Chapitre 10. Problèmes de convergence et approximations en PDF

Quel est le paramètre de cette loi de Poisson? Quelles sont les valeurs possibles de la variable ? 2. Quelle est la probabilité d'observer plus de

Chapitre 10. Problèmes de convergence et approximations en

4. 2.2 Convergence en loi d'une suite de variables hypergéométriques vers une variable binomiale . . . 5. 2.3 Convergence en loi d'une suite de variables

LOI BINOMIALE – Feuille dexercices

b) Interpréter ces deux écarts-types. Page 5. En route vers le Grand Oral (problèmes : loi binomiale et probabilités conditionnelles).

7 Lois de probabilité

La variable aléatoire X suit une loi Binomiale de paramètres n et ? notée Bin (n

PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS

d'outils dans les problèmes d'estimation et de test. On dit que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p .

Exercices supplémentaires : Loi binomiale

Partie A : Loi binomiale. Exercice 1. Dans une région pétrolifère la probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est 0

Un nomogramme de la distribution cumulative binomiale

mettant de résoudre de nombreux problèmes liés à la distribution cumulative de la loi binomiale. On en trouvera ci-après une analyse détaillée.

Généralités sur les problèmes de léchantillonnage

GENERALITES SUR LES PROBLEMES DE L'ECHANTILLONNAGE ....................................... ... CAS GENERAL (TRAITEMENT DU PROBLEME PAR LA LOI BINOMIALE).

Exercices de Probabilités

3.1 Loi de Bernoulli loi binomiale . Exercice 12 (Problème des trois prisonniers). Trois prisonniers X

Hasard et probabilité dans les problèmes de circulation routière

Or la loi de Poisson est précisément la limite de la loi binomiale de probabilité lorsque l'une des éventualités envisagées est infiniment peu probable.

) =fxi=i2Ig? ?????E(X) =X i2Ix iP(X=xi) +1 1 tf(t)dt i=x imP(X=xi) ??????? ???? ?m=X i2Ix iP(X=xi) =X i=x iP((YE(Y))2V(Y))1 ???????=2V(Y)? ?? ???????P((YE(Y))22)V(Y) 2 ??(YE(Y))22, jYE(Y)j ? ??????V(Y) =2?

P(jYE(Y)> )<2

2,1P(jYE(Y)> )12

2,P(jYE(Y))12

??????? ? ?????Y ,! N(m;)?

P(jYmj ) = 1P((jYmj< ) = 1P(m < Y < m+) = 1

= 2 1 ??????? ??? ??????? ?? ??? ?? ?= 4?= 2;5? ????? = 1;6?? = 0;9452 ???? ???? ?? ???P(jYmj ) = 0;1096? 2

2= 0;3906? ????? ???? ??

??????? ? ?????Y ,! B(20;12 )? ?????=p5??E(Y) = 10? ??????? ??? ???????= 3?

P(jY10j 3) = 1P(7< Y <13)

= 112X k=8P(Y=k) = 112 2012X
k=8 20 k = 10;7368 = 0;2632 2 2 =59 = 0;555 10

2?????

)? ????Fn=Xn ?????E(Fn) =16 ??V(Fn) =536n? jFnE(Fn)j>1100 4? ???? ? 1P jFnE(Fn)j>1100 jFnE(Fn)j<1100 >15000036n ?? ?? ???????n??? ???P jFnE(Fn)j<1100 >0;95?

