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Licence 2-S3 SI-MASS

Année 2013Cours de Probabilités

Pierre DUSART

2

Chapitre1Éléments d"analyse combinatoire

1.1 Quelques définitions

Disposition sans répétition : c"est une disposition où un élément peut apparaître 0 ou 1 fois.

Disposition avec répétition : un élément peut figurer plus d"une fois. Disposition ordonnée : l"ordre d"obtention d"un élément est important. Ex. les éléments constituant la plaque minéralogique d"un véhicule.

Disposition non-ordonnée : l"ordre d"obtention d"un élément n"est pas important, on n"en tient pas compte

dans la caractérisation de la disposition.

Ex. Les numéros issus d"un tirage du loto.

Exemple 1 : On considère un ensemble à deux élémentsfa;bg. Avec deux tirages sans répétition, on peut

obtenirfa;bgoufb;ag; Avec deux tirages avec répétition, on peut obtenirfa;ag,fa;bg,fb;agoufb;bg.

Cela correspond à un tirage avec remise.

Exemple 2 : Prenons un jeu de dé à 6 faces (éléments discernables) numérotées par =f1;2;3;4;5;6g.

Après 3 jets, nous obtenons la réalisationA= (2;5;1); nous réitérons les jets et nous obtenonsB=

(5;1;2).AetBsont équivalents si nous considérons que les dispositions sont non-ordonnées. En revanche,

ils ne sont pas équivalents si nous sommes dans le cadre d"une disposition ordonnée. La valeurFactorielle(n), notéen!est définie parn! = 12n=Qn i=1i. Par convention0! = 1. Nous pouvons également utiliser une définition récursive n! =n(n1)!

1.2 Arrangement avec répétition

Soit un ensemble composé denéléments : card( ) =n. Nous constituons un échantillonEde taillep (card(E) =p) à partir des éléments de . Si nous avons à choisirpéléments parmindans une disposition

ordonnée (les places sont distinctes) et avec répétition (on peut choisir le même élément plusieurs fois),

on dit qu"on a un arrangement depéléments parmin. Le nombre d"arrangement avec répétition estnp:

N.B. Dans ce cas, il est possible quep > n.

Réaliser un arrangement avec répétition des éléments de , c"est aussi définir une application d"un ensembleEàpéléments dans . L"ensemble des applications deEdans sera noté

Eet on a

E) = (#

)#E.

4CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D"ANALYSE COMBINATOIRE1.3 Arrangement sans répétition

Soit un ensemble avec card( ) =n. On constitue un échantillon de taillep(pn), la disposition est

ordonnée et sans répétition. On dit qu"on a un arrangement sans répétition depéléments parmin. Le

nombre deparrangements d"un ensemble ànéléments est : A pn=n!(np)!: Réaliser un arrangement sans répétition des éléments de , c"est déterminer unpuplet(x1;:::;xp) d"éléments de deux à deux distincts. C"est aussi définir une application injective d"un ensembleEàp

éléments dans

ànéléments.

1.4 Permutation sans répétition

C"est un arrangement sans répétition denéléments parmin. P n=Ann=n!(nn)!=n!

Réaliser une permutation des éléments de

, c"est réaliser un tirage exhaustif sans remise des éléments de en tenant compte de l"ordre du tirage. C"est aussi définir une bijection de ensemble sur lui-même.

L"ensemble des permutations d"un ensemble ànéléments s"appelle le groupe symétrique d"ordrenet se

noteSn. On a#Sn=n!.

1.5 Permutation avec répétition

On appelle permutation avec répétition depéléments oùnsont distincts (np), une disposition

ordonnée de l"ensemble de cespéléments où le premier figurep1fois, le secondp2fois, etc., tel que

p

1+p2++pn=p. Le nombre de permutation avec répétitions estp!p

1!p2!pn!

Démonstration : (Voir préalablement la définition d"une Combinaison sans répétition) Pour construire unp-uplet correspondant à une combinaison contenantp1foisx1,p2foisx2, ...,pnfois x n, il suffit : - de choisir lesp1emplacements desx1, parmip1+p2+:::+pnplaces disponibles, - de choisir lesp2emplacements desx2, parmi lesp2+:::+pnplaces restantes, - etc. - de choisir lespnemplacements desxn, parmi lespnplaces restantes.

