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Loi normale

Échantillonnage et estimation

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Rappels sur la loi binomiale

2

1.1 Épreuve deBernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

1.2 Schéma deBernoulli- Loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Loi normale3

2.1 Courbe " en cloche »

3

2.2 Loi normale

4

2.3 Approximation d"une loi binomiale par une loi normale

5

3 Échantillonnage - Estimation

5

3.1 Définition - Utilisation

5

3.2 Échantillonnage - Prise de décision

6

3.3 Intervalle de confiance

6

Table des figures

1 Un exemple d"épreuve deBernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

2 Un exemple de Schéma deBernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

3 Courbes " en cloche »

4

4 Loi normale de paramètresμetσ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

5 Intervalle de fluctuation

5

Liste des tableaux

1 Utilisation de la calculatrice ou du tableur pour une loi binomiale

3

2 Utilisation de la calculatrice ou du tableur pour une loi normale

7 ?

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1

1 RAPPELS SUR LA LOI BINOMIALE

1 Rappels sur la loi binomiale

1.1 Épreuve de BernoulliDéfinition :On appelleépre uvede Bernoullitoute épreuve àdeux issues p ossibles: un succ ès(noté

S) ou un échec (notéS).

La probabilité d"un succèsp=P(S)est appeléparamètre de l "épreuvede Bernoulli.Exemple :On lance un dé équilibré à six faces, les faces étant numérotés de 1 à 6.

On considère qu"il y a un succès lorsque le résultat du lancer est un 6, un échec sinon. Il s"agit d"une épreuve deBernoullide paramètre16 On peut la représenter par l"arbre de la figure 1 .Figure1: Un exemple d"épreuve deBernoulli

1.2 Schéma de Bernoulli - Loi binomialeDéfinition :-On app ellesc hémade Bernoullil"expérience consistant àr épéternfoisde manière

indépendantes la même épreuv ede Bernoulli de paramètre p. La loi binomiale de paramètres netpest la loi de probabilité de la variable aléatoireXprenant prenant comme valeurs le nombre de succès (S) obtenus au cours desnépreuves du schéma de

Bernoulli.

On dit aus sique loi loi de probabilité de la v ariablealéatoire Xsuit la loi binomiale de paramètres

netp.Exemple :On répète 2 fois de manière identiques et indépendantes l"épreuve deBernoullide l"exemple

précédent.

On noteXla variable aléatoire qui donne le nombre de 6 obtenus.Xsuit la loi binomiale de paramètres

2et16 Le schéma de Bernoulli correspondant est donné sur la figure 2

On a alors :

-P(X= 0) =P?¯S¯S?=56

×56

=2536 -P(X= 1) =P?S¯S?+?¯SS?=16

×56

+56

×16

=536 +536
=1036 -P(X= 2) =P(SS) =16

×16

=136 Remarques :1.Si Xsuit la loi binomiale de paramètresnetp,Xprend les valeurs 0, 1, 2, ...,n. 2.

On p euttoujours représen terun sc hémade Bern oullipar un arbre p ourcalculer P(X=k). Mais sin

est grand, cela peut être fastidieux... On peut alors utiliser la calculatrice ou le tableur. Voir tableau

1 .Propriété :SoitXune variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètresnetp.

L"espérance de cette variable aléatoire estE(X) =np.Exercices :Exercices 1, 2 de la feuille polycopiée " Exercices - loi binomiale ».

2

2 LOI NORMALE

Figure2: Un exemple de Schéma deBernoulliTable1: Utilisation de la calculatrice ou du tableur pour une loi binomiale

2 Loi normale

Activité :Exercice 3 de la feuille polycopiée " Exercices - loi binomiale ».

2.1 Courbe " en cloche »

Le diagramme en bâtons d"une loi binomiale de paramètresnetp, lorsquenest très grand et quepn"est proche

ni de zéro ni de 1, peut être approché par une courb e" en clo che» (v oirfigure 3

Cette courbe " en cloche » a les propriétés suivantes :Propriétés :Courbe " en cloche »

C"est la c ourbereprésen tatived"une

fonction définie sur R. L" aire totale comprise en trela courb e" en clo che» et l"axe des ab scisses v aut1

Elle dép endde deux paramètres n ommésμ(mu) etσ(sigma).μest appeléesp éranceet σest

appelé

écart-t ype

Elle admet comme

axe de symétrie la droite d"équation x=μ(voir figure3 ).

Plus σest élevé, plus la courbe est "écrasée » au tourde l"axe des abscisses (v oirfigure 3 ).Remarque :On va définir, à l"aide de ces courbes " en cloche », une nouvelle loi de probabilité, pour des

variables aléatoiresprenant toutes les valeurs réelles. 3

2.2 Loi normale 2 LOI NORMALE

Figure3: Courbes " en cloche »

2.2 Loi normaleDéfinition :On considère une courbe " en cloche » de paramètresμetσetXune variable aléatoire

prenant toutes les valeurs réelles. On dit queXsuit la loi normale de paramètresμetσsi, pour tout nombresa,b, aveca < b:

égale à l"

aire du domaine compris entre l"axe des abscisses, la courbe " en cloche » et les droites verticales d"équationsx=aetx=b. (voir figure4a )

égale à l"

aire du domaine compris entre l"axe des abscisses, la courbe " en cloche » et situé à gauche

de la droite verticale d"équationx=b. (voir figure4b )

La probabilité P(X≥a)que la variable aléatoire prenne des valeurs dans l"intervalle]-∞;a]est

égale à l"

aire du domaine compris entre l"axe des abscisses, la courbe " en cloche » et situé à droite

Figure4: Loi normale de paramètresμetσ

Remarques :1.La fonction d ontla courb ereprésen tativeest la courb e" en clo che» est alors app elé

fonction de densité. 2. notées indifféremment larges ou strictes, cela ne change pas le probabilités. 3.

