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Lois de probabilités avec la calculatrice grap

hique Graph 35+ USB pour le lycéewww.casio-education.fr

Par Benoît Truchetet

Ce guide est dédié à Madame Meyniel ancien chef d"établissement, mes collègues et anciens élèves

du lycée polyvalent privé Albert de Mun (Paris 7 e ) qui m"ont permis chacun à leur niveau de me plonger dans l"univers des calculatrices CASIO. 1

Dans ce manuel dédié à l'utilisation de la calculatrice graphique Fx - CG20, j'ai voulu mettre en avant

divers problèmes qui permettent de balayer les possibilités techniques et mathématiques de ce formidable

outil.

Pour garder une envie de se positionner personnellement dans les différents exercices, les solutions ne

sont que partiellement formulées. Il restera donc, à charge au lecteur de s'approprier les problèmes ainsi

que leurs démonstrations.

Le but n'est pas dans cet ouvrage de proposer un manuel de prise en main de la calculatrice ni un manuel

de résolutions mathématiques formalisées mais, bien de créer l'envie de rentrer dans cette belle aventure

qu'est la résolution d'une question mathématique ouverte.

L'idée, dans les différents questionnements que propose cet écrit, reste de susciter l'envie et de créer la

rupture entre un exercice classique de mathématiques où la réponse exacte est unique voire pré-formaté

par des connaissances apprises et digérées.

Ainsi, nous allons voir qu'il n'est pas forcément évident d'avoir une réponse unique et juste ! Le paradoxe

de Bertrand va nous conduire dans un domaine d'espaces probabilisés où chacune des réponses sera

exacte et pourtant différente de la précédente.

Le travail autour du pavage turc va nous conduire à changer de registre : au lieu de résoudre un problème

en le modélisant géométriquement, nous allons l'exporter dans le monde de l'origami. Encore une fois :

pas de bonne réponse unique mais, deux visions d'un même énoncé pour deux modèles cohérents.

A travers quelques problèmes historiques, nous allons souligner le fait qu'un modèle peut s'avérer faux

ultérieurement comme pour l'approximation de Pi utilisé dans le papyrus Rhind ou l'utilisation d'une

parabole pour représenter une chainette, sans que cela ne nuise à une réponse approchée souvent

suffisante pour résoudre un questionnement.

Devrons-nous considérer la méthode d'Euler de la même façon à la fin de cette lecture ?

Pourrions-nous imaginer les notions de probabilité du même oeil après avoir vu notre impossibilité à

choisir le bon modèle ?

Devrions-nous continuer à nous limiter à la Mathématique ou utiliser la mécanique pour nous sortir d'une

impasse ? Pourrions-nous retrouver dans une mosaïque la méthode des bâtisseurs d'antan ?

A vous de conclure...

BLAISE Jean-Philippe

1

Sommaire

RÉGLAGES DE LA CALCULATRICE

A. ALLUMER ET ÉTEINDRE LA CALCULATRICE ..........................................3 a) Allumer la calculatrice ...........................................................3 b) Éteindre la calculatrice ...........................................................4 B. ENTRER DANS LE MENU DE SON CHOIX ..............................................4 C. METTRE EN FRANÇAIS LA LANGUE DE L'INTERFACE DE LA CALCULATRICE ............5 D. RÉGLER LE CONTRASTE DE LA CALCULATRICE .......................................6 E. RÉINITIALISER LES DONNÉES PRINCIPALES DE LA CALCULATRICE .....................7 F. RÉINITIALISER LES MÉMOIRES PRINCIPALES DE LA CALCULATRICE ....................9