Au total, il y a

C p1p

1+p2++pnCp2p

2++pnCpnpn=p!p

1!p2!pn!

Exemple [Nombre d"anagrammes du mot MATHÉMATIQUE] : nous voyons qu"en échangeant les deux

lettres A, le mot reste identique, et par contre en transposant les lettres É et E nous obtenons un mot

différent. (M :2;A :2;T :2;H :1;É :1;I :1;Q :1;U :1;E :1) :#Anagrammes= 12!=(2!2!2!) Exemple 2 : Nombre de quartets binaires de poids de Hamming égal à 2; Il y en a 6 =4!/(2!2!) : (0011),(0101),(0110),(1001),(1010),(1100). Cours Probabilités / Pierre DUSART51.6 Combinaison sans répétition

On considère un ensemble

constitué denéléments tous discernables. On forme un échantillon de taille

p. Si la disposition est non-ordonnée et sans répétition, on dit que l"on a une combinaison sans répétition

depéléments parmin. Le nombre de ces combinaisons se noteCpnoun p. C pn=n!p!(np)!

Propriétés :

1.C0n=Cnn= 1

2.Cpn=Cnpn(complémentaire)

3.Cpn=Cp

n1+Cp1 n1(triangle de Pascal)

4.Cpn=Ap

np!

Preuve queCpn=Cp

n1+Cp1 n1: C p n1+Cp1 n1=(n1)!p!(np1)!+(n1)!(p1)!(np)! (n1)!(np)p!(np)!+p(n1)!p!(np)! n(n1)!p!(np)!=Cpn

Proposition 1.6.1 (Formule du binôme)

(a+b)n=nX p=0C pnapbnp: Exercice : preuve de la formule du binôme par récurrence surn

Preuve :

(a+b)n+1= (a+b)(a+b)n = (a+b)nX p=0C pnapbnp nX p=0C pnap+1bnp+nX p=0C pnapbn+1p n+1X p 0=1C p01nap0bn+1p0+nX p=0C pnapbn+1p nX p=1C p1napbn+1p+Cnnan+1b0! C

0na0bn+1+nX

p=1C pnapbn+1p! =an+1+nX p=1(Cp1n+Cpn|{z} C p n+1)apbn+1p+bn+1 (a+b)n+1=n+1X p=0Cp n+1apbn+1p:

6CHAPITRE 1. ÉLÉMENTS D"ANALYSE COMBINATOIRE1.7 Combinaison avec répétition

C"est une disposition non-ordonnée depéléments, à choisir parminéléments discernables, avec répétition.

Le nombre de combinaisons avec répétitions denobjets prispàpest : K pn=Cp n+p1

Exemple : [jeu de domino] Les pièces sont constituées en disposant côte à côte deux éléments de l"ensemble

fblanc;1;2;3;4;5;6g. Si nous retournons un domino, nous changeons l"ordre des deux éléments, mais le

domino reste identique (C"est donc une disposition non-ordonnée). Nous avons une combinaison avec répétition de 2 éléments pris parmi les 7, et au total il y aK27= 28dominos dans un jeu. Toutepcombinaison avec répétition peut s"écrire : x

1:k1fois;:::;xn:knfois

avec0kipetPn i=1ki=p.

On peut ainsi mettre en bijection l"ensemble despcombinaisons avec répétition desnéléments deE

avec les applicationsf:E!Ntelles que x

17!f(x1) =k1

x n7!f(xn) =knvérifiantnX i=1f(xi) =p

Exemple : Dans un jeu de dominos, un domino est une 2-combinaison avec répétition de l"ensemble

E=fblanc;1;2;3;4;5;6g. Chaque domino peut être représenté par une application deEdansf0;1;2g

qui associe à chaque élément deEle nombre de fois où l"élément apparaît sur le domino. Ainsi le domino