8 >0 limn!+1P(jXnXj> ) = 0

P(jXnXj> ) =P(jXnCj> ) = 1P(C < Xn< C+)

i=1X i??X n=Snn X n

E(Sn) =nX

i=1E(Xi) =nm? ????E(X n) =ESnn =1n

E(Sn) =m

V(Sn) =nX

????V(X n) =VSnn =1n

2V(Sn) =2n

nmj )2n 2

8 >0 limn!+1P(jX

nmj ) = 0 n?????? ?8 >0PX np14n2?? ?? ????? X n f ? ?? ??????14 ?? ? ???? ???? ?8p2[0;1]p(1p)14 ;A;p)? limn!+1Fn(x) =F(x)? ??????? ?????Xn,! U1n ;2n ;:::;nn ? ?????P(Xn=kn ) =1n ???? ???? ????x??[0;1]?Fn(x) =X kn x1n =X knx1n =1n [nx]? ??[y]??????? ?? ?????? ??????? ??y? ???? ???? ????y? <1n [nx]x [nx] =x

F?limn!+1(Fn(b)Fn(a)) =F(b)F(a) =P(a < Xb)?

???k12 k12 ;k+12

P(X=k) =P

k12 < Xk+12 =F k+12 F k12 lim n!+1P k12 < Xnk+12 =P k12 < Xk+12 ??? ??? ?????? ?? ??????? ???? ???? ???? ??????k??[[0;n]]? lim

N!+1P(XN=k) =P(X=k) =n

k p k(1p)nk ??????M=Np?

P(XN=k) =

M k NM nk N n =M!(NM)!n!(Nn)!k!(Mk)!(nk)!(NMn+k)!N! ???? ?P(XN=k) =n k M(M1)(M2):::(Mk+ 1)(NM)(NM1):::(NMn+k+ 1)N(N1)(N2):::(Nk+ 1)(Nk)(Nk1):::(Nn+ 1) =n k k1Y i=0MiNink1Y j=0NMjNkj ?? ???? ?????? ??????i????? ? ??k1?limN!+1MiNi= limN!+1piN 1iN =p ?? ???? ???? ??????j????? ? ??nk1?limN!+1NMjNkj= limN!+11pjN 1kN jN = 1p ???? ?limN!+1P(XN=k) =n k p k(1p)nk k p kn(1pn)nk=1k!n(n1):::(nk+ 1)npnn k 1npnn nk ??????npn=n? ?? ?? ? ????? ?limn!+1n=?

P(Xn=k) =1k!k1Y

i=0nin kn 1nn n1 1nn k lim n!+1nin = 1? ????limn!+1k1Y i=0nin ?? ???? ?????limn!+11nn = 1?limn!+1 1nn k = 1? ?? ?? ? ?limn!+1kn=k? 1nn n =enln(1nn )? ??nln 1nn =nln1nn nn ?????limx!0ln(1 +x)x = 1? ??limn!+1nn = 0? ?? ??????? ?limn!+1nln 1nn = lim n!+1(n) = ????limn!+1 1nn n =e i=1X i;X n=Snn ; Zn=Snnm pn =X nmpn n) =m; V(Sn) =n2; V(X n) =2n pn =S nn m pn n =X nmpn Z n? pn x (x) pn ynm pn ynm pn ?? ?????P(X nx) =P X nmpn xmpn xmpn ???? ?? ??? ??X )???Y ,! N(20;10)? ?? ????? ???? ???? ??????k????? [0;n] = 0;12 [12 ;32 [32 ;52 n12 ;n 0;12 n1[ k=1 k12 ;k+12 n12 ;n k=0 k12 ;k+12 ?? ???? ????? ?????? ?P(X=k) =P k12

X < k+12

P k12

Y < k+12

=F k+12 )F(k12

P(X= 20)P(19;5Y <20;5) = 0;5p10

0;5p10

= 20;5p10

1 = 2(0;158)10;126

?? ?? ?????? ?????? ????? ?P(X= 20) =40 20 12 40

0;1254

?? ???? ?P(17X <25) =24X k=17P(X=k)24X k=17P k12

Y < k+12

=P(16;5< Y <24;5)

P(17X <25)24;520p10

16;520p10

= (1;42)(1;11) = 0;9222 + 0;86651 = 0;7887 )? ?? ? ?????Y ,! N(750;187;5)?? ?? ????? ??? ??????? ?

P(700X800)P(700Y800) = 250p187;5

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Exercices et problèmes de statistique et probabilités