Quelques rappels sur les intervalles de confiance
Dans ce cas la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central limite. On parlera d'intervalle de confiance
Estimations et intervalles de confiance
mations : intervalle de confiance d'une proportion d'une moyenne qui ne suit plus une loi normale mais une loi dite de Student à n ? 1 degrés.
Statistique inférentielle Intervalles de confiance
Rappels sur la loi normale. Cas Gaussien. Intervalles de confiance asymptotiques. INTERVALLES DE CONFIANCE. Soient X1
Calcul dun intervalle de confiance pour la moyenne dans une
est distribuée selon une loi t `a (n ? 1) degrés de liberté. Ce théor`eme permet de faire de l'inférence sur le param`etre µ d'une loi normale. Les bornes de
Chapitre 5 : Estimation
Intervalles de confiance similaires entre petite ou grande taille. Seule différence : z? (loi normale) t? (Student). S.Herrmann (UBFC).
STATISTIQUE : ESTIMATION
Intervalle de confiance de la différence de deux moyenne alors la loi normale N(m ?2/n)
TABLES DE PROBABILIT?S ET STATISTIQUE
fonction de répartition ? de la loi Normale N?0 1? est de l'intervalle de confiance approximatif comme les abscisses des points d'intersection de la.
Statistiques
Parfois d'autres lois que la loi normale sont utiles dans les approximations (cf. les calculs d'intervalle de confiance de test). Ce sont les lois de
Traitement statistique des processus alpha-stable
(xi ? 20)2 = 18. Exercice 8 : Intervalle de confiance de la variance d'une loi normale d'espérance inconnue. On veut déterminer le poids P
Cours de Statistiques inférentielles
A l'aide des propriétés de la loi normale standard on remarque que le nombre L'intervalle de confiance pour la moyenne d'une population de variance ?2 ...
MOHAMED RIDHA TEKAYA
Calcul d'un intervalle de con¯ance pour la moyenne dans le cadre du programme de ma^³trise en statistique pour l'obtention du grade de Ma^³tre µes sciences (M.Sc.)FACULT
Avril 2006
c°Mohamed Ridha Tekaya, 2006
Cet essai a pour objectif de calculer un intervalle de con¯ance pour la moyenne¹µa d'un intervalle de con¯ance.Avant-propos
Je tiens µa remercier Monsieur Louis-Paul Rivest, mon directeur de recherche, pro- direction, et ses conseils judicieux tout au long de cette recherche. Finalement, je voudrais exprimer la profonde gratitude que j'ai envers mes parents, mes deux s¾urs et mon frµere pour leurs encouragements et leur soutien.Table des matiµeres
iiAvant-Propos
iiiTable des matiµeres
vListe des tableaux
viTable des ¯gures
vii1 Introduction
12 Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne
22.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 32.3 Approche modµele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 123 La vraisemblance empirique
13 133.2 Intervalle de con¯ance pour¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 19 3.4 223.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2426
26
29
4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315 Conclusion