[blanc,blanc], est représenté par l"applicationfdéfinie par f(blanc) = 2;f(1) = 0;f(2) = 0;f(3) = 0;f(4) = 0;f(5) = 0;f(6) = 0 et le domino [blanc, 1] par l"applicationfdéfinie par f(blanc) = 1;f(1) = 1;f(2) = 0;f(3) = 0;f(4) = 0;f(5) = 0;f(6) = 0:

On peut aussi mettre cet ensemble en bijection avec l"ensemble des manières de placerpobjets dansn

boîtes :boîte1in x 1xixn k 1kikn Mais placerpobjets dansnboîtes c"est aussi se donnern+p1objets et décider quen1d"entre eux seront des cloisons :

00|{z}

k

1j00|{z}

k

2jj00|{z}

k n:

Inversement, à toute façon de choisirn1objets qui seront des cloisons, on peut associer une et une

seule façon de placerpobjets dansnboîtes.

Il y a une bijection entre l"ensemble desp-combinaisons avec répétition de E et l"ensemble desp-uplets

croissants d"éléments deE, ou encore des applications croissantes (au sens large) def1;2;:::;pgdansE.

Propriété :Kpn=Kp1n+Kp

n1.

Preuve :Cp

n+p1=Cp1 n+p2+Cp n+p2

Chapitre2Probabilités

2.1 Espace probabilisé

2.1.1 Événement et ensemble fondamental

Une épreuve est une expérience dont l"issue n"est pas prévisible car répétée dans des conditions identiques,

elle peut donner lieu à des résultats différents ou aléatoires (expérience aléatoire). L"ensemble des résultats

possibles s"appelle l"ensemble fondamental(ou référentiel, univers des possibles) et sera noté

Unévénementest un ensemble de résultats (un sous-ensemble de l"univers) d"une expérience aléatoire.

Comme l"événement est une affirmation concernant le résultat d"une expérience, nous devons pouvoir

dire, pour tout résultat de l"univers, si l"événement se réalise ou non. Un événement donné, souvent défini

par une proposition, est identifié à la partie de l"univers pour laquelle il est réalisé.

On exige que la collectionCdes événements dispose de la structure d"une algèbre de Boole : 1.

2 C;; 2 C:

2. siA2 C;)A2 C;

3. siA;B2 C )A[B2 CetA\B2 C:

On peut préciser le calcul de probabilités d"un événementE. De manière simplifiée, la probabilité théorique

vaut

P(E) =nombre de cas favorablesnombre total de cas

Exemple 1 : Si on lance un dé à 6 faces, le référentiel est composé des six faces =f1;2;3;4;5;6g:

Exemple 2 : Si on lance trois fois une pièce, le référentiel est composé des23arrangements avec répétition

des 2 faces distinctes notéesPetF: =fPPP;PPF;PFP;PFF;FPP;FPF;FFP;FFFg:

Exemple 3 : Si on lance trois pièces identiques simultanément, le référentiel est composé des 3-combinaisons

avec répétition des 2 faces distinctes notéesPetF: =fPPP;PPF;FFP;FFFg:de cardinalK32.

Question : "On lance trois pièces de monnaie. Quelle est la probabilité que toutes trois retombent du

même côté, que ce soit pile ou face?"

Définition 1Deux événementsAetBsont dits incompatibles s"ils ne peuvent se réaliser simultanément

c"est-à-dire lorsque l"intersection des sous-ensemblesAetBest vide :A\B=;.

8CHAPITRE 2. PROBABILITÉS2.1.2 Axiomatique de Kolmogorov

A chaque événement, on associe un nombre positif compris entre 0 et 1, sa probabilité. La théorie moderne des probabilités repose sur l"axiomatique suivante :

Définition 2On appelle probabilité sur(

;C)(où est l"ensemble des événements etCune classe de parties de ), ou loi de probabilité, une applicationPdeCdans[0;1]telle que :

1. Pour tout événementE,0P(E)1.

2.P( ) = 1

3. pour tout ensemble dénombrable d"événements incompatiblesA1;A2;:::;An, on a

P([Ai) =XP(Ai):(-additivité deP)

Définition 3On appelle espace probabilisé le triplé( ;C;P)où est l"ensemble fondamental,Cest une collection de sous-ensembles de (la collection des événements), qui possède la structure précédente de -algèbre de Boole etP:C ![0;1]est une mesure de probabilité surC.

