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Universit´e de PoitiersD´epartement de Math´ematiques1m02-Probabilit´es G´en´erales

Ann´ee 2011-2012

FEUILLE N

O1. - FONCTIONS CARACT´ERISTIQUES

ET APPLICATIONS

Exercice 1 (fonctions caract´eristiques de lois classiques). - Soitune variable al´eatoire r´eelle de loiet soitla fonction caract´eristique de, ?ei Calculer les fonctions caract´eristiques pour les lois classiquessuivantes : (i) loi uniformeU 1,1 ?1sur 1. (ii) loi de BernoulliB

1,101de param`etre01.

(iii) loi binomialeB ?0 ?1?de param`etres 01,? (iv) loi de PoissonP ??0e ?n !de param`etre 0. (v) loi g´eom´etriqueG ??1

1?1de param`etre

01. (vi) loi uniformeU ,d1 dsuravec. (vii) loi exponentielleE ,de ??0?? dde param`etre0. (viii) loi de CauchyC ,d1

2?2dde param`etre

0. (ix) loi normaleN 2,d1 ?2e ????2 ?22dde moyenneet de variance 2 0. (x) loi Gamma Γ ,da

Γ??e

??1 ???0? dde param`etres0 et0.

Correction.- (i) Soit

1 un entier. La fonction caract´eristique de la loi uniformesur

1est ?ei ??1??2 sin 2 sin2si0, 1 si0. D´emonstration.- Siest une variable al´eatoire de loi uniforme sur

1, on a pour

1 ?ei ?1e i1 1 e i ei ??1? 1ei ei ??2?1? ei ?2e ?i?2 ei ?2 e ?i?2 ei ?2 ei ??1??2 sin 2 sin2 et bien sˆur01.? (ii) Soit01. La fonction caract´eristique de la loi de Bernoulli de param`etreest ?ei1 D´emonstration.- Siest une variable al´eatoire de loi de Bernoulli de param`etre, pour ?, on aei0?0ei1?111eiei1. (iii) Soient ?et01. La fonction caract´eristique de la loi binomiale de param`etres etest ?ei1

2Feuille no1. - Fonctions caract´eristiques et Applications

D´emonstration.- Siest une variable al´eatoire de loi binomiale de param`etreset, pour ?, on a ?0e i ?0e i 1? ?0 ei 1? ei1 Une autre fa¸con de le voir est de consid´erer1des variables al´eatoires ind´ependantes de mˆeme loi la loi de Bernoulli de param`etre. Alors la loi de

1est la loi

binomiale de param`etresetet on a

1nei1ei1ei1

La fonction caract´eristique ne d´ependant que de la loi de la variable consid´er´ee, on a le r´esultat

(mˆeme si une telle d´ecomposition den"est pas toujours possible). (iv) Soit

0. La fonction caract´eristique de la loi de Poisson de param`etreest

?exp ?ei1

D´emonstration.- C"est du calcul ´el´ementaire. Siest une variable al´eatoire de loi la loi de

Poisson de param`etre, on a

?ei ?0e ie e ?0 ?ei e ?exp ?ei ?exp ?ei1 comme annonc´e. (v) Soit01. La fonction caract´eristique de la loi g´eom´etrique de param`etreest ?ei 11ei D´emonstration.- Siest une variable al´eatoire de loi g´eom´etrique de param`etre, on a ?ei ?1e i 1?1 ei ?1 ?ei1 ??1 ei 11ei comme simple s´erie g´eom´etrique dont la raison a pour module

1ei11.

(vi) Soit . La fonction caract´eristique de la loi uniforme surest ?ei ????2sin 2 2si

0, 1 si0.

D´emonstration.- Commen¸cons par le cas

0 et1, et consid´eronsune variable de

loi uniforme sur

01. On a alors pour0

1 0 eid ei1 i ei ?2ei ?2 e ?i?2 i ei ?2sin 2 2 et

01. Soient, alorsest de loi uniforme suret on a pour

0 ?ei ?ei ?ei? ?ei ?ei eiei ????2sin 2 2 ei ????2sin 2 2 et ´evidemment 01. Feuille no1. - Fonctions caract´eristiques et Applications3 (vii) Soit

0. La fonction caract´eristique de la loi exponentielle de param`etreest

i D´emonstration.- C"est un calcul imm´ediat. Pour ?, on a 0eie ?d ei ?e ???i? 0 i puisque e ???i? e ?qui tend vers 0 en (viii) Soit

0. La fonction caract´eristique de la loi de Cauchy de param`etreest

?exp

D´emonstration.- Prenons

1 et soit?. Nous allons calculer

??ei 12d lim e i 12d lim `a l"aide d"outils d"analyse complexe, en particulier le th´eor`eme des r´esidus. Nous avons 1 e i12 ei ?i2 i2 ?iei 2 ?1 1 qui est holomorphe sur?ii, de pˆolesiiet de r´esidus Res iiei ???i? 2 ie 2Res iiei ?i 2 ie 2 Pour

1, consid´erons

1m02td.1

C d2iResie C d2iResie

Par passage en coordonn´ees polaires, on a

e 0 eid

Ainsi,

??e 0 ??ei d 0exp sin

12exp2i

d 0exp sin

1exp2id

0exp sin 1d

Comme pour

0, sin0, et ainsi, si0, expsin1. Pour0, on a

alors ??e 1

0 quand,

et ainsi e ?pour

0. Lorsque0, on peut consid´erere

et montrer comme pr´ec´edemment que ¸ca tend vers 0 quandtend vers l"infini et qu"ainsi epour0, ou simplement remarquer que puisque la densit´e de la loi de Cauchy est paire, alors la fonction caract´eristique est elle aussi paire, et donc, de e ?pour

0, en d´eduire quee

???pour tout?.

Pour une loi de Cauchy de param`etre

0, nous savons que siest de loiC, alors

est de loiC1. Ainsi?ei?ei ???e

4Feuille no1. - Fonctions caract´eristiques et Applications

(ix) Soient ?et0. La fonction caract´eristique de la loi normale de moyenneet d"´ecart-typeest ?exp ?i222 D´emonstration.- Soitune variable al´eatoire r´eelle de loiN

2. Nous savons alors

que est une variable al´eatoire r´eelle de loiN01. On a, pour tout?, ?ei ?ei ???ei ?ei ei ei ?ei? ?ei ?eiei Il nous suffit donc de calculer la fonction caract´eristiquede la loi normaleN

01. Nous

avons ????eie ?2?2d 2 D´emontrer queest de classe1et que sa fonction d´eriv´ee s"obtient par d´erivation sous le signe somme est classique, nous nous en dispensons. Nous avons donc d d eie ?2?2d 2 ?eie ?2?2 ?d 2 ?ei ?equotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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