[PDF] Etude dune loi binomiale avec le TInspire

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Probabilités| Loi binomiale

1 Soit ܺ une variable aléatoire. On suppose que ܺ

1°) Déterminer la loi de probabilité de ܺ

1°) Déterminer la loi de probabilité de ࢄ.

: est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètre ݊=10 et ݌=0,4. La TInspire permet de calculer directement les valeurs de ݌::=݇;=ቀJ

0൑GQJ) et de dresser la loi de probabilité de ܺ

- Soit en tapant directement la commande binomPdf(10,0.4,݇).

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2 Si on tape seulement ܎܌۾ܕܗܖܑ܊ pour 0൑݇൑݊ :

On peut aussi afficher toutes ces valeurs

directement dans le tableur, ce qui nous donnera la loi de probabilité de ܺ

Dans la colonne A on entre =ܙ܍ܛ

avoir toutes les valeurs de 0 à 10.

Dans la colonne B on entre

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On va calculer ݌(ܺ

Pour calculer une valeur de la fonction de

- Soit taper directement la commande binomCdf(10,0.4,݇). Si on tape seulement ܎܌۱ܕܗܖܑ܊ pour 0൑݇൑݊ (ici ݊=10) :

On peut compléter note feuille de calcul en

entrant dans la colonne C : entre ܎܌۱ܕܗܖܑ܊

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4 Représentation graphique de la fonction de répartition ࡲ.

Cependant, on peut aussi la calculer en utilisant

la définition de ܧ

݇=0

Dans les deux cas on trouve 4.

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Cependant, on peut aussi la calculer en utilisant

la définition de ܸ

݇=0

Dans les deux cas on trouve le même résultat..

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COMPLEMENT

Représentation graphique

Il peut être intéressant de représenter graphiquement le nuage de points ൫G,݌::=݇;o pour

0൑GQJ pour visualiser graphiquement la convergence de la loi binomiale vers la loi normale.

En reprenant la loi de ܺ

obtenir un graphique satisfaisant :

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Convergence vers la loi normale

Afin de visualiser la convergence de la loi binomiale vers la loi normale il faut modifier un peu la feuille

de calculs précédente : Pour modifier les valeurs de ݊ sur le graphique, il faut : valeur maximale de ࢔)

- Afficher les valeurs extrêmes des axes (b | Affichage | Afficher les valeurs extrêmes des axes)

- Lier la valeur maximale de ݔ à la variable ࢔ - Entrer െ1 pour valeur minimale de ݔ. - Entrer 0 pour valeur minimale de ݕ. Pour incrémenter les valeurs de ݊ de 20 en 20, il faut utiliser la flèche de direction Î

Cellule liée à ࢔

=max(binompdf(n,0.4)) =binompdf('n,0.4) =seq(i,i,0,'n)

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8 On remarque que la loi binomiale ressemble à une loi normale. On va représenter graphiquement les 2 nuages de points suivants : Nuage n°1 : ൫G,݌::=݇;o,0൑GQJ (comme précédemment)

Nuage n°2 : ൬G,݌@GF1

2൑;QG+1

2ቁp 0൑GQJ

On doit créer une fonction afin de calculer les valeurs de ݌@GF1

2൑;QG+1

2ቁ dans une colonne (car

la taille de la colonne doit varier en fonction de ݊).

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On entre le programme suivant :

Et dans le tableur, on a choisit la colonne ܧ

entrer les résultats de notre fonction ݈݋݅݊݋ݎ݉ܽ

On a nommé cette colonne normale.

On représente graphiquement le nuage de points (ݔ,݊݋ݎ݉ܽ ൬G,݌@GF1

2൑;QG+1

2ቁp. On a choisit de relier ce nuage de points pour le distinguer du précédent.

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On peut donc mieux visualiser le phénomène de convergence de la loi binomiale vers la loi normale.

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