LOIS DE PROBABILITES DISCRÈTES

I. LOI BINOMIALE B(n;p)

A. VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS ....................................................11 B. CALCULS À PARTIR DU MENU STATISTIQUE ..........................................12 a) Loi binomiale " simple » ........................................................12 b) Loi binomiale " cumulative » .....................................................14 c) Loi binomiale " inverse » ........................................................17 C. CALCULS À PARTIR DU MENU SUITES ...............................................20 a) Loi binomiale " simple » ........................................................20 .....................................21 Saisir la plage du tableau de valeurs ................................................22 b) Loi binomiale " cumulative » .....................................................24 .....................................24 Saisir la plage du tableau de valeurs ................................................26 d) Loi binomiale " inverse » ........................................................28 .....................................29 Saisir la plage du tableau de valeurs ................................................30 D. CALCULS À PARTIR DU MENU PROGRAMME .........................................32 a) Programme : Loi binomiale " simple » .............................................32 b) Programme : Loi binomiale " simple » et " cumulative » ...............................34 c) Programme : Loi binomiale " inverse » .............................................36 II. LOI DE POISSON P(m) ....................................................................38 A. VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS ....................................................38 B. CALCULS À PARTIR DU MENU STATISTIQUE ..........................................39 a) Loi de Poisson " simple » ........................................................39 b) Loi de Poisson " cumulative » ....................................................42 c) Loi de Poisson " inverse » .......................................................45 C. CALCULS À PARTIR DU MENU SUITES ...............................................47 a) Loi de Poisson " simple » ........................................................47 .....................................48 Saisir la plage du tableau de valeurs ................................................49 b) Loi de Poisson " cumulative » ....................................................51 .....................................52 Saisir la plage du tableau de valeurs ................................................53 c) Loi de Poisson " inverse » .......................................................55 .....................................56 Saisir la plage du tableau de valeurs ................................................57 D. CALCULS À PARTIR DU MENU PROGRAMME ..............................................59

a) Programme : Loi de Poisson " simple » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .59

b) Programme : Loi de Poisson " simple » et " cumulative » ...................................61

c) Programme : Loi de Poisson " inverse » ..................................................63 2

LOI DE PROBABILITÉ CONTINUE

LOI NORMALE ........................................................................ .......65 A. VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS ...........................................................65 B. CALCULS À PARTIR DU MENU STATISTIQUE ...............................................67 C. CALCULS À PARTIR DU MENU RUN ........................................................80 D. CALCULS À PARTIR DU MENU PROGRAMME ..............................................98 c) Programme : Loi normale inverse .....................................................104

INITIATION À LA PROGRAMMATION

A. SUPPORTS DE PROGRAMMATION ........................................................107 B. BASES DU MODE PRGM ...................................................................107 a) Accéder au mode programme .........................................................107 b) Créer une zone de texte pour saisir un nouveau programme ...............................108 c) E?acer un programme ...............................................................109 d) Editer un programme ................................................................110 e) Copier - Coller une partie d'un programme .............................................111 f) Éxécuter un programme .............................................................112 g) Quitter le mode PRGM et revenir au Menu Principal .....................................112 C. COMMANDES DE BASES ..................................................................113 a) A?cher un texte - E?acer un écran ....................................................113 b) Enregistrer une valeur dans une variable et a?cher son contenu ...........................113 c) E?acer le contenu d'un écran texte .....................................................114 D. BOUCLES ET CONDITIONS............................................................... 115 a) If, ?en, IfEnd ......................................................................115 b) If, ?en, Else, If.End .................................................................116 c) Lbl, Goto ........................................................................ ...117 d) For, To, Next ........................................................................ 118
e) While, WhileEnd ....................................................................119 f) Do, LpWhile ........................................................................ 120
E. MISES EN PRATIQUES DANS DIFFÉRENTS DOMAINES DES MATHÉMATIQUES ..............121 a) Programme " Calcul de la distance entre de deux points » .................................121

b) Programme " Passage à la caisse » .....................................................122

c) Programme " ABCD est il un parallélogramme ? » .......................................123

d) Programme " Simuler N lancers d'une pièce de monnaie non truquée » .....................126

e) Programme " Simuler N lancers d'un dé à six faces non truqué » ...........................127

f) Programme " Jeux du Devin » .........................................................129 F. MÉMENTO DES COMMANDES, FONCTIONS ET SYMBOLES UTILISÉS DANS CETTE INITIATION À LA PROGRAMMATION ........................................131 a) Saisie en utilisant une combinaison de touches ..........................................131 b) Saisie en utilisant la fonction Catalogue (CATALOG) ....................................133 Méthode 1 ....................................................................... ..133 Méthode 2 ....................................................................... ..133 Méthode 3 ....................................................................... ..134 3

RÉGLAGES DE LA CALCULATRICE

23

REGLAGES DE LA CALCULATRICE

A. Allumer et éteindre la calculatrice

a ) Allumer la calculatrice

Appuyer sur la touche

O pour allumer la calculatrice.