P arun raisonn ementgraphique simple, on obtien tles propriétés suiv antes: Propriété :SoitXune variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètresμetσ.

une loi normale (voir tableau 2

Exercices :2, 3 page 1381- 8, 9 page 1392- 11 page 139; 12 page 140 et 28, 29 page 1453[Intervalle]1. Utilisation de la courbe.

2. Utilisation de la calculatrice.

3. Applications.

4

3 ÉCHANTILLONNAGE - ESTIMATION 2.3 Approximation d"une loi binomiale par une loi normale

Propriété :Intervalle de fluctuation (voir figure5 ) SoitXune variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètresμetσ.

On a alors :

Remarque :Cela signifie qu"environ 95 % des valeurs prises parXsont dans l"intervalle[μ-2σ;μ+ 2σ].

Exercices :5, 6 page 1394[Intervalle]

2.3 Approximation d"une loi binomiale par une loi normale

Sinest très grand et quepn"est proche ni de zéro ni de 1, la loi binomiale de paramètresnetppeut être

approchée par la loi normale de paramètres μ=npetσ=?np(1-p).

3 Échantillonnage - Estimation

3.1 Définition - UtilisationRappel :On appelleéc hantillonde taille nla série statistique formée des résultats obtenus lorsqu"on

répètenfois une expériencedans les mêmes conditi ons.

Les distributions de fréquences v arientd"un éc hantillonà l"autre p ourla même exp érience.C"est ce

qu"on appelle la fluctuation d"éc hantillonnage. Même p ourdes éc hantillonde même taille, la distribution de fréquences p eutv arier.

Lorsque la taille de l"éc hantillonaugmen te,les distributions de fré quenceson ttendance à se stabi-

liser.Remarque :Comme on répète dans les mêmes conditions une expériencenfois,on p eutassimiler cet

échantillon à une loi binomiale

de paramètres netp, oùpest laprop ortiondu caractè reétudié dans la population totale

. La distribution de fréquence de cet échantillon peut alors être assimilée à la loi de

fréquenceFn.Définition :SoitXnune variable aléatoire qui suit le loi binomiale de paramètresnetpetFn=Xnn

la fréquence de succès. On dit que l"intervalleInest uni ntervallede fl uctuationde Fnau seuil de95 % si :

P(Fn?In)≥0,95Remarque :On utilise donc lesin tervallesd efluctuation dans les deux cas suiv ants:

on connaît la prop ortionpde présence du caractère dans la population; on fait une h ypothèses urla v aleurde cette prop ortion et on v eutv alider(ou in valider)cette h ypothèse (on parle alors de prise de décision ).4. Intervalle de fluctuation. 5

3.2 Échantillonnage - Prise de décision RÉFÉRENCES

3.2 Échantillonnage - Prise de décision

Propriété :Soit un caractère dont la proportion dans une population donnée estp. On considère un

échantillon de taillen.

Sin≥30,np≥5etn(1-p)≥5, l"intervalle : I n=? p-1⎷n ;p+1⎷n est un in tervallede fluctuation au seuil de 95 .On considère une population dans laquelle onsupp oseque la prop ortiond"un caractère est p. On observ e

l afréquen cefobsde ce caractère dans un échantillon de taillenet on considère l"hypothèse" la

proportion de ce caractère dans la population estp». On considère que les conditionsn≥30,np≥5etn(1-p)≥5sont remplies et on noteIn=? p-1⎷n ;p+1⎷n l" intervalle de fluctuation au seuil des 95%.

On a alors la règle de décision suivante :

Si fobs?In: on considère que l"hypothèse n"est pas remise en questionet l" on accepte au seuil de risque

de 5 %

Si fobs/?In: onrejette l"h ypothèseau seu ilde risqu ede 5 % (ce qui signifie que le ri squed"erreur par

rejet à tort de l"hypothèse est d"environ 5 %). Exercices :13, 14 page 140 et 31, 32 page 1455[Intervalle]

3.3 Intervalle de confiance

On considère maintenant le cas où la

prop ortionpdu caractère dans la population totale estinconn ue.

On veut estimerpà l"aide d"un échantillon de taillen, et on supposera que les conditionsn≥30,np≥5et

n(1-p)≥5sont remplies.Définition :Onobserv eun efréquenc efobssur un échantillon de taillen.

On appelle

in tervallede confiance de pau niveau de confiance de 95 %l"in tervalle? f obs-1⎷n ;fobs+1⎷n

.Remarques :Cela signifie que la proportion inconnue a plus de 95 % de chances de se trouver dans cet

intervalle. Exercices :15, 16 page 140; 33 page 145 et 34 page 1466[Intervalle]

Références

[Intervalle] Collection In tervalle,Mathématiques ,programme 2013, T ermSTMG, Nathan, 2013. 4 5

6 5. Échantillonnage, prise de décision.

6. Intervalle de confiance.

6

RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESTable2: Utilisation de la calculatrice ou du tableur pour une loi normale

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