Propriétés élémentaires : de l"axiomatique de Kolmogorov, on peut déduire les propriétés suivantes :

1.P(;) = 0

2.P(A) = 1P(A)

3.P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B)

4.P(A)P(B)siAB(inégalité de Boole)

5.P([iAi)P

iP(Ai)(Il n"y a stricte égalité que si les événementsAisont deux à deux incompatibles.)

6. Si la suite(An)croît versA(c"est-à-dire8n;AnAn+1et[An=A) alorslimP(An) =P(A).

7. Continuité monotone séquentielle. SoientA1A2 An ;. Silimn!1An=;alors

lim n!1P(An) = 0

Démonstration :

1. SoitEun événement quelconque. CommeE[ ;=E,P(E[ ;) =P(E). D"autre part, on sait

queE\ ;=;(tout événement est incompatible avec l"événement impossible) et d"après le 3ème

axiome,P(E[ ;) =P(E) +P(;). Des deux égalités, on obtientP(;) = 0.

2.A[A=

etA\A=;P( ) =P(A[A) =P(A) +P(A) = 1d"oùP(A) = 1P(A)

3. On découpe selon une partition deA[B: on aP(A[B) =P(A\B)[(B\A)[(A\B). Ces

ensembles sont deux à deux incompatibles d"oùP(A[B) =P(A\B)+P(B\A)+P(A\B). De plus, P(A) =P(A\B)+P(A\B)etP(B) =P(B\A)+P(A\B), d"oùP(A\B) =P(A)P(A\B) etP(B\A) =P(B)P(A\B), valeurs que l"on remplace dans la première égalité obtenue.

4. D"après la propriété précédente et la positivité de la probabilité, on aP(A[B) =P(A) +P(B)

P(A\B)P(A) +P(B),

5. Formule précédente que l"on peut généraliser à un nombre quelconque d"événements :P([iAi)P

iP(Ai)avec égalité si des événements sont deux à deux incompatibles.

6. On poseB1=A1et8n2;Bn=AnnAn1. LesBisont disjoints et vérifient[n1Bn=[n1An

et8n1;[nk=1Bk=An:Par la propriété de-additivité,P n1P(Bn) =P([n1An)et8n 1;Pn k=1P(Bk) =P(An):Ainsilimn!1P(An) =P([nAn) =P(A).

7. On noteA=\An. CommeAnAn+1,A

n nA n+1. On poseB1=A

1etBn+1=A

n+1nA n. Ainsi nBn=[nA n=Aet[nk=1Bk=A n. Ainsilimn!1P(A n) = limnP([Bk) =P(A). En passage au complémentaire,limn!1P(An) =P(A). On peut prendreA=;.

Cours Probabilités / Pierre DUSART9Théorème 2.1.1 (Théorème des probabilités totales)Soit

=[Biun système complet d"événe- ments (i.e. tel que lesfBigconstituent une partition de ). Alors

8A:P(A) =X

iP(A\Bi):

Exemples de construction :

1. Si =fx1;:::;xngest fini, on définit une probabilité surP( )en se donnantnnombrespitels queP ipi= 1en posantP(fxig) =pi. On parle d"équiprobabilité si pour touti,P(fxig) =1n

Dans ce cas,P(A) =card(A)n

2. Si =fxn;n2Ngest dénombrable, on définit une probabilité surP( )en se donnant une série

de terme généralpnconvergente à termes positifs et de somme égale à 1 en posantP(fxig) =pi.

(par exemple :pn=12 n+1) 3. Si est un intervalle]a;c[, oùa;cappartiennent àR[ f1;1g, on peut définir une probabilité sur tous les intervalles inclus dans en définissant une probabilité sur des intervalles de la forme ]a;b[. Par exemple,P(]a;b[=Rb a'(t)dtoù'est une fonction positive qui vérifieRc a'(t)dt= 1. 4. Si =]0;1[2, on obtient une probabilité en posantP(A) =surface deA.

