b=10)

In[29]:=Log@b,xD

Out[29]=

Log@xD

Log@bD

- fonctions trigonométriques :

In[30]:=Sin@xD

Out[30]=Sin@xD

In[31]:=Cos@xD

Out[31]=Cos@xD

In[32]:=Tan@xD

Out[32]=Tan@xD

In[33]:=ArcSin@xD

Out[33]=ArcSin@xD

cours_mathematica.nb 7

In[34]:=ArcCos@xD

Out[34]=ArcCos@xD

In[35]:=ArcTan@xD

Out[35]=ArcTan@xD

- valeur absolue : |x|

In[36]:=Abs@xD

Out[36]=Abs@xD

- factorielle : n !

In[37]:=n!

Out[37]=n!

ou

In[38]:=Factorial@nD

Out[38]=n!

A retenir : les fonctions Mathematica déjà définies commencent toujours par une majuscule. Placez le curseur sur une fonction et

appuyez sur F1 pour afficher la page d'aide de cette fonction. Si on se demande si Mathematica dispose d'une fonction partic-

ulière, ou si on a oublié le nom d'une fonction, le plus simple est de faire une recherche dans l'aide (menu "Help > Documenta-

tion Center").

Exemples de calculs formels

Mathematica dispose de fonctions très puissantes permettant d'effectuer toutes sortes de calculs formels. Quelques exemples :

- simplification de sinHxL2+cosHxL2

In[39]:=Simplify@Sin@xD^2+Cos@xD^2D

Out[39]=1

- développement de l'expression H2x+3LIx2-6M

8 cours_mathematica.nb

In[40]:=Expand@H2x+3LHx^2-6LD

Out[40]=-18-12x+3x2+2x3

- factorisation de l'expression x2-2x-3

In[41]:=Factor@x^2-2x-3D

Out[41]=H-3+xLH1+xL

- calcul de la dérivée de xn par rapport à x

In[42]:=D@x^n,xD

Out[42]=nx-1+n

- calcul d'un primitive de cos(x)

In[43]:=Integrate@Cos@xD,xD

Out[43]=Sin@xD

- calcul de l'intégrale Ù0

¥e-x2

âx

Out[44]=

p 2 - calcul de la limite de Hx-1LlnHx-1L quand x® 1

In[45]:=Limit@Hx-1LLog@x-1D,x->1D

Out[45]=0

- calcul du développement limité de cos(x) autour de x=0 à l'ordre 10

In[46]:=Series@Cos@xD,8x,0,10

Out[46]=1-x2

2+x4 24-x6

720+x8

40320-x10

3628800+O@xD11

- Résolution de l'équation x2-3x+2=0 en l'inconnue x cours_mathematica.nb 9 - Résolution de l'équation x2-3x+2=0 en l'inconnue xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] logiciel lego mindstorm ev3

[PDF] logiciel menu dvd

[PDF] logiciel miniature youtube

[PDF] logiciel photo dessin crayon gratuit

[PDF] logiciel plaquette commerciale

[PDF] logiciel poster scientifique

[PDF] logiciel pour créer journal scolaire

[PDF] logiciel pour créer un algorithme

[PDF] logiciel pour créer un livre de recette gratuit

[PDF] logiciel pour créer une bd gratuit

[PDF] logiciel pour créer une couverture de livre

[PDF] logiciel pour ecrire un livre

[PDF] logiciel pour écrire un roman

[PDF] logiciel pour écrire un scénario

[PDF] logiciel pour écrivain gratuit