32Bibliographie
33v simple 34
B Macro SAS
36C Le programme R pour l'exemple 2.1
40D Le programme R pour l'exemple 2.2
41E Le programme R pour l'exemple 3.1
4446
Liste des tableaux
con¯ance ( 2:2 2:3 ) avec ¹= 1 etn= 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 non couverture de l'intervalle de con¯ance ( 2:5 de l'exemple 2.2 avecn= 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 con¯ance ( 3:7 2324
m= 60 etn= 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Table des ¯gures
5 du quantile deÂ20:95;1pour l'exemple 2:2:avecn= 40 etp= 3=4 = 1=¸ 11Chapitre 1
Introduction
L'objectif principal de ce travail de recherche est le calcul d'un intervalle de con¯ance µa propos des paramµetres d'un modµele statistique. L'annexe A donne une fonction R qui calcule les bornes d'un intervalle de con¯ance centrale. seulement µa des variables prenant des valeurs positives ou nulles.Chapitre 2
Calcul d'intervalle de con¯ance
pour une moyenne2.1 Notation
moyenne¹et de variance¾2 IC : est un acronyme pour Intervalle de Con¯ance. IC IC IC IC empirique. X=1 n P n s 2=1 n¡1P n i=1(Xi¡ T=p n( pour¹. t z Elle augmente le niveau d'information par rapport µa une estimation ponctuelle. Elle permet d'avoir un aper»cu des valeurs possibles pour¹. Un intervalle de con¯ance si pour chacun on calcule l'intervalle de con¯ance, alors dans 100(1¡®)% des cas le paramµetre¹devrait ^etre dans l'intervalle de con¯ance. Nous envisageons ici deux cas de calcul d'intervalle de con¯ance pour¹, nest quelconque. Si issu de la loiN(¹;¾2), une distribution normale de moyenne¹et de variance¾2, alors T=X¡¹
s= p n bornes de l'intervalle de con¯ance µa 100(1¡®)% pour¹sont obtenues µa partir de1¡®=Ph
¡tn¡1;®=2·
X¡¹
s= p n·tn¡1;®=2i
=PhX¡tn¡1;®=2s
p nX+tn¡1;®=2s
p n i IC ts=hX¡tn¡1;®=2s
p nX+tn¡1;®=2s
p n i on obtientX¡¹
p n»N(0;1):
montre que la distribution asymptotique lorsquentends vers1est T=X¡¹
s= p n»N(0;1):
(2.1)1¡®=Ph
¡z®=2·
X¡¹
s= p n·z®=2i
=PhX¡z®=2s
p nX+z®=2s
p n iOn obtient l'intervalle de con¯ance suivant
IC tlc=hX¡z®=2s
p nX+z®=2s
p n i (2.2) Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne5Quantiles of Standard Normal
valeur de t -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -2 0 2Fig.2.1 {
Exemple 2.1.(Distribution deT)
f(x) =( pexp(¡x=¸) six >01¡psix= 0:
(2.3) Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne6Y»Bernoulli(p))(
P[Y= 1] =p
E[Y] =p:
Z»Exponentielle(1=¸))n
E[Z] =¸:
2:1 ), nous faisons 2:3A la lumiµere de la ¯gure
2.1 2:1 ) n'est dans le tableau 2.1 2:2 2:2 ) par P jTj< z0:025´ deTen ( 2:1 2:2 cLe nombre de simulations
dLe nombre de simulations
Taux de non
Taux de non
Taux de
P(Y= 1)
µa gauche en (%)
µa droite en (%)
0.25 0.2 12.8 87.00.50 0.8 9.0 90.2
0.75 0.8 6.6 92.6
0.85 1.0 5.2 93.8
0.95 0.2 5.6 94.2
Tab.2.1 {
con¯ance ( 2:2 2:3 ) avec¹= 1 et n= 40 e t=r¿(1¡¿)
500oµu¿est le taux de couverture ou de non couverture. Si¿= 95% alorset= 0:0097 et pour¿= 2:5% nous obtenonset= 0:0069.