2.2 Probabilité conditionnelle

On considère la réalisation de deux événementsAetB.

Que peut-on déduire sur la probabilité de l"événementBsachant que l"événementAest réalisé? Cette

probabilité est appelée probabilité conditionnelle deAsachantBet se noteP(A=B)ouPB(A).

Par définition, on a

P(A=B) =P(A\B)P(B):

Cette probabilité a posteriori est dite Probabilité de Bayes. Exercice : montrer quePBest une probabilité sur

2.2.1 Formule de Bayes

CommeP(B=A) =P(A\B)P(A), on aP(A=B) =P(A\B)P(B)=P(B=A)P(A)P(B):La formule de Bayes est

P(A=B) =P(B=A)P(A)P(B):

On remarque queP(B) =P(A\B) +P(A\B) =P(B=A)P(A) +P(B=A)P(A), ainsi

P(A=B) =P(B=A)P(A)P(B=A)P(A) +P(B=A)P(A):

Plus généralement sifAjgest une partition de l"ensemble des possibles, pout touti,

P(Ai=B) =P(B=Ai)P(Ai)P

jP(B=Aj)P(Aj):

Exemple : Soit un événementAqui peut dépendre deNcausesCidifférentes et incompatibles deux à

deux (on ne peut avoir deux causes réalisées simultanément). Etant donnée la réalisation de l"événement

A, quelle est la probabilité que ce soitCiqui en soit la cause?

10CHAPITRE 2. PROBABILITÉS2.2.2 Formule des probabilités composées

Proposition 2.2.1 (Formule des probabilités composées)SoientnévénementsA1;:::;Antels que

P(A1\ \An)6= 0. Alors :

P(A1\ \An) =P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1\A2)P(AnjA1\ An1)

Exemple : Une urne contient initialement 7 boules noires et 3 boules blanches. On tire successivement 3

boules : si on tire une noire, on l"enlève, si on tire une blanche, on la retire, et on ajoute une noire à la

place. Quelle est la probabilité de tirer 3 blanches à la suite?

On noteBil"événement "La i-ème boule tirée est blanche". La probabilité recherchée est :

P(B1\B2\B3) =P(B3jB1\B2)P(B2jB1)P(B1):

Clairement,P(B1) = 3=10. Maintenant, siB1est réalisé, avant le 2ème tirage, l"urne est constituée de 8

boules noires et 2 blanches. On a donc :P(B2jB1) = 2=10. SiB1etB2sont réalisés, avant le 3ème tirage,

l"urne est constituée de 9 boules noires et 1 blanche. On en déduitP(B3jB1\B2) = 1=10. Finalement

P(B1\B2\B3) = 6=1000 = 3=500.

Proposition 2.2.2 (Formule des probabilités totales)SoitfAn;n2Ngun système complet d"évé-

nements, tous de probabilité non nulle. SoitBun événement. Alors :

P(B) =X

n2NP(An)P(B=An):

Cette formule permet de calculer la probabilité d"un événementBen le décomposant suivant un système

complet d"événements (En effet,Best égal à la réunion disjointes desB\An).

2.2.3 Evénements indépendants

Soient 2 événementsAetB. Ils sont indépendants si la réalisation deAn"affecte pas la réalisation deB,

et inversement. On peut alors écrire

P(A=B) =P(A)

P(B=A) =P(B)

On dit encore queAetBsont indépendants si et seulement la probabilité de réalisation simultanée de

ces événements est égal au produit de leurs probabilités individuelles :

P(A\B) =P(A)P(B):

Si deux événementsAetBsont indépendants, alors il en est de même pourAetBc,AcetB,AcetBc.

Définition 4Un ensemble d"événementsA1;A2;:::;Anest dit totalement indépendant si pour tout sous-

ensembleI f1;2;:::;ng

P(\i2IAi) =Y

i2IP(Ai): Les événements sont deux à deux indépendants si pour tous indicesi;j(i6=j),

P(Ai\Aj) =P(Ai)P(Aj):

Cours Probabilités / Pierre DUSART11Que pensez-vous des deux définitions? Sont-elles équivalentes?

