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Exercices sur la structure
des raisonnementsExercices 1
a) 2 1 Dans le cas présent, trois prémisses convergent initialement vers une conclusion, maisExercices sur la logique
des propositionsExercices 2
1.RŽponses correctes
2.Les expressions a, j, l ne sont pas des propositions. Les expressions b,
d, f, h sont des pro 3.a) 4. a) faux6.a) vrai
p qp ? qp ? qp qp ? qp qp q V p q qp ? q V7.Les cinq propositions complexes peuvent tre formalisŽes de la man
e d c) LÕ‰me est Žternelle, quÕelle soit ou non dÕessence divine. e d) QuÕelle soit ou non dÕessence divine, lÕ‰me est ou nÕest pas Žternelle. e ¬e e) QuÕelle soit ou non dÕessence divine, lÕ‰me est et nÕest pas Žternelle. e ¬e de lÕexercice 34), d) est vrai dans tous les cas o a) est vrai, qui est lui-mme vrai dans tous les cas o c) est vrai, qui est lui-mme vrai dans tous les cas o b) est vrai, qui est lui-m me vrai dans tous les cas o e) est vrai. LÕordre du plus probable au moins probable est donc : d) ; a) ; c) ; b) ; e).8.Les quatre propositions complexes peuvent tre formalisŽes de la m
g b) LÕinformatique facilite la comptabilitŽ mais aussi la gestionc g c) LÕinformatique facilite la comptabilitŽ et facilite ou non la gesti on c (g¬g) d) LÕinformatique facilite la comptabilitŽ si et seulement si elle la complique c ¬c de lÕexercice 35), a) est vrai dans tous les cas o c) est vrai, qui est lui-mme vrai dans tous les cas o b) est vrai, qui est lui- mme vrai dans tous les cas o d) est vrai. LÕordre du plus probable au moins probable est donc : a) ; c) ; b) ; d).9.Sont mal formŽes les expressions
10.Ar pour Çt pour Ç
t ou ¬(r ¬t) r¬(r t)
¬(t r)
a pour Çb pour Ç b¬a ¬b ou ¬(b ¬a)
¬(b a)
¬(a b)
s pour Çc pour Ç c ou ¬c ¬s ou encore ¬(s ¬c) c pour Çp pour Ç p ou ¬p ¬c Lorsque plusieurs formalisations sont proposŽes, elles sont logiqueme nt Žquivalentes, 11.a) 12.A m¬(b m)
¬m¬b ¬m
m l s c) W r ¬x (la Ç x ou ¬x ¬r (au sens strict, Ǭi p
¬r¬(f r)
(p m) ¬(d f) ¬(h v) ou encore ¬d ¬f ¬h ¬v ¬s ¬s e ou ¬e ¬i e ¬e) i ou plus simplement : i (r a) ou encore ¬[f ¬(ra)] (r m) ou encore p (¬m r)13.a)¬p q
¬p ¬q
¬q (¬r t) ou alors ¬r (q t) r) s p ou encore ¬p ¬r r) (q ¬r) ¬r) s ou encore s¬(t ¬q) ou encore t q
¬(p s)
(s t) ¬s¬r (¬s W t)
(s ¬t) s)14.a)¬(p q)
¬p q
p est vrai et q faux et quand p et q sont tous deux faux p et q sont faux, c'est à dire quand la garde15.(e d) [e (c f)]
p q¬(p q) V p¬p¬p q V p¬p¬q¬p qp ¬q¬p ¬q¬(p q) V e dc fe (c f)(e d) [e (c f)] a)16.a) qp faux et q faux