RÉGLAGES DE LA CALCULATRICE

54
b) Eteindre la calculatrice

Appuyer sur OFF à l'aide des touches

LO p our éteindre la calculatrice.

B. Entrer dans le menu de son choix

Application :

Entrer dans le menu PROGRAMME

A partir du Menu Principal (MAIN MENU)

Touche

p Se positionner à l'aide du pavé directionnel sur l'icône de son choix pour la mettre en surbrillance,

Valider à l'aide de la touche

l.

Ou plus rapidement, appuyer sur la touche 9

correspondant au numéro en bas à droite de l'icône du menu. 5 C. Mettre en français la langue de l'interface de la calculatrice

A partir du Menu Principal (MAIN MENU)

Touche

p Se positionner à l'aide du pavé directionnel sur l'icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance,

Valider à l'aide de la touche

l.

Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E.

à l'aide des touches aj.

Le mode Gestionnaire système (System Manager)

s'affiche.

Appuyer sur LANG à l'aide de la touche

e. Se positionner à l'aide du pavé directionnel sur Français p our le mettre en surbrillance.

Appuyer sur SEL à l'aide de la touche

q.

Appuyer sur la touche EXIT pour valider le choix.

4 76
Le menu de l'interface est maintenant en français.

Appuyer sur la touche EXIT pour revenir au menu

Gestionnaire Système.

Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu

p rincipal.

D. Régler le contraste de la calculatrice

A partir du Menu Principal (MAIN MENU)

Touche

p Se positionner à l'aide du pavé directionnel sur l'icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance,

Valider à l'aide de la touche

l.

Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E

à l'aide des touches aj.

Le mode Gestionnaire système s'affiche.

Appuyer sur

à l'aide de la touche q.

7 Pour augmenter le contraste, appuyer plusieurs fois sur la touche $. Pour diminuer le contraste, appuyer plusieurs fois sur la touche Pour revenir à l'état initial appuyer sur INIT à l'aide de la touche q.

Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu

p rincipal. E. Réinitialiser les données principales de la calculatrice

A partir du Menu Principal (MAIN MENU)

Touche

p Se positionner à l'aide du pavé directionnel sur l'icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance,

Valider à l'aide de la touche

l.

Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E

à l'aide des touches aj.

Le mode Gestionnaire système s'affiche.

Appuyer sur RSET à l'aide de la touche

y pour réinitialiser la calculatrice ou effacer les mémoires p rincipales. 6 98
Pour réinitialiser les données principales de la calculatrice :

Appuyer sur STUP à l'aide de la touche

q.

Appuyer sur

q pour valider votre choix.

Appuyer deux fois

sur la touche EXIT pour revenir au menu Gestionnaire système.

Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu

p rincipal. 9 F. Réinitialiser les mémoires principales de la calculatrice

A partir du Menu Principal (MAIN MENU)

Touche

p Se positionner à l'aide du pavé directionnel sur l'icône SYSTEM pour la mettre en surbrillance,

Valider à l'aide de la touche

l.

Ou plus rapidement, appuyer sur la touche E

à l'aide des touches aj.

Le mode Gestionnaire système s'affiche.

Appuyer sur RSET à l'aide de la touche

y pour réinitialiser la calculatrice ou effacer les mémoires p rincipales. Pour réinitialiser les mémoires principales de la calculatrice :

Appuyer sur MAIN à l'aide de la touche

w.

Appuyer sur

q pour valider votre choix. 8 1110

Appuyer deux fois

sur la touche EXIT pour revenir au menu Gestionnaire système.

Appuyer sur la touche MENU pour revenir au menu

p rincipal.