Exemple : On jette deux dés équilibrés. Soient les événements

A=fla somme des dés vaut7g;

B=fle premier dé affiche4g

C=fle second dé affiche3g:

CalculerP(A\B),P(A\C),P(B\C)etP(AjB\C).

12CHAPITRE 2. PROBABILITÉS

Chapitre3Variables aléatoires

3.1 Définition d"une variable aléatoire

Une variable aléatoire est une fonction définie sur l"ensemble des éventualités, c"est-à-dire l"ensemble des

résultats possibles d"une expérience aléatoire.

On s"intéressera aux valeurs prisesxipar une variable aléatoireX, événement noté(X=xi), et plus

particulièrement à la probabilité d"obtenir ces valeursP(X=xi).

C"est à peu près la même chose qu"une variable statistique sauf que dans le cas d"une variable statistique on

évalue un comportement réalisé (moyenne, etc) alors que dans le cas de variables aléatoires on suppose un

comportement futur (Dans ce cas, on parle d"espérance plutôt que de moyenne par exemple) ou théorique.

Les variables aléatoires sont utilisées pour modéliser le résultat d"un mécanisme non-déterministe.

3.1.1 Différents types de variables aléatoires

Définition 5Une variable aléatoire (ou v.a.) est une applicationX: !R. SiX( )est au plus dénombrable, on dit queXest un v.a. discrète sinon on dit qu"elle est continue.

Variable aléatoire discrète

Si une variable aléatoireXprend un nombre de valeurs fini ou dénombrable (son ensemble de définition

est inclus dansN), on parle de variable discrète.

On s"intéresse à définir l"ensemble des valeurs possibles et leurs probabilités associées.

Quelques exemples :

- nombre de "face" dans un lancer de 3 pièces :X(!)de 0 à 3. - nombre de lancers avant d"obtenir "6" avec un dé :X(!)de 0 à l"infini; - nombre de clients attendant au service après-vente :X(!)de 0 à 10. - nombre de cycles lecture/écriture sur une clé USB :X(!)de 10000 à 100000. - nombre d"appels arrivant à un standard téléphonique en une minute de 0 à 10.

14CHAPITRE 3. VARIABLES ALÉATOIRESVariable aléatoire continue

Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d"un intervalle. En particulier,

dans le cas où la variable aléatoire peut prendre toute valeur réelle (son ensemble de définition contient

un intervalle deR), on parle de variable aléatoire réelle.

Dans ce cas, il ne s"agira plus de calculer une probabilité d"apparition d"une valeur donnée mais d"un

intervalle.

Quelques exemples :

- temps d"attente pour avoir le bus :X(!)2[0;100] - longueur de cheveux :X(!)2[0;4m] - intervalle entre deux averses :X(!)2[10;20ans] - moyenne des tailles de 20 étudiants pris au hasard :X(!)2[;]

3.1.2 Loi de probabilité

Une variable aléatoire est totalement définie par sa loi de probabilité. Cette dernière est caractérisée par :

- l"ensemble des valeurs qu"elle peut prendre (son domaine de définition); - les probabilités attribuées à chacune des valeurs potentiellement prisesP(X=x).

Dans ce cas, la loi de la variable aléatoire est la loi de probabilité sur l"ensemble des valeurs possibles de

Xqui affecte la probabilitéP(X=xk)au singletonfxkg.

SoitX:

!R. Dans le cas oùXprend ses valeurs dans un intervalle réel, on cherche à exprimer par exemple la probabilité queXprenne ses valeurs dans];[. On remarque queX(!)2];[)()!2 X

1(];[)et donc on poseP(X2];[) =P(X1(];[)).

3.1.3 Fonction de répartition

Définition 6La fonction de répartition d"une v.a.Xest l"applicationFdeRdans[0;1]définie par

F(x) =P(X < x) =PX1(] 1;x[):

On s"intéresse souvent à la probabilité cumulée. Par exemple dans le cas de probabilités surN:

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