pp faux et q faux qp faux et q faux qp vrai et q vrai q) rp faux et q vrai (donc pq vrai) et r vrai (r s)p faux, q vrai (donc pWq vrai) et r faux, s faux (donc rs faux) ¬p ¬q) r ou (p q) rp faux et q faux (donc ¬p¬q vrai) et r faux pp vrai et q faux qp vrai et q faux 17.A = ¬a (bWc)
(ac)¬(abc)
Mer a) g cFFFFVVFF b) t ¬sVVFFFFFF c) g uFFFVVVVV d) g W tVVVVVVVV e)¬s W ¬dFFVVFFFF
f) s gVVFFVVVV g) (c d) gVVVVVVVV h) g (c d)VVVVVVFF i)(t c)(c¬d)FFFFFFVV a¬abWcAacBababcC V d)19.En niant une tautologie, on obtient nécessairement une contradiction,
puisque tous les20.a) [(p q) ¬p] ¬q
q) q] p q) (¬p q)] q p¬p¬qpq(pq) ¬p[(pq) ¬p] ¬q V pq(pq) q[(pq) q] p V p¬ppq¬pq(pq) (¬pq)[(pq) (¬pq)] q V d)¬(pq) (¬p¬q) (q r)] [(p q) (p r)] q) r] [(p r) (q r)] pq¬(pq)¬p¬q¬p¬
q¬(pq) (¬p¬q)
V prp(qr)pqpr(pq) (pr)Formule V pq(pq)rprqr(pr)(qr)Formule V g)¬p ¬q) r] [(p q) s]} (r s) q) (¬p q) est valide q) q n'est ni valide ni contradictoire q) (p q) est valide q) (¬p ¬q) n'est ni valide ni contradictoire q) (¬p ¬q) n'est ni valide ni contradictoire q) p] p est valide¬p q) (p ¬q) est contradictoire
q) (q r) est valide ¬p) (q ¬q) est contradictoire q) [(q m) (p m)] est valide (q p) est valide¬p (p q) est valide
q) (p ¬q) est valide q) (q r) (p r) est valide q) (q p) est valide p¬p¬q¬p¬q(¬p¬q)rpq(pq) s[(¬p¬q)r]
[(pq)s]r sFormule V21.a) ¬(p r) ¬r
(q r)] ¬(q r)} ¬p r) q] [q (p q)]} (p q) pr¬(pr)¬r[¬(pr)] ¬r V V pr(pr)qpqq(pq)[(p r)q] [q (pq)]p qFormule V d) p) (r s) (¬q r)] (p s)22.a)¬s ¬r) d] r s} ¬d
d) i] (m i) ¬d) e] ¬e} (¬s d) : Raisonnement valide ¬m) a] [¬a (¬e m)]¬h ¬i) (h ¬i)] (i h)
q) [(w r) q] [(q r) w]} (w q) (l s)] ¬(l g) ¬(g s ¬c) (c ¬m) (m g)} ¬p 23.a)pprs(qp)(rs)¬q¬qr(q p)(r s) (¬q r)p sFormule V conclus que ¬p, ¬q ¬(pq) alors que jÕaurais dž ramiÞ¬p et dÕautre
¬q.
, je conclus que ¬r¬ q) ˆ (p¬q) alors que jÕaurais dž ramiÞ¬r et¬ q).
26.DŽmontrer quÕune formule nÕest ni valide ni contradictoire, cÕ
est dŽmontrer quÕon peut la {[(p q) p] q} (p q) p, q (p q) p, q (p q), p, q p, p, qq, ¬p, q OO q) p] q [(p q) p]¬q O (p q) p, q O p p O {[(p q) q] p} (p q) q, p p q, q, p p, q, q, pX¬p, ¬q, q, ¬p
X c) p, p q, q q, p q, q X p, p, qX¬p, q, ¬q
X¬{[(p q) (¬p q)] q}
(p q) p q), q p q, p q, q (p q) p q)} (p q), p q p q, p q p q, ppq, ¬q p, pXq, ¬p
Op, ¬q
Oq, ¬q
X (p q), p q) p, q, p q) p, q, p, q X (p q) p q) (p q), p q) p q, p q) p q, p, q¬p, ¬q, ¬pO ¬p, ¬q, ¬q
O p q, p, q p, p, qOp, p, q
O (p q), p qquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] logique mathématique exercices corrigés pdf
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