LOIS DE PROBABILITES DISCRÈTES

I. LOI BINOMIALE B(n;p)

11

LOIS DE PROBABILITES DISCRETES

I. LOI BINOMIALE B(n;p)

A. Vocabulaire et définitions

Loi Binomiale B(n;p)

Une variable aléatoire X suit la loi binomiale B(n;p) si : l'expérience est répétée n fois de manière aléatoire et indépendante, il y a 2 issues possibles : succès avec une probabilité de réalisation de p, échec avec une probabilité de non réalisation q = 1- p. La loi binomiale permet de donner la probabilité P d'obtenir k fois le même rés ultat lorsque l'on répète n fois la même expérience. knkk n )p1(pC)kX(P

Propriétés :

)p1(pn)X()p1(pn)X(Vpn)X(E 10

LOIS DE PROBABILITES DISCRÈTES

I. LOI BINOMIALE B(n;p)

1312

B. Calculs à partir du Menu STATISTIQUE

a ) Loi binomiale " simple »

Application :

Une cible est posée sur un mur.

Elle possède deux secteurs :

Le centre.

L'extérieur.

La probabilité d'atteindre :

Le centre est de 0,1.

L'extérieur est de 0,9.

En 10 lancers quelle est la probabilité d'atteindre 3 fois le centre ?

Réponse :

Soit X la VA représentant le nombre de fois ou l'on atteint le centre. C ette VA suit la loi binomiale B(10;0.1) en effet l'expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. I l y a 2 issues : atteindre le centre avec une probabilité de 0.1, ne pas atteindre le centre avec une probabilité de 0.9.

057.0)1.01(1.0C)3X(P

733
10

En 10 lancers la probabilité d'atteindre 3

fois le centre est de 0.057.

A partir du Menu Principal (MAIN MENU)

Touche

p Se positionner à l'aide du pavé directionnel sur l'icône STAT pour la mettre en surbrillance,

Valider à l'aide de la touche

l.

Ou plus rapidement appuyer sur la touche

2.

L'éditeur de listes s'affiche.

Appuyer sur DIST à l'aide de la touche

y pour entrer d ans le menu des lois de probabilités. 13

Appuyer sur BINM à l'aide de la touche

y pour entrer dans le menu de la loi binomiale.

Appuyer sur Bpd à l'aide de la touche

q.

Appuyer sur Var à l'aide de la touche

w. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de fois ou l'on atteint le centre. Cette variable aléatoire suit la loi binomiale B(10;0,1) en effet l'expérience est répétée 10 fois de manière aléatoire et indépendante.

Il y a 2 issues :

- atteindre le centre avec une probabilité de 0,1. - ne pas atteindre le centre avec une probabilité de 0,9.

Calculons P(X = 3).

Saisir les valeurs un

e à une. Se positionner à l'aide du pavé directionnel sur la ligne q u e l'on souhaite modifier pour la mettre en surbrillance.

Appuyer sur la touche

l pour valider chaque saisie.

A savoir :

N3l10l0.1l

Après chaque valeur saisie appuyer sur la touche EXE. Si vous ne modifiez pas une valeur, pour passer à la suivante appuyer sur la touche

N du pavé directionnel.

12 1514
Se positionner à l'aide du pavé directionnel sur la ligne

Execute pour la mettre en surbrillance

Appuyer sur CALC à l'aide de la touche q

p our lancer le calcul. En 10 lancers la probabilité d'atteindre 3 fois le centre est d 'environ 0.057. b) Loi binomiale " cumulative »

Application :

Une famille a 6 enfants. Calculer la probabilité pour qu'il y ait moins de garçons que de filles.

On suppose que la probabilité pour qu'un enfant soit un garçon est de 0,5.

Réponse :

Soit X la VA représentant le nombre de fois ou un enfant est un g arçon dans une famille. Cette VA suit la loi binomiale B(6 ;0.5) en effet l'expérience est répété 10 fois de manière aléatoire et indépendante. Il y a 2 issues : L'enfant est un garçon avec une probabilité de 0,5. L'enfant n'est pas un garçon avec une probabilité de 0,5. Pour qu'il y ait moins de garçons que de filles, il faut qu'il y ait 0 ; 1 ou 2 garçons. C alculons (2) (2)(0)(1)(2) PX

PXPXPXPX

006 6 115
6 224
6 (0)0.5(10.5)0,015625 (1)0.5(10.5)0,09375quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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