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REVUE DE STATISTIQUE APPLIQUÉEJ.BERNIER

R.VERON

Revue de statistique appliquée, tome 12, no1 (1964), p. 25-48 © Société française de statistique, 1964, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Revue de statistique appliquée » (http://www. sfds.asso.fr/publicat/rsa.htm) implique l"accord avec les conditions générales d"uti- lisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou im- pression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou im-

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SUR

QUELQUES DIFFICULTÉS RENCONTRÉES

DANS L'ESTIMATION D'UN DÉBIT DE CRUE

DE PROBABILITÉ DONNÉE

J. BERNIER et R. VERON

Ingénieurs

à la Division

Hydrologie

du Centre de Recherches et d'essais de CHATOU E.D.F.

Les lois de

probabilités connaissent diverses utilisations en hydro- logie statistique. D'une part, elles servent à décrire : C'est par la donnée de la loi de probabilité ajustée aux courbes de fréquences observées (pour des dé- bits comme les crues, les

étiages,

les modules par exemple) que l'on caractérise finalement les renseignements rassemblés sur la répartition de ces différents débits.

Ainsi,

après l'examen de très longues séries de modules on peut dire maintenant que, pour des fleuves comme le Rhin ou la Seine

Paris -

c'est-à-dire des fleuves qui ont un bassin versant étendu la réparti- tion des modules est bien représentée par une loi de

Laplace-Gauss,

ou loi normale. Il semblerait aussi que pour des cours d'eau qui ont un bassin ver- sant plus petit la loi de

Galton

représenterait de façon assez satisfaisante la loi de répartition des modules. En aboutissant à ces différents

énoncés,

on décrit de façon commode la façon dont se répartissent les modules autour de leur moyenne générale qui sert d'élément de référence.

D'autre

part, les lois de probabilités permettent d'aborder un autre domaine très important : celui de la prévision.

C'est cet

aspect qui est au centre des travaux que nous avons en- trepris pour l'estimation des quantiles, c'est-à-dire des débits de crue correspondant des probabilités données.

En termes généraux,

les problèmes relatifs aux quantiles se posent de la façon suivante : Le débit X est une variable aléatoire définie par sa fonction de réparti- tion : et on veut déterminer le quantile xp tel que :

Nous allons

tout d'abord préciser la signification que l'on peut don- ner

à cette

probabilité pour les petites valeurs de p, ce qui nous amène- ra parler de la notion de durée de retour T = 1/p. Revue de

Statistique

Appliquée.

1964 - Vol.

XII - N' 1

26

Nous examinerons ensuite les divers

risques d'erreurs que comporte ce problème d'estimation : 1/ erreurs dûes à la plus ou moins bonne adéquation de la loi de probabilité choisie ; 2/ erreurs dûes à la nature des données expérimentales (manque de précision des mesures); 3/ erreurs d'échantillonnage.

Ceci nous amenant à aborder la

ques- tion des intervalles de confiance : d'un quantile de la probabilité affectée à un débit donné de la probabilité affectée à un débit observé.

I - INTERPRETATION DE LA PROBABILITE

p

Pour une

compréhension correcte du quantile xp il importe de pré- ciser le sens attribué à la probabilité p, surtout pour les très petites valeurs de p. En effet, dans le cas de valeurs relativement élevées de p, 1/10 par exemple, un nombre suffisamment grand de réalisations indépendantes de la variable X peut-être obtenu dans un délai "relativement court" de quelques dizaines d'années et l'hydrologue n'aura pas de difficultés pour interprêter cette probabilité en termes de fréquences.

Faisons ici une

parenthèse pour indiquer que l'indépendance des réalisations de X est essentielle : ce sont .les liaisons entre débits jour- naliers successifs qui interdisent d'accorder un sens probabiliste aux fréquences calculées à partir de la courbe des débits classés.

Fréquence empirique

et probabilité subjective

Une fois estimée la crue de

probabilité p, les hydrologues l'utili- sent en introduisant la notion de durée de retour :

La durée de retour T du

quantile xp

étant définie

par la relation pour p = 1/10, 1/100, 1/1000, on définit ainsi : la crue dite décennale, valeur du débit dépassée en moyen- ne une fois tous les dix ans, la crue dite centenaire, valeur du débit dépassée en moyen- ne une fois tous les cent ans. la crue dite millénaire, valeur du débit dépassée en moyen- ne une fois tous les mille ans. Le simple énoncé de ces définitions des crues, décennale, cente- naire, millénaire, nous amène à préciser les deux interprétations qu'on peut donner au terme probabilité. Si l'expression "la crue décennale représente la valeur du débit dépassée en moyenne tous les dix ans" ne surprend pas, par contre l'ex- pression "la crue millénaire représente la valeur du débit dépassée en Revue de Statistique Appliquée. 1964 - Vol. XII N' 1 27
moyenne tous les mille ans" paraît plus

étonnante.

Dans le

premier cas, nous pouvons donner à la formule un contenu auquel nous sommes habitués. Nous pouvons raisonner en termes de fré- quences :

Dans un

jeu de pile ou face par exemple, chacun admet rapidement que la fréquence d'apparition de "pile" ou de "face" tend vers 2013,
ce que le statisticien traduit en disant que la probabilité d'apparition dequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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