En vertu du tableau
2.1 Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne82.3 Approche modµele intervalle de con¯ance pour¹. Appelons f(x;µ1;:::;µm)¹=g(µ1;:::;µm)
A¯n de pouvoir estimer¹, en premier lieu, nous calculons (bµ1;:::;cµm) les estima- teurs du maximum de vraisemblance des paramµetres. En second lieu, nous utilisons la b¹=g(bµ1;:::;cµm); est l'estimateur du maximum de vraisemblance de¹. Pour calculer un intervalle de con¯ance pour¹, on estime tout d'abord les pa-L=L(µ1;:::;µm)
nY i=1f(Xi;µ1;:::;µm): Dans la pratique pour simpli¯er les calculs des estimateurs, nous utilisons le loga- l(µ1;:::;µm) = log³L(µ1;:::;µm)´
nX i=1log³ f(Xi;µ1;:::;µm)´ jl(µ1;:::;µm) = 0;pourj= 1;:::;m: Ensuite, nous ¯xons¹et maximisons la vraisemblance sous la contrainte¹= l p(¹) = maxµ1;:::;µm; ¹=g(µ1;:::;µm)l(µ1;:::;µm):
Le calcul delp(¹) utilise pour chaque valeur de¹des estimateurs desµj,bµj(¹) pour j= 1;:::;m:Notons quelp(¹) est maximale µa¹=b¹l'estimateur du maximum de vraisemblance de¹. montre que½(¹0) = 2³
l p(b¹)¡lp(¹0)´»Â21:
(2.4)Si¹0est la vraie valeur du paramµetre¹, l'intervalle de con¯ance pro¯l pour¹µa un
IC mv=n0: 2³
l p(b¹)¡lp(¹0)´21¡®;1o
(2.5) intervalle de con¯ance pour¹. Exemple 2.2.(Modµele exponentiel avec masse µa 0) 2:3 qui suivent la loi exponentielle de moyenne¸. A partir du modµele ( 2:3 ) nous voyons¹=p¸=g(p;¸):
½(¹0) =¡2 log8
1¡¹0=b¸0´
k³0=b¸0´
n¡k³1=b¸0´
n¡kexp³¡Pn¡k
i=1xi=b¸0´1¡b¹=b¸´
k³ b¹=b¸´ n¡k³1=b¸´
n¡kexp³¡Pn¡k
i=1xi=b¸´9 (2.6) oµu, bp=n¡k n ;b¸=P n i=1xi n¡k;b¹=bpb¸=P n i=1xi n et b¸0=A+p
A2¡4AB
2 avec,A=³2n¹0+Pn
i=1xi¡k¹02(n¡k)´
etB=³¹0Pn i=1xi2(n¡k)´
2:6 ) et les autres estimateurs des paramµetres inconnuesp,¸et¹sont Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne111.0 1.5 2.00 2 4 6 8
mu rhomuFig.2.2 {
quantile deÂ20:95;1pour l'exemple 2:2:avecn= 40 etp= 3=4 = 1=¸ Lsous aucune contrainte. Mais on obtientb¸0en maximisant la vraisemblance pro¯l sous la contrainte¹0=p¸0. Avant de chercher l'intervalle de con¯ance pour¹, nous tra»cons dans la ¯gure 2.2A la lumiµere de la ¯gure
2.2 , nous voyons que la droite horizontale coupe la courbe de½(¹) en deux points distincts. Soientbietbsles abscisses respectifs de ces deux points. l'intervalle de con¯ance µa 95% pour¹est l'ensemble de valeurs comprises entre bietbs. 2.2 , le 2:5 Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne12Taux de non
Taux de non
Taux de
P(Y= 1)
µa gauche en (%)
µa droite en (%)
0.25 1.4 2.8 95.80.50 3.2 3.0 93.8
0.75 2.0 2.4 95.6
0.85 3.0 2.2 94.8
0.95 1.8 2.4 95.8
Tab.2.2 {
non couverture de l'intervalle de con¯ance ( 2:52.2 avecn= 40
En vertu du tableau
2.2 , nous voyons que pour certaines valeurs dep=P(Y= 1) 2:5 Lorsque la population contient plusieurs valeurs nulles, la distributionFn'est pasChapitre 3
La vraisemblance empirique
(X1;:::;Xn) est inconnue, nous utilisons la vraisemblance empirique pro¯l pour calculer un intervalle de con¯ance pour la moyenne¹. empirique. X F n(x) =1 n n X i=1I fXi·xgpour tout¡ 1< x <+1: I A=(1 siAest vraie
0 sinon:
suivanteL(F) =nY
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] loi normale probabilité exercices